什么是黎曼和？什么是定积分？

在初等数学中学习了三角形，四边形，多边形的面积计算：

现在来学习 曲边梯形 的面积是如何定义的，以及如何计算的：

1 抛物线下的曲边梯形

1.1 问题

之前介绍过，要求 ，  之间的曲边梯形的面积 ：

可以把  均分为  份，以每一份线段为底，以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形：

当  的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

那么，能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形？

1.2 计算

算一算就知道了。先把  均分成  份，每份长为  ，以及各个划分点的坐标如下：

把坐标组成两个集合：

因此，以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算：

同样的道理，可以得到以右侧的函数值为高的矩形和：

当  的时候，两者是相等的，它们都是曲边梯形的面积：

2 狄利克雷函数的曲边梯形

之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数：

也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。  的图像是没有办法画的，非要画也就是这样的：

假设要求  内的曲边梯形面积，尝试对  进行  等分，那么等分点必然为有理数点（下图为了演示方便，调整了下  坐标的比例）：

所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高，以等分区间长度为底作矩形，可以得到：

这些矩形的和必然为1，可以想象进行  等分也依然为1，所以有：

下面换一种划分方式，以邻近的两个无理数作为端点划分区间，这些区间的端点的函数值必然为0，以区间长度为底，0为高，得到的矩形和为：

可见，对于  而言，不同的划分区间、不同的高的取法，会导致不同的矩形和：

3 黎曼和

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）是德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。

基于对刚才两种情况：

• 抛物线下的曲边梯形

• 狄利克雷函数下的曲边梯形

的思考，看到不同划分带来的效果，黎曼先发明了黎曼和，进而定义了曲边梯形的面积，也就是定积分。

3.1 任意划分

 不一定需要均分为  份，可以任意分割：

很显然用于分割区间的点符合：

令  ，那么集合：

称为  的一个划分。划分  定义了  个子区间：

 称为第 1 个子区间，更一般的  被称为第  个子区间：

第  个子区间的长度为  ：

3.2 任意高度

对于某一个划分  ，在其第  个子区间内随便选一个数  ：

以  作为矩形的高：

那么矩形的高度也可以是任意的：

3.3 黎曼和

根据刚才的讲解，可以得到如下定义：

设函数  在  上有定义，在  上任意插入若干个分点：

这些分点的集合：

称为  的一个 划分。划分  定义了  个子区间：

它们的长度依次为：

在每个子区间  上任取选取一个数 ，以 

 为底，  为高构造矩形，这些矩形的和：

称为  在  上的 黎曼和。

之前计算的  、  是黎曼和：

狄利克雷函数中划分出来的矩形和  、 也是黎曼和。

4 定积分

随着  的划分不断变细，所有子区间的长度趋于0时，黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积：

这个过程的严格化如下：

设函数  在  上有定义，对于  上的任意划分  ，  为子区间  上任意选取的数，子区间  的长度为  ，记：

如果下述极限存在：

则称被积函数  在积分区间  上可积， 为积分下限，  为积分上限，  为 在 上的 定积分，  为积分变量，可以标记如下：

回到之前讨论的问题：

• 抛物线下的曲边梯形：  ，以及各种划分都相等，所以  存在，可积

• 狄利克雷函数下的曲边梯形：  ，所以  不存在，不可积

这里新引入的积分符号是莱布尼兹创造的：

其中，  代表英文中的求和（“sum”），拉长的  则表明积分是和的极限（“limits of sums”）。这个符号相当精练，可以表达非常丰富的信息：

往期经典链接：