教学研讨｜ 6.4.3.2正弦定理（2019版新教材）
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研讨素材一
一、教材分析
教材截图
（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）
教材分析：
（1）关于正弦定理的探究教科书首先从三角形中等边对等角引出“在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系”的问题.注意到初中利用锐角三角函数已经解决了直角三角形中的情形，即在Rt△ABC中，我们有
一个自然的问题是，对于锐角三角形和钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？
由于涉及三角形的边、角关系，并注意到探究余弦定理时利用的是向量方法，因而教科书仍然采用向量方法来研究上述关系，以此体现向量的工具作用.探究过程中，关键在于阐明“过点A作与向量AC垂直的单位向量j”的思维过程.教科书中的“思考”及其相应说明，正是为揭示这一思维过程而设计的，教学中应当引起注意。
（2）正弦定理的其他形式获得了正弦定理后，可以介绍它的另外三种形式.
①拆分式正弦定理虽然是一个连等式，但它可以拆分成如下三个等式：
在实际应用中，常用的是拆分式.事实上，拆分式中的每一个等式都揭示了三角形两个角与它们对边之间的关系，如果已知其中任意的三个量，便可以求出其余的一个量.
正弦定理（主要是拆分式）可以用来解决两类解三角形的问题：
（i）已知两角和任一边，求其余的两边和一角；
（ii)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的边和角.
②连比式正弦定理可以写成如下连比的形式：
a:b:c=sin A:sin B:sin C.
根据正弦定理的连比式，可以间接地把问题看成已知三角形三条边的问题，为利用余弦定理解决问题创造了条件.
根据正弦定理的连比式，可以间接地把问题看成已知三角形三条边的问题，为利用余弦定理解决问题创造了条件.
③分体式
分体式在“化边为角，化角为边”的过程中经常使用，这里的k实际上是三角形外接圆的
（3）正弦定理的其他证明方法对于余弦定理，我们给出了余弦定理的坐标法证明和几何法证明.下面，我们利用锐角三角函数和三角形面积公式证明正弦定理.
①利用锐角三角函数证明教科书处理这一部分内容时，一开始直接利用锐角三角函数推出了正弦定理在直角三角形中成立，既然如此，对于锐角三角形和钝角三角形，只需作高，便可得到直角三角形了，然后再用锐角三角函数即可获得证明.
如图6-25，
当△ABC是锐角三角形时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据锐角三角函数的定义，得BD=csin A,BD=asin C.
所以asin C=csin A，
当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，如图6-26所示.
过点B作AC的垂线，与CA的延长线相交于点D，则BD=csin(180°-A)=csin A,BD=asin C.
利用锐角三角函数证明正弦定理比教科书中介绍的向量法要简单.教科书之所以选用向量法，旨在体现向量在三角中的应用，这也是《标准（2017年版）》的要求.从这个意义上来说，教学时应首选向量法.至于利用锐角三角函数探究正弦定理，正如教科书中所说的，请学生自行尝试即可.
②利用三角形面积证明
如图6-27，
以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则不论A是锐角、钝角还是直角，由三角函数的定义知，点B的坐标始终为（ccos A，csin A).过点B作BELAC，垂足为E，则BE=csin A.
于是可得
同理可得
由此即得任意三角形的面积公式
将等式
中的每一部分同除以
由反比定理，得
这里，推导“用两边及其夹角”来表示的三角形面积公式，其目的是证明正弦定理。由于《标准（2017年版）》中对上述三角形面积公式没有提出要求，因此教科书中未作介绍，但考虑到这个面积公式经常用到，因此，在习题6.4第10题中要求学生自行探究.教学中是否介绍这一公式，可以根据学生的情况酌情处理。
（4）例7、例8的教学
例7是已知三角形的两个角和任意一边解三角形的问题，可以直接利用正弦定理来求解.但
在求解中涉及sin15°的计算，这是非特殊角的三角函数求值问题.可以把它改写为sin(45°-30°），也可以改写为sin（60°一45°），还可以改写为
教学中可以让学生自己思考解决方案并进行计算.
例8是已知两边和其中一边的对角解三角形的问题，可以利用正弦定理来求解.对于本例题，当求得
事实上，根据“三角形大边对大角”的结论，因为c>b，所以C>B.而B=30°，所以C=45°，或C=135°都符合要求，即此题有两个解.本例教科书的旁白中“为什么角C有两个值？”的问题设计，正是为了引发学生作上述这样的思考.
以上内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。
二、教学目标
1．正弦定理的发现和证明过程；
2．正弦定理的应用．
三、教学重点、难点
重点：正弦定理的发现和证明过程及其基本应用，体会向量方法推导正弦定理的思想．
难点：用向量方法推导正弦定理的思路方法，及正弦定理在应用求解三角形时的思路．
四、数学学科素养
数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理、数学运算
五、教学过程：见《研讨素材二》
研讨素材二
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研讨素材三
| 开学第1课，正弦定理(第一课时)等等 |
| 1.1.1正弦定理（含教学设计·课件） |
| 正弦定理 |
| 1.1.2余弦定理 |
| 余弦定理教学设计、教学实录研讨 |
| 余弦定理 |
| 1.2解三角形应用举例 |
| 正弦、余弦定理应用之解决有关三角形计算的问题 |
| 正弦、余弦定理应用之解决有关测量角度的问题 |
| 正弦、余弦定理应用之解决有关测量距离的问题 |
| 正弦、余弦定理应用之解决有关测量高度的问题 |
| 正弦、余弦定理应用之边角转换 |
四、教材习题答案
根据文末留言的要求，考虑到高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。
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