教学研讨｜6.4.3.1余弦定理（2019版新教材）

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研讨素材一

一、教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

二、单元教学分析

(一)教材分析

1．内容

余弦定理、正弦定理、运用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．

建议用3课时：第一课时：余弦定理；第二课时：正弦定理；第三课时：正弦定理解决简单的实际问题．

　　2．内容解析

三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具．为了更好地体现向量的价值，教科书把余弦定理和正弦定理放在本节中，用向量方法推导了余弦定理和正弦定理．解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性，体现数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握余弦定理、正弦定理；能用向量方法证明余弦定理、正弦定理，会用余弦定理、正弦定理解三角形；运用余弦定理、正弦定理解决一些与测量有关的简单实际问题．

（二）、目标和目标解析

1．目标

（1）用向量方法证明余弦定理、正弦定理．

（2）用余弦定理、正弦定理解三角形．

（3）余弦定理和正弦定理的应用．

2．目标解析

达成目标的标志是：

（1）学生能用向量等知识证明余弦、正弦定理，能掌握余弦、正弦定理；

（2）能初步运用余弦、正弦定理及其推论解斜三角形，能解决斜三角形的计算问题；

（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．

（三）、教学问题诊断分析

一般地，当人们明确了学习某一知识的目的性和必要性以后，学习这一知识的热情必将得到极大的提高．然而，为什么要探究一般三角形中边角关系？如何探究一般三角形中边角关系？学生大多还缺乏明确的思想认识和有效的思维方法．

余弦定理、正弦定理是三角形中的边、角定量关系．在初中，学生学过勾股定理、锐角三角函数（直角三角形中的边、角定量关系），并会用这些定量关系解直角三角形，用解直角三角形可以解决简单的实际问题．对于一般三角形，学生定性地研究过三角形中的边、角定量关系，知道边、角满足一定条件的两个三角形全等．在高中，学生进一步学习了任意角的三角函数与三角恒等变换，获得了用向量解决几何问题的方法，但是还缺乏由定性分析到定量研究的能力，生活实践经验较匮乏，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高．

基于上述分析，本单元的教学难点：用向量方法推导余弦定理和正弦定理，应用两个定理解决实际问题．

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三、余弦定理

(一)教材分析：

教科书引言部分指出：对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系?这一引言，除了唤醒学生对“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”等这样的定性结论的记忆以外，最为关键的是教师应启发学生思考：三角形的边、角之间有怎样的定量关系?以此引导学生由定性研究上升到定量研究.

1.余弦定理

（1）关于余弦定理的探究

教科书中明确指出：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。由此说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.这里，一个自然的问题是：怎样根据三角形已知的两边及其夹角来确定第三边，进而确定其余的角.

在解决上述问题之前，教科书首先安排了一个探究问题（教科书第42页）：怎样用已知三角形的两边及其夹角来表示第三边?对此，教科书利用向量的数量积进行了探究，快速地获得了余弦定理，充分体现了向量的优势.事实上，当我们把三角形的两边用向量表示后，问题转化成了关于两个向量及其夹角的问题.于是，自然想到利用向量的数量积进行探究.

（2）余弦定理中边的可轮换性

余弦定理中的边a，b，c轮换的方式如图6-21所示。

按上述方式对边进行轮换，并注意到夹角，就可以从余弦定理的一个式子得到其余的两个式子.

正因为余弦定理中的边具有可轮换的特点，所以余弦定理可以用概括的文字语言统一叙述，即教科书中给出的文字叙述.教学中可以引导学生自行用文字语言叙述余弦定理，以此培养学生的数学表达能力.

（3）余弦定理的其他证明方法

教科书第43页边旁白的问题，让学生思考证明余弦定理的其他方法.这里我们给出坐标法和几何法，供教学时参考。

①证明余弦定理的坐标法

如图6-22，以△ABC的顶点A为原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则点B的坐标为（c，0），并且不论∠A是锐角、钝角还是直角，由三角函数的定义知，点C的坐标始终为(bcosA，bsin A).

由两点间的距离公式，得BC²=(bcos A-c)²+（bsin A-0)²，即a²=b²cos² A-2bcos A+c²+b²sin²A,所以a²=b²+c²-2bccos A.

同理，若以顶点B为原点，边BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，或以顶点C为原点，边CA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，不难得到b²=c²+a²-2cacos B，c²=a²+b²-2abcosC。

②证明余弦定理的几何法

（4）余弦定理和勾股定理之间的关系在△ABC中，若C=90°，则c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²。，余弦定理即变成了勾股定理。

由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

（5)余弦定理的推论余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，并且每一个等式中都含有四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角.不难看出，已知其中的三个量，就可以求出第四个量。用三角形的三条边表示角的余弦，即可获得余弦定理的推论，有时也说成是余弦定理的第二种形式：

已知三角形的三条边求角时，利用余弦定理的推论较为方便.

（6）余弦定理及其推论的应用利用余弦定理及其推论，可以解决如下两类解三角形的问题：

①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；②已知三边，求三个角.

教科书将解三角形的内容作为“余弦定理”“正弦定理”的应用，例5是已知三角形的两边和它们的夹角，解三角形的问题，直接利用余弦定理即可求出第三边.于是问题即转化成了已知三边解三角形的问题，只需利用余弦定理的推论，并结合三角形内角和定理即可获解。注意本例中对所求的边和角都有明确的精确度要求，教科书中是利用计算器求出其结果的.

例6实际上也是已知三角形的两边和它们的夹角解三角形的问题，与例5不同的是两边a，b的夹角∠C是通过sin C=间接给出的，并且只需求出∠B即可，而无需求出所有未知的边和角.求解时只需先根据sinC的值确定cosC，便可以利用余弦定理及其推论求出∠B的值了。

需要指出的是，在本节中，复杂的计算是借助于计算器进行的.使用计算器计算时，我们约定，当计算器所示的三角函数值是准确数时用等号，当计算器所示的三角函数值需取其近似值时，相应的运算结果用约等号。

以上内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。

　（二）课时教学内容

1．证明余弦定理的向量方法及余弦定理的两种表示形式；

2．运用余弦定理解决“边角边”及“边边边”问题．

　　（三）课时教学目标

1．余弦定理的发现和证明过程；

2．余弦定理的应用．

　　（四）教学重点与难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其应用，体会向量方法推导余弦定理的思想．

难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法，及余弦定理在求解三角形时的思路．　