余弦定理教学设计、教学实录研讨

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教学研讨一

（点击图片，可大图阅读）

三位学生大概地说出了他们的一些想法 , 同时又有其他同学补充 , 最后师生达成共识 :第一种解法 ,是将一般的三角形转化为特殊的直角三角形 ;第二种解法 , 是利用向量从形的角度构造向量等式 ,再将向量等式数量化 ;第三种解法 , 是在建立适当的直角坐标系的条件下 , 利用两点间的距离公式 ,从而将问题解决。

教师总结 :我们在观察一个等式时 , 就如同观察一个人一样 ,先从远处看 ,然后再近处看 ,先从外表再到内心深处. 观察等式时 , 先从整体(比如轮换)再到局部(比如等式左右边角的对称), 从一般到特殊 ,或者从特殊到一般(比如勾股定理是余弦定理的特例 ,余弦定理是勾股定理的推广).
在对余弦定理认识的过程中 , 让学生充分了解余弦定理的外在特征 , 体会数学中和谐、对称的美 ,同时又为对余弦定理内在的理解奠定了基础.
师 :对于余弦定理我们已经谈了很多 , 同学们是否想过 , 我们为什么要学余弦定理 , 学它有什么用。
学生们略有所思 , 过了一会儿 , 大多数学生异口同声地说 :可以解斜三角形.
师 :所有的斜三角形都可以解吗？
生 7 :可以解已知三角形的两边和它们夹角的三角形.
生 8 :如果已知三边 , 可以求角 , 进而解出三角形。

6 反思设计反思过程

学教学是一个过程 ,在这个过程中要注意对学生的逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养.不能把结论直接抛给学生 , 而是以问题引导 , 与学生共同分析、探究 , 参与到学生问题解决的探究活动中 ,成为学生思考、探究活动的组织者、指导者. 数学教学是数学活动的教学 , 数学活动更应是体现在数学思维的活动中. 笔者立足于这一基本理念 ,在设计本课时 , 让学生经历提出问题、解决问题、初步应用等过程, 使他们成为余弦定理的“发现者” 和“创造者”. 同时采用了“问题串” 的形式引领学生进行探索活动 ,使每位学生都能在教师精心设计的问题的探讨中 ,不断体验获得阶段性成果的喜悦. 通过活动获得“思想” 、“方法” 、“价值” , 知识目标、能力目标、情感目标均得到了良好的发展.

在数学学习中 ,应让学生参与到应用数学知识解决实际问题的活动中来 , 经历探索、解决问题的过程 ,体会数学的应用价值. 让学生感觉到 :数学与我有关 ,与实际生活有关 ,数学是有用的 ,我要用数学 ,我能用数学.在本课设计中 , 笔者首先提出一个实际问题 ,引起学生的兴趣 , 让学生积极参与到相互间讨论中. 在相互讨论之中 , 学生提出了若干种解决问题的方法 , 对培养学生解决实际问题的能力,不无裨益. 同时学生在经历解决问题的过程中 ,也可以逐步体会到数学的应用价值 ,收到较好的成果.

“板演” 是我们在教学中经常使用的一种教学手法,如何用好这一教学手法还很值得我们研究.板演的目的是训练学生 , 了解学生的学习情况 , 及时发现教学中出现的问题, 所以笔者在本课教学时 ,随机找出几位学生进行板演 , 而不是指定某个做得好的学生替代教师进行板书. 如果都指定做得规范的学生进行板演 , 可能就很难发现学生中存在的问题 , 这样也就失去了板演的本意. 在学生板演之后 ,由谁来评价比较好笔者认为 ,评价不应该由老师一手包办, 而应让学生也参与进来 , 可以先让学生进行自我评价 , 然后再相互评价 , 最后教师指导. 这种学生间的相互评价 , 可以提高学生的观察能力、表达能力和思维能力.

教学研讨二

余弦定理教学实录与启示

1 基本情况

1.1 教学班级

教学班为四星级高中统招班, 学生基础较好,思维活跃 ,有一定的思考、探究能力 .

1.2 教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学》(苏教版)必修5 第 1 章“解三角形” 第2节“ 余弦定理” , 学生已经学习了必修 4“ 三角函数” 、“平面向量” 、“三角恒等变换” ,并且学习了正弦定理的发现、证明和应用, 具有初步的归纳、猜想和证明意识, 因此在余弦定理教学中 ,把重点放在引导学生类比正弦定理的学习过程, 运用向量方法和勾股定理发现和证明余弦定理, 体会向量方法的作用,比较不同证法的区别与联系,体验余弦定理的不同结构、表现形式和含义,渗透类比的意识和基本方法 ,指导学生数学地发现问题、思考问题 ,发展学生的归纳、猜想、推理能力 .

