北师大版七下册数学1.5《平方差公式》知识点精讲

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知识点总结

平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。

抓住公式的几个变形形式利于理解公式。但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)

（3）指数变化：如(m³+n²)(m³-n²)

（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)

（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)

（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)

做题步骤：

1）先判断能否使用平方差公式。判断依据：一对相等项， 一对相反项。

2）如果可以使用，则一般情况下我们可以将相等的一项放

在多项式的第一位进行计算（第一个数的平方减去第二个数的平方）；

3）不管能否使用平方差公式，多项式乘以多项式是基本方法。

表达式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式

公式运用

可用于某些分母含有根号的分式:

1/(3-4倍根号2)化简:

1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23

注意事项：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

第一关：直接运用公式

1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)

4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+1/2)(2x-1/2)

6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b)8. (-2a-3b)(-2a+3b)

第二关：运用公式使计算简便

1、1998×20022、498×5023、999×1001

4、1.01×0.995、30.8×29.26、100-1/3×99-2/3

7、20-1/9×19-8/9

第三关：两次运用平方差公式

1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)

3、(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)

第四关：需要先变形再用平方差公式

1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y)3.(-2x+y)(2x+y)

4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)

7.(ab+1)(-ab+1)

第五关：每个多项式含三项

1.（a+b+c）(a+b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)

3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)

课后练习

导学案

图文导学

教学设计

教学设计

民勤实验中学马维贞

教学目标

1．知识与技能

会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．

2．过程与方法

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．

3．情感、态度与价值观

通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．

教学重、难点与关键

1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．

2．难点：平方差公式的应用．

3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．

教学方法

采用“情境──探究──猜想──归纳──验证──应用──拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．

教学过程

一、情境导入

王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快？”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗？你现在能算出来吗？学了本节之后，你就能很快解决这个问题了。

从而引出课题：平方差公式。

二、自主探究

1、计算下列多项式的积。观察下列各式，它们有什么特征？你能用字母把这个特征表示出来吗？

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（1+2x）（1-2x）=

（3）（3m+n）（3m-n）=

2、观察等号左边各式，它们有什么特征？

3、分组计算下列各式，并请你观察它们的运算结果，你发现了什么规律？

4、讨论运算结果，你发现了什么规律？

5、猜一猜：（a+b）（a-b）=a2-b2

6、归纳：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

7、代数法验证：运用乘法分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，进一步体会转化的思想，从而验证猜想。

（a+b）（a-b）=a（a+b）-b（a+b）=a2+ab-ab-b2=a2-b2

8、几何法验证：在一块边长为a的正方形纸板上，因实际需要在一角上剪去一块边长为b的正方形，剩下部分的面积是多少？

方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2

方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。得到新矩形的面积为（a+b）（a-b）

利用面积相等推得平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

学生活动：教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。

9、公式结构特征：使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式来计算呢？也就是说，平方差公式具有什么样的特征？

（1）公式的结构特征：左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.

（2）字母的广泛含义：公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。

学生活动：尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，以便能够准确运用。

三、新知应用

1、试一试，对照公式填表。

（a+b）（a-b） a（相同的项） b（互为相反数的项） a2－b2（平方差的形式） （y+3）（y-3） （a+3b）（a-3b） （-m-n）（-m+n） （a+b+c）（a+b-c）

2、小试牛刀，例1运用平方差公式计算：

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