北师大版九上数学2.1 认识一元二次方程 知识点精讲

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知识点总结

知识点一：一元二次方程的概念  

(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：

(3)四个特点： 

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为

的形式，则这个方程就为一元二次方程． 

（4）将方程化为一般形式：时，应满足（a≠0）

知识点二：解一元二次方程   

一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

一：直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是n的平方根，当时，，，当n<0时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。

（1）形如的方程的解是x=。当p=0时，0

二：配方法

配方法：将形如的一类方程，化为形式求解的方法叫做配方法。

一般步骤： 

（1）把常数项移到方程右边； 

（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；

（4）原方程变形为的形式；

  （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

三：公式法

（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

由配方法得，化简：   

一元二次方程的求根公式：

，

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。

四：因式分解法

因式分解法的步骤是：

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：

（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

　　1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

　　2.一元二次方程有四个特点：

　　(1)含有一个未知数;

　　(2)且未知数次数最高次数是2;

　　(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

　　(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)

　　3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。

　　一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;

Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等).

4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

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