1.3 教学目标

(1)经历用向量方法和勾股定理发现、猜想、推导余弦定理的过程 ,享受数学发现的快乐, 激发学习兴趣 .

(2)发现向量方法与解三角形间的联系 , 比较正弦定理与余弦定理的形成过程与应用范围.

(3)感悟“类比”、“联想” 、“特殊一般” 、“转化” 与“数形结合” 等思想方法 .

(4)初步运用余弦定理解决简单的三角形度量问题.

教学重点:余弦定理的发现与推导 .

教学难点:创设情境建构与推导余弦定理

2 教学过程

2.1 创设情境, 提出问题

师:前两节课我们在直角三角形中 ,从三角函数定义出发,探究发现了正弦定理 ,并运用向量方法和其他方法证明了正弦定理 , 今天我们首先来研究 ,能不能用向量方法证明勾股定理呢?(学生活动 ,教师巡视 ,集体讨论)

生1 :勾股定理是边的关系 , 可由向量的数量积转化得到.

师:在学习正弦定理时,我们用各种不同方法证明了正弦定理, 现在我们分四个组运用教科书第 5 页提供的(1)～ (3)及其他方法(如正弦定

向量证明了两角差的余弦公式, 还可以证明三角形的中线定理、角平分线定理、射影定理 ,等等 .学生对向量方法的工具作用有了进一步的理解, 就能深化认识,掌握普适性方法 ,解决更多问题 .在正弦定理一节, 课本提供了好几种证明思路,学生有了感性经验和基础.在证余弦定理时,教者大胆地让学生自主探究, 寻求新的证法, 拓展思维 ,打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系 .在比较各种证法后体会向量方法的优美简捷, 使知识交融、方法熟练、能力提升.

3 .2 教学感悟

(1)数学教学的主要目标是什么?激发学生潜能,教会学生思考, 让学生变得聪明, 学会数学地发现问题、思考问题、解决问题, 具有创新品质,具备数学文化素养是题中之意 .试想一下,成人工作以后,有多少人会再用到余弦定理,但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽, 这就是爱因斯坦认为的素质 .据郑毓信先生介绍 ,徐利治先生多年前访美时,西点军校研究生院曾两次邀请他去作“数学方法论” 方面的讲演 .西点军校学员要必修多门与实践不能直接挂钩的高深的数学课, 多年后铭记的不是数学知识, 而是数学精神和数学文化理念和素质.无独有偶,英国律师在大学里要修毕多门高等数学课程, 这既不是因为英国的法律条文一定要用微积分去计算, 也不是因为英国的律师课程要以高深的数学知识为基础 , 而是因为只有通过严格的数学训练 , 才能使之具有坚定不移而又客观公正的品格 , 并使之形成一种严格而精确的思维习惯 .

(2)数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力, 让学生想学数学这门课 .与此同时,指导学生掌握数学学习的一般方法 ,具备终身学习的基础.教者曾经做过调查,进入四星级高中的学生 90 %以上在小学甚至初中都是喜爱数学的,但到了高中就有许多学生渐渐不喜欢数学 .试想如若高考不考数学, 我们数学教师能让几个学生喜欢数学, 喜欢上数学课.因此, 作为数学教师首先要培养学生兴趣 ,兴趣来源于问题 ,一个好的问题可能会让一个人一生为之奋斗 .陈景润一生研究最主要的问题就是“哥德巴赫猜想” .不仅教师要不断提出好的数学问题, 而且要教会学生提出问题,培养学生发现问题的意识和方法,并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯 .在本节课中,通过余弦定理的发现过程, 培养学生观察、类比、发现、推理的能力.学生在教师引导下, 自主思考、探究 ,小组合作交流相互启发, 思维碰撞, 寻找不同的证明方法 ,既培养了学生学习数学的兴趣,同时掌握了学习概念、定理的基本方法,增强了学生的问题意识.其次,掌握正确的学习方法,没有正确的学习方法 ,兴趣不可能持久, 概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法 , 学习的过程就是知其然、知其所以然、举一反三的过程.学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的典型范例, 引导学生发现余弦定理的来龙去脉,掌握余弦定理的证明方法,理解余弦定理与其他知识的密切联系, 应用余弦定理解决其他问题.最后,只有当兴趣和方法内化为习惯与直觉时,才能学好数学.杨振宁先生提出:“对于基本概念的理解要变为直觉 .” 其实不仅仅是数学概念,定理、公式、法则、数学思想方法的理解都应该变为直觉,这样才能简缩思维, 产生顿悟, 迅速发现问题、解决问题.

