九年级数学开学第1课【课标解读、教材分析、教学设计、课堂实录】

阳光教研 2023-02-05

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一、课标解读

（提示：文末有教学课件下载方法）

《一元二次方程》课标解读

一、课标要求

人教版九年级上册“21.1一元二次方程”一节包括一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解的概念．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对一元二次方程一节相关的内容没有提出具体的教学要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．

二、课标解读

1．一元二次方程作为方程这一模块中的重要组成部分，不仅是二次开方与一元一次方程的延续，而且一元二次方程在以后学习的二次函数、不等式、三角函数、平面解析几何等内容的基础．一元二次方程还是我们解决实际问题的有效途径，我们可以通过建立一元二次方程来解决实际生活中所遇到的问题．

从教学内容来看，一方面一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、一元一次方程组解法等知识，在本章都有应用．从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固．当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展．

另一方面，一元二次方程又是以后学习的知识基础．这一章可以说是起到了承上启下的作用．高中阶段的与函数、三角函数、平面解析几何等有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合而已．初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法，在本章都有所体现．例如，换元法、因式分解法、配方法等．

另外，从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现．可以说，无论从基础知识还是基本技能看，这一章都占有重要的地位．

2．方程本身就提供了一种重要的数学思想方法，这一点在一元二次方程中体现更为充分．学习方程不仅为进一步学习其他知识打下基础，不仅可用于解决一些实际问题，而且从更广泛的意义上讲，通过方程可以沟通已知与未知之间的联系，从而由解方程就可以使问题得以解决，通常称之为方程思想．方程思想作为一种数学思想，在数学发展史上有重要作用，对求解数学问题来说也有重要的意义．

3．依据新课标的理念，教科书在编排上注意螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断地深化对核心概念的理解．如在方程的教学中，教科书改变了以往代数教材“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照“一次”和“二次”的数量关系，是方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升．这样处理，一方面克服了直线式发展所产生的不易理解和消化的弊病，分阶段地不断深化对方程和函数的理解；另一方面强化基本概念之间的内在联系，从函数角度提高对方程等内容的认识，用函数观点分析解方程组与一元二次方程根的分布等就是为此目的安排的．

4．联系实际，体现知识的形成过程和应用过程，突出建立数学模型的思想，也是新课标的理念的体现．

教材中一元二次方程概念的教学要注意尽可能地以实际问题为出发点和归宿，在分析问题和解决问题的过程中，建立数学模型，讨论有关概念和方法，然后再运用所学知识进一步探索新的问题，提高对数学内容及其应用的理解，从而体现“实践-理论-实践”的认识过程．改变过去教学中“概念──解法──应用”分三段的传统教学模式，将概念和解法融于对实际问题的分析和解决过程之中．

5．重视思维能力和创新意识的培养．学习数学的价值主要体现在发展学习者的思维能力上．创新精神和能力是科学不断发展和社会不断进步的动力．建议教师加强对探究式学习的研讨，在教学中引导学生积极进行自主探索，不要完全包办代替，而是要多加点拨和鼓励．教师要帮助学生形成更大的发展潜力，特别是思维品质的健全发展，从而有利于更大限度地实现数学教学的育人价值．

海淀区教师进修学校　张　鹤

二、教材分析与重难点突破

《一元二次方程》教材分析

教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．

一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．

本章开篇，教科书利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要．接着，通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）．这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识．

引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念做判断．这样安排，体现了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现．

《一元二次方程》重难点分析

许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体．教科书充分考虑到一元二次方程的这一地位，教学中要体现好这一编写意图，注意让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意义，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处．

在建立数学模型解决实际问题的过程中，难点在于数量关系的分析和数学模型的选择，本章也不例外．教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程．要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等．

课本用了两个实际问题（面积问题、比赛问题）引出一元二次方程的概念．学生必须理解题目、解决这个问题了，再进行观察思考，找出方程的共同点，最后根据以往的经验知道这不是以往学过的方程，从而学习新知识．而学生在解决这两个问题后，教科书还对所列的方程进行化简、特别是比赛的问题，还将方程的二次项系数化为1，学生难于理解为什么这样做．为了避免一节课的时间的大部分都放在引导解决问题上，导致一元二次方程概念这一重点内容难以落实和这一难点不易突破，建议老师们在教学中，可以根据自己学生的实际情况，设计符合本班学生思维特点的教学过程．如除了两个实际问题都讲的设计之外，可以考虑仅用一个具体的实际问题来引入，并辅之以类比教学，与以往学习过的一元一次方程、二元一次方程（组）进行类比教学，减少难点问题带来的对教学重点的冲击，也体现了知识的系统性，体现了知识的螺旋上升的知识结构．更方便学生理解新旧知识的差异性与共同性，使学生对同类型的知识进行归纳梳理，找到学习一类问题的方法．

海淀区教师进修学校　张　鹤

三、教学设计

（以下内容仅供参考，请结合学校学生实际情况修改，忌“拿来主义”）

（文末有课件下载方法）

《一元二次方程》教学设计

一、内容和内容解析

1．内容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．

2．内容解析

一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．

针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念．

（2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．

2．目标解析

（1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性．

（2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．

三、教学问题诊断分析

一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念．

培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的．

本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫．

本课的教学难点是一元二次方程的概念．

四、教学过程设计

1．创设情境，引入新知

教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：

问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？

师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．

【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．

问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境．

【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解．部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题．

2．拓宽情境，概括概念

给出课本问题1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程．

问题1 如图21．1-1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？

教师引导学生思考并回答以下几个问题：

全部比赛共有______场．

若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___ 场．

由此，我们可以列出方程______________，化简得________________．

问题3． 这些方程是几元几次方程？

师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．

【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习．

问题4． 这些方程是什么方程？

师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式．

（1）一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．

（2）一元二次方程的一般形式是．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．

3．辨析应用，加深理解

问题5． 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．

师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛地参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？

【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，如下：

开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果．

问题6． 下列方程哪些是一元二次方程?

例1．下列方程哪些是一元二次方程?

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

答案（2）（5）（6）．

师生活动:用概念指导辨析，方程（3）与（4）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确一元二次方程是整式方程，（4）体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识．

【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．

问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．

例2．将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

（1）；（2）．

师生活动: （1）将方程去括号得：，移项，合并同类项得：，其中二次项是，二次项系数是3；一次项是，一次项系数是，常数项是．教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．

（2）一元二次方程的一般形式是，过程略．

例3．关于x的方程，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

答案：时此方程为一元二次方程；，时此方程为一元一次方程．

【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．

4．巩固概念，学以致用

教科书第4页：练习

【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况．

5．归纳小结，反思提高

请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其他方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误．

6．布置作业：教科书习题21．1

复习巩固：第1，2，3题．

五、目标检测设计

1．下列方程哪些是关于x的一元二次方程

（1）；（2）；（3）；（4）．

【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解．

2．关于的方程是一元二次方程，则（　）．

A． B．C． D．

【设计意图】考查的条件．

3．将关于的一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数．

【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式的掌握情况．

作者： 首都师范大学附中　周素裹

四、部级优课

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5.五年级数学开学第1课【课标解读、教材分析、教学设计、课堂实录】

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