教学研讨｜ 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例（2019版新教材）

请关注阳光备课 2023-02-05

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

余弦定理和正弦定理的应用，主要指解三角形在实际问题中的应用.通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，把实际问题数学化，即把实际问题转化为数学问题，以此培养学生的数学建模素养，提高学生分析和解决实际问题的能力.

（1）例9的教学例9是关于河的对岸不可到达的两点间的距离的测量问题.此问题的特点之一是要求自己设计测量方案，并给出计算这两点间的距离的方法.注意到河对岸的两点是不可到达的，因此，只能在这两点的对岸进行测量。教科书中的分析，阐明了测量方案设计的形成过程.开始学生可能考虑在河的另一侧取一个基点进行测量，但无法获得结果，因此考虑修正测量方案，选取两个基点，便可以解决问题了，教学中要让学生体会测量方案的形成过程。

事实上，在河的这一侧选取两个基点，先测出它们之间的距离，再测出这两个基点相对于被侧两点的张角，利用正弦定理可将问题转化为，“在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边”的问题，进而可以利用余弦定理求解.

此问题的另一个特点是，运算过程所涉及的几乎全是含有字母的式子的运算.因此，本题的处理对于运算求解能力有较高的要求，应当注意训练，以提升学生的数学运算素养.

对于本例，教科书中是在△ABC中，利用余弦定理计算出A，B两点间的距离的.事实上，在教科书给出的测量方案下，还可以在△ABD中，利用余弦定理计算出A，B两点间的距离

其中AD和BD可以分别在△ADC和△BDC中，利用正弦定理求出

这也是教科书在例9的最后提出的思考问题的目的.

（2）例10的教学

例10是底部不能到达的建筑物高度的测量问题，归根结底仍然可以看作平面上解三角形的问题.由于建筑物底部不能到达，因此求解中一要注意测量方案设计的可操作性，二要注意求解建筑物的高度时不要忘了测角仪的高度.

此题中涉及了仰角的概念，分析问题时应对仰角的定义作适当阐述.一般地，当视线在水平线上方时，视线与水平线所夹的锐角或直角称为仰角.

关于测量底部不能到达的建筑物高度的问题，有时还会涉及俯角的概念.一般地，当视线在水平线下方时，视线与水平线所夹的锐角或直角称为俯角.对于俯角的概念，教学中可以适当补充。

（3）例11的教学

例11是航行问题中的航程以及角度的测量和计算问题.由于题目中没有给出图形，因此，正确理解题意，画出示意图，是解决问题的重要环节，而读懂题目中“正东方向”“南偏西30°”

“目标方向线”等术语，是画出示意图的前提。