(3)数学创新是在特定的数学基础上长期积累后,实现由量变到质变飞跃的过程中迸发出来的灵感.数学创新是数学教学的灵魂,数学创新的基石是扎实的数学基础, 内在动力是数学创新意识,外在形式是“变化” , 核心是“顿悟” 和“灵感” .在余弦定理教学中, 在创设情境搭建学生发现余弦定理的平台的基础上, 寻求“一题多解” ,探究证明余弦定理的多种方法;指导“一题多变” ,改变余弦定理的形式,如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式、已知三边求向量的数量积等多种形式 ;启发“一题多思” ,引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系、与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系, 通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式, 夯实了数学基础, 打通了知识联系 ,掌握了数学基本方法,丰富了数学基本活动经验,激发了数学创造思维和潜能 ,追求数学基础与创新的和谐统一.诚如众多教师所言, 教学是一门遗憾的艺术,本节课教学有许多漏洞, 在创设情境、引导学生发现推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想和再创造等方面留有很多遗憾, 只能抛砖引玉 ,甚至做反面教材供同仁借鉴 .作者：江苏省扬中高级中学刘新春

研讨素材三

一、课例与分评
(一)教学目标
1.使学生掌握余弦定理, 并会初步运用余弦定理解斜三角形;
2.使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程, 逐步学会用坐标法解决具体问题;
3.通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程, 培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力;
4.通过发现教学法 , 培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神.
[ 点评:知识目标分级详细、适当, 能力目标和德育目标具体, 并且具有很强的针对性, 这是上好一节课的前提条件.]
(二)教学重点、难点
重点:余弦定理及其发现和证明.
难点:余弦定理的证明.
关键:建立适当的直角坐标系.
(三)教具
三角板, 投影仪, 投影片 1、2

[ 点评:重点、难点、关键抓得准, 才能在教学过程中采取有效的措施, 突出重点、突破难点, 从而实现教学目标.]

(四)教学过程
1.复习提问

一个客观规律!

S :(惊奇转而兴奋).
[ 点评:教师恰当的点拨:构造平方和、引入角 A ,顿时起到峰回路转、柳暗花明的作用, 怎能不引起学生的共鸣! 一节好课应当像一首乐曲一样, 高潮迭起, 课进行到这里进入了第一个高潮.“ 我们的发现” 更震憾着学生的心灵, 把学生的注意力牢牢地吸引住了.]T :你能否用文字语言叙述这一规律?S3 :直角三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和, 减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍.
[ 点评:这是为学生深刻理解和掌握余弦定理所做的必要的铺垫.]
T :很好! 得出了这一规律以后, 你想到了什么?
S :它在斜三角形中是否也成立.
T :太棒了! 我非常高兴地告诉大家, 你们的这个猜想是正确的, 这就是我们这节课学习的重要定理
———余弦定理(板书课题).
[ 点评:根据勾股定理和余弦定理的关系, 把余弦定理的引入处理成在直角三角形中的“ 发现” 过程, 并用恰当的语言激励学生合理猜想, 有利于培养学生学习数学的兴趣和创造能力.]
3.证明
T :下面我们来证明余弦定理, 余弦定理的证明有多种方法, 你能想到哪些方法?
S4 :作一个已知边的高, 利用直角三角形证明.
S5 :在直角坐标系中证明.
T :对于 S 4 的方法, 若三角形是锐角三角形, 则任意边的高均在三角形内, 而三角形是钝角三角形(在黑板上作出图 2), 则夹钝角的两边上的高均在三角形外, 因而需要讨论这两种情况, 同学们可在课后一试.对S5 的方法, 我们称为坐标法, 它是处理几何问题的一种常用的重要方法, 下面我们用坐标法来证明余弦定理.想一想, 用坐标法证明, 你应该先做什么?

[ 点评:教师指出了余弦定理证明方法有多种, 而学生只想到了两种, 教师就此加以点拨, 并没有刻意追求其他证法, 可谓把握有度, 突出了重点.]
S :建立直角坐标系.
T :你怎样建立直角坐标系? 为什么?
S6 :以顶点 A 为原点, 射线 AC 为 x 轴正半轴建立直角坐标系.好像前面一些三角公式的推导, 也是这样建立直角坐标系的.
T :对, 其实这样建立直角坐标系, 可使 A 、B 、C 三点坐标容易表示, 为下面的证明带来方便.(在图 2 中建立直角坐标系变为图 3), 请你指出 A 、B 、C 各点的坐标.

S7 :A(0 , 0)、B(ccos A , csin A)、C(b , 0).
T :很好! 你能否证明下去?

作者：史芝佐、安凤吉

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