洋葱教研室|关于有理数：为什么学生总是算不对？

很多初中数学老师在从初三下到新初一时，非常不适应这些新晋小学毕业生参差不齐的运算能力，恨不得花一个礼拜时间先补补分数小数的运算，甚至还想召集他们的小学数学老师开个座谈会。

如果你也是其中之一，你是否准备好带领学生完成从“学算术”到“学数学”的过渡？

01

算术只是数学的基础

试想一位小学生，在他眼里，数学就是算术，各种算，不停地算，用算出的结果是否正确来判断自己学得好不好。其实你应该知道，算术只是数学的基础，甚至都还不能算是入门。

那么，我们怎么拿好这块敲门砖，帮助他们打开数学这扇大门呢？

首先，你要注意到学生在知识上的差距。特别是当他看到了“有理数”这个名词时，很可能只是做好了学习更复杂计算的准备。他需要转变的观念是，从初中开始，我们要重视概念的学习，不要上来就撸起袖子加油算。

小学的算术更多是建立在事实性知识的基础上，学生不具备理解抽象概念的能力，但不影响他们执行程序。但到了初中，你要让学生意识到，数学是一门概念驱动的学科，只有理解了概念，才能达到教学的目的。那么，在这一单元，我们都要教什么呢？

主要是两个内容：一是有理数的相关概念，二是基于这些概念的运算。

从发展核心素养的视角，主要是数学抽象和数学运算。

我们来看看课标对这一章教学内容的相关要求：

1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）。

3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。

4.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

5.能运用有理数的运算解决简单的问题。

你看，没有理解，就没有应用，也难以发展素养，更别提算得对了。那我们通过有理数的教学，要帮助学生形成哪些理解呢？

02

理解1：研究对象的分类方法取决于

研究对象的组成元素

学概念从分类开始，分类会涉及到标准。很多老师都让学生在笔记上记下有理数的这两种分类。

但我想说的是，相对于在两种分类下辨析0在哪里，或是要求学生死记这些结论，分类的标准更重要。你可以问学生：这两种分类方法分别是按什么分类的？为什么是这两种？还有其他的分类方法吗？

对于以上问题，学生还没有太多经验，我们并不一定要他说得多准确，而是要保持对这些问题的持续思考。学三角形的时候，还会有同样的问题。比如：

有理数由符号和数字部分两种元素组成，所以有两种分类方法。三角形由边和角两种元素组成，所以也有两种分类方法。

对于分类思想的训练还可以迁移到生活中。

比如，衣服可以有几种分类的方法？

生活中的分类更加复杂，每个学生考虑的角度可能不一样。如果有学生回答“上衣和裤子”、“长袖和短袖”、“夏装和冬装”等等，你可以再追问：你是按什么分类的？这种分类合理吗？这里的合理在引导学生思考分类的“不重不漏”原则。

这样的问题可以激发学生持续思考，并且让学生体会到，数学思维在生活中是有用的。

03

理解2：数轴是研究有理数的直观工具

它把符号解释为相对于原点的方向

把数字部分解释为到原点的距离

负数在小学有过初步认识，但并未让负数正式参与运算。关于负数的出现，我选取了洋葱数学的一段有趣的视频，你可以带学生了解一下。

因为负数的引入，我们对数的认识不仅仅是计量了，符号的出现使得从实际意义抽象来的有理数具备了一层“方向”的意义：要想解释负数的意义，先告诉我正数的意义是什么。

而数轴这样一个工具，因为原点的确定，使得数的排列自带方向感，这就使得生活中相反意义的量可以抽象成数轴上原点两侧的数。

不仅如此，相反数、绝对值的概念，都离不开数轴的直观刻画。特别是绝对值，这个“绝对”一词指的是什么呢？其实我们可以理解为不考虑“相对”的意思，而“相对”指的就是位置，也就是符号在数轴上的体现。没有了相对的方向，剩下的就是绝对的距离。

数轴将“以形助数”的作用发挥得淋漓尽致。相反数、绝对值这两个概念都有代数、几何两层含义，但几何意义更能直观地反映数学本质，而代数意义均是用来计算的程序性知识。如果这里过分强调数的特征，而忽略了形的意义，对相反数和绝对值的理解是不完整的。

相应地，用数轴比较有理数的大小，也有数和形两种方法，其中数是基于计算的绝对比较，形是基于排序的相对比较，所以形的方法更具有一般性，特别适用于用字母表示的情况。比如人教版教材中的这道题。

甚至于形成有理数运算法则的过程，都离不开数轴的助攻。

04

理解3：有理数的运算通过确定符号

转化为不含负号的运算

终于要说运算了，我们来看看初中的运算跟小学有什么不同。不知你可曾想过一件事，我们小学时学的所有运算，为什么是那样算？乘法口诀背得溜溜的，用我们现在的批判性思维怀疑一下：这些都是正确的吗？如何证明？

其实我们并没有证明。对于学生来说，我们确实只是认识这些法则并加以应用，甚至小学的这些规则就是在认同的基础上加以记忆，它们对于绝大多数人来说都是事实性知识。

到了初中，学生开始逐渐发展逻辑推理能力，对于数学中的结论要开始探索规律，寻求依据。探索规律就是归纳，寻求依据就是演绎。

拿有理数加法法则而言，这是初中学习的第一个法则。法则应该怎么教？你可以理解为法则就是数的运算性质。性质对于图形研究而言是不是先猜想再证明？法则也是一样。但是对于有理数运算的法则来说，因为都要转化为小学的运算，而小学运算的规则本就也没有证明，所以我们依然通过归纳来形成法则。

什么意思呢？说白了就是让学生找规律。

让学生自己写一些式子，然后通过实际意义来解释结果，什么谁欠谁钱啊，净胜球啊，都可以。

有了足够多的例子，就可以进行分类了。法则就是要尽可能简单，能用一句话的就不用两句话。

接下来就是用文字语言归纳法则了。这个过程让学生用自己的话说一说，我们再来规范和补充，比如互为相反数的情况。

通过这样的一系列活动，学生再进行技能精熟的练习时，可以进一步感受到法则是如何见招拆招，转化为小学学过的运算的，而转化的代价是，有些运算将通过减法来实现。

有理数加法法则的教学本就体现着分类和归纳的思想，是发展学生数学抽象和数学运算的好时机。对于数学运算素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

要想让学生真正理解运算对象，掌握运算法则，就不能把法则教学当成规定，让学生背几遍然后匆忙进入大量练习，这是不符合认知规律的。还是那句话，刻意练习要建立在理解的基础上，否则多是在做无用功。

对于核心素养的内涵和教学，后面我会再单独介绍。

总结

在有理数这一章，我们主要学习有理数的概念和有理数的运算，主要发展学生的数学抽象和数学运算。在完成这一章教学后，学生应该形成三个关键理解：

1.研究对象的分类方法取决于研究对象的组成元素。

2.数轴是研究有理数的直观工具，它把符号解释为相对于原点的方向，把数字部分解释为到原点的距离。

3.有理数的运算通过确定符号转化为不含负号的运算。

为了形成以上理解，我们可以让学生持续思考这些问题：

有几种分类的方法？

分类的标准是什么？

怎样借助数轴将数的问题用形来表示？

这个运算如何转化？

如何运算更加简洁？

关于有理数的教学分析就介绍到这里，我也留给你一个问题：我们知道数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。虽然数轴的三要素是规定的，但学生并不一定理解了这个规定。我们如何通过教学让学生体会这三个要素的必要性呢？

欢迎留言讨论，也欢迎你提出教学中的疑问或建议，我们一起终身学习。

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