北师大版八上数学2.2 平方根 知识精讲
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知识点总结
平方根
1. 概念：若果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作+-√a（a≧0）（有些同学容易弄混，所以直接可以理解为，一个非负数开平方出来，其中的正数就是算术平方根，例：+-√36=+-6，其中6就是算术平方根，+-6整体就是平方根）
2. 平方根的性质：一、正数有两个平方根，它们互为相反数
注意：
一、根号下面的整体必须大于等于0（例子：√x-3（根号下x-3）中隐含着x-3≧0，）
二、0的平方根是0
三、负数没有平方根
知识点汇总
1
基本概念
1、平方根
如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.
a（a≥0）的平方根的符号表达为±√a(a≥0)，其中√a是a的算术平方根。（根号电脑无法输入，此处仅为示意，请以授课中的根号表示方法为准）
【要点诠释】
当式子√a有意义时，a一定表示一个非负数，即√a≥0，a≥0。
平方根和算术平方根的区别
2、区别：
（1）定义不同；（2）结果不同；
3、联系：
（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
【要点诠释】
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
4.平方根的性质
5.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：
今日练习
1
1.计算
| A．2 | B．±2 | C．-2 | D．4 |
【参考答案】
1.根据22=4，即可得出4的算术平方根.
考点：算术平方根
点评：此题考查了算术平方根。注意：一个正数的算术平方根为正数.
教学设计：
为什么要学习平方根？
首先是出于解决实际问题的需要。在我们的生活中会遇到“已知正方形面积求边长”的问题，这也是课本所采取的引入方法。
其次从数学本身的逻辑顺序看，在学习乘方运算后，其逆运算开方运算也就自然出现了。因此从逆运算的角度也可以直接给出平方根和开平方的概念。
如何理解平方根？
开平方是“已知一个数的平方，求这个数”的过程。因此，从运算的角度，平方根是平方运算逆运算所得的结果。
此外，正数的正平方根还有很好的实际意义——已知面积的正方形边长。
最后，我们不得不注意平方根对数系的扩充具有重要意义。第一次数学危机后，数系从有理数扩充到实数，而平方根在这个过程中起到至关重要的作用。因此平方根是数系扩充的关键，也是学习实数的基础。
教学的重点难点是什么？
本节内容学生的错误率高，经常不是答案缺漏就是画蛇添足。究其本质，还是概念不清以及文字语言和符号语言无法准确对应。为什么会出现这种情况呢？学生学习的难度在哪里呢？我们认为：首先，知识本身有较高的难度，主要源于抽象的字母、符号，和逆运算所需的逆向思维；其次，学生接触负数时间短，在逆向思维时容易习惯性地想到正数而忽略负数；最后，在接触平方根之前，学生印象中计算结果都是唯一的，而平方根的出现打破了这种认知，造成了困难。
因此，本节课的重点包括：（1）能区分、辨别平方根、算术平方根的概念和符号；（2）理解乘方和开方互为逆运算关系；（3）能在符号语言和文字语言间进行对应和转化。难点在于：能熟练准确地使用平方根、算术平方根的文字语言和符号语言。
如何在教学中突出重点，突破难点？
在本课的概念落实上，相较于浙教版，讨论组成员认为人教版的设计更为合理。人教版以“正方形面积导入——算术平方根的概念及符号表示——（无理数估值）——平方根和开平方运算的概念——平方根的符号表示”的顺序展开教学，强化了算术平方根概念的引入，展现了一个从实际需要到完善概念的过程，由易到难，由实际到抽象，过渡自然，重点知识逐一呈现。
在难点的突破上可尝试形式多样的反复操练。文字语言、符号语言相融合，规范的书写格式和简略的口答相结合，在练习中区分概念、夯实基础，以达到熟能生巧的目标。
平方根有哪些应用？
平方根无论在数学内部还是在其他学科中都有广泛的应用。
数学学习的后续内容，如一元二次方程、勾股定理等知识中均有平方根的应用。如用直接开平方法求解一元二次方程的根，用勾股定理求直角三角形斜边的长。
物理是广泛应用数学原理的一门学科，如物理中的匀加速运动，当已知位移求时间时，就需要计算算术平方根。
教学目标：
知识与技能 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 过程与方法 培养学生的探究能力和归纳问题的能力. 情感、态度与价值观 通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣. 课型 新授课 课时 第二课时 教学重点 平方根和算术平方根的联系与区别. 教学难点 平方根和算术平方根的联系与区别. 教学方法 自主探究 教学准备 PPT课件 教学过程设计 个性化修改 教学过程
教学过程
一.思考归纳，导入概念
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意中括号的作用．
又如：，则x等于多少呢？
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．
观察：课本中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根．
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．
例1：求下列各数的平方根。
（1）100（2）（3）？0.25
建议教师要规范书写格式。
学生活动：学生完成课本的填表练习，规范书写格式
设计意图：这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验．在等式中求出x的值，为填表做准备．
通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备．教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产生发展的过程．（通常称为平方根．在研究有关n次方根的问题
3表示＋3和一3两个数．这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。
讨论归纳，深化概念
按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
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