高二数学开学第1课，正弦定理(第一课时)等等
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各位教师，请读读：
2.
提示：明天或后天将发布《余弦定理教学设计、教学实录》，敬请关注。
教学研讨一
一、教学目标
1. 知识技能： (1)掌握正弦定理； (2)三角形面积公式； (3)掌握初步应用正弦定理解斜三 角形,培养数学应用意识.
2. 数学思考 (1)通过解决实际问题,培养学生 应用数学的意识； (2)通过合作与交流,使学生体验 探究的过程,培养学生的探究意识和概 括能力.
3. 解决问题引导学生用数学的眼光看问题、分析问题,培养他们用已知解决未知的能力,进一步发展他们应用数学的意识.
4. 情感态度在独立思考的基础上,积极参与对 数学问题的讨论与交流, 从中获益；体 会数学来源于生活又作用于生活,从而 获得成功的喜悦.
二、重点 正弦定理的推导及其证明过程.
三、难点 正弦定理的猜想的提出过程；正弦定理的推导及其证明过程.
四、教法 启发式、探索式.
五、学法 独立思考、自主探索、合作学习、反思总结.
六、教学辅助 课件、活动单. 七、教学评价 1. 对学生的教学反应、 教学反馈、 参与活动的程度及归纳概括能力等进 行评价； 2. 发挥教学评价中的教学、 诊断、 激励、调节等作用.
（点击图片，可大图阅读）
作者：郭 娟、王 睿，发表于数学教学通讯
(以上内容由网上搜索而来，由截图工具得到，若喜欢该资源请向作者或出版者购买，若有异议，请联系删除！）
教学研讨二
（点击图片，可大图阅读）
证明
生的，它们的产生和三角学的发展息息相关．因此就有了以上的融入数学史的教学设计。
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教学研讨三
《正弦定理》教学设计
陕西师范大学附属中学 张 辉
一、教学目标分析
1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。
3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点分析
重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
三、教法与学法分析
本节课是教材第二章解三角形的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。
四、学情分析
对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
五、教学工具
多媒体课件
六、教学过程
创设情境，导入新课
兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。上课一开始，我先提出问题：
工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，
是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？
教师：请大家思考，看看能否用过去所学过的知识解决
这个问题？（约2分钟思考后学生代表发言）
学生活动一:
（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”，本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程，我们把它习惯上叫解三角形，要求边的长度，过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函数进行求解，即本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。
学生：如图，过点A作BC边上的高,垂直记作D
然后,首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。
教师：这位同学的想法和思路非常好，简直是一位天才
（同时再一次回顾该同学具体的做法）
教师：能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢？
学生：可以
教师：那么具体应该怎么做呢？
学生：过点B向AC作高，垂直记作E，如图：
接下来，只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度
教师：总结学生的做法
通过作两条高线后，即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来
接下来，只需要将题目中的相关数据代入，本题便迎刃而解。
定理的发现：
教师：如果把本题目中的有关数据变一下，其中A＝50o，B＝80o大家又该怎么做
呢？
学生1：同样的做法（仍得作高）
学生2：只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度
教师：还需要再次作高吗？
学生：不用
教师：对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边，求其他两边的长”的问
题是否都可以用上述两个等式进行解决呢？
学生：可以
教师：既然这两个等式适合于任意的锐角三角形，那么我们只需要记住这两个
等式，以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题，直接应用这两个等式
并进行代入求值即可。
教师：大家看看，这两个等式的形式是否容易记忆呢？
学生：不容易
教师：能否美化这个形式呢？
学生：美化之后可以得到： （定理）
教师：锐角三角形中的这个结论，到底表达的是什么意思呢？
学生：在锐角三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等
教师：那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢？那么接下来就
让我们分别来验证一下，看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否
成立。
定理的探索：
教师：大家知道，在直角三角形ABC中：若
则：
所以：
故：
即：
教师：那么这个等式在钝角三角形中是否成立，我们又该如何验证呢？请大家思考
学生活动二：验证
教师（提示）：要出现sinA、sinB的值
必须把A、B放在直角三角形中
即就是要作高（可利用诱导公式将
学生：学生可分小组进行完成，最终可由各小组组长
汇报本小组的思路和做法。（结论成立）
教师：我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立，接下来，用类比的方法对
它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证，结果发现，这个等式对于
任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立，那么我们此时能否说：“这
个等式对于任意的三角形都成立”呢？
学生：可以
教师：这就是我们这节课要学习的《正弦定理》（引出课题）
定理的证明 教师：展示正弦定理的证明过程
证明：（1）当三角形是锐角三角形时，过点A作BC边
上的高线，垂直记作D，过点B向AC作高，垂直记作E，如图：
同理可得：
所以易得
（2）当三角形是直角三角形时；
在直角三角形ABC中：若
因为： ......
所以：
故：
即：
（3）当三角形是钝角三角形时（角C为钝角）
过点A作BC边上的高线，垂直记作D
故：....
所以，对于任意的三角形都有
教师：这就是本节课我们学习的正弦定理（给出定理的内容）
（解释定理的结构特征）
思考：正弦定理可以解决哪类问题呢？
学生：在一个等式中可以做到“知三求一”
定理的应用
教师：接下来，让我们来看看定理的应用（回到刚开始的那个实际问题，用正弦
定理解决）（板书步骤）
随堂训练
学生：独立完成后汇报结果或快速抢答
教师：上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用，其实正弦定理的应用相
当广泛，那么它到底可以解决什么问题呢，这里我送大家四句话：“近测
高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”
以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮）
1、知识方面：正弦定理：
2、其他方面：
过程与方法：发现
（这是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今
后的学习中一定要注意这样的一个过程）
数学思想：转化与化归、分类讨论、从特殊到一般
作业布置：
①书面作业：P527
②查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法（比如“面积法”、“向量法”等）
③思考、探究：若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况，结果如何？
板书设计：
1、定理：
|
2、探索：
3、证明：
4、应用：
检测评估：
《正弦定理》教学设计说明
陕西师大附中 张 辉
点明课题
本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第二章《解三角形》中的2.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、探索、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、探索、证明和简单的应用。
下面我从四个方面来说说对这节课的分析和设计：
一、教材地位分析
《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第二章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。对比同学们在初中学习过的解直角三角形，解三角形虽是少了一个字，明显我们面临解决的问题范围却扩大了。因此，本章内容是对初中解直角三角形内容的直接延伸，在解直角三角形时主要借助三角形内角和定理、三角函数和方程的思想来实现，这种方法当然是局限于直角三角形，面对一般的三角形同学将束手无策。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用三角函数知识作为工具，运用转化与化归作为指导思想，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解三角形中存在边与角的定量关系的一个开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
作为三角形中的一个定理，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
同时，通过本节课的学习为后面学习《余弦定理》提供了方法上的模式；为将来解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生进一步感受、了解到数学在实际中的应用。
二、教学目标分析
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：
认知目标：在创设的问题情境中，使学生主动地去发现正弦定理的内容和推证正弦定理及简单运用正弦定理
能力目标：通过对正弦定理的引入、推导和应用，培养学生的创新意识和思维能力，能体会用“作高”将一般三角形转化为直角三角形；将几何问题转化为代数问题。
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，体验由特殊到一般的数学方法，培养学生在方程思想指导下解三角形运算能力。
三、教学问题诊断分析
①为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样被发现的？其证明方法又是如何想到的？还有别的求证方法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题.
②教材是从特殊的三角形即直角三角形入手，来研究三角形中所存在的边与角之间的定量关系的，后又拓展到锐角三角形和钝角三角形，进而探究出正弦定理，这体现了数学学科中的从特殊到一般的思想。然而现实生活中直角三角形的实例要比斜三角形少的多，而教材却没有从斜三角形切入问题，这样代表性不就降低了吗？
③教材仅有的两道例题中，所给出的数据都要用到计算器进行演算。这样会不会给学生造成一种错觉，即凡是用正弦定理解决的问题都要使用计算器呢？
④教材中，正弦定理第一课时的教学内容就涉及到了三角形中的“多解”情况，如果按照新课标中“注重学生发现、探究、猜想、证明”的教学理念，那么教学时间是否充裕？
以上问题仅是我个人在教学中的一点体会和认识，尚有诸多不足之处，还望各位专家及老师批评指正。
四、教法特点及预期效果分析
教学设计本着学生心理和发展特点原则，尽量符合学生的认知规律，时时关注学生的兴趣、体验、困惑、疑难等，有效地发挥教师的组织、引导、激励作用，尽可能使学生在多方面得到发展。
教无定法，贵在得法。下面便是我本节课的一些基本构思
本课基本构思：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在我预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“发现-类比-实验-猜想-验证-证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体。长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程。为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在数学概念公式的教学中，往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让学生脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，把“数学发现的权利”还给学生。
基于以上认识，本节课我所考虑的不是简单的把正弦定理的内容告诉给学生，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理，证明定理。从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激励了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念。
授课过程中的一点遗憾：
由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。此外，由于目前高一的学生还没有学习“平面向量”，因此，对于正弦定理的证明方法没有涉及到“向量法”。
教授本课的收获：
轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
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