高中数学新教材B版问世，深度解读情境中的函数

一、新教材的特点

      全面落实立德树人的基本要求，充分体现数学学科特有的育人价值与功能。贯彻高中数学课程的基本理念与要求，贯穿发展学生数学学科核心素养的主线；体现数学内容的逻辑体系，揭示数学内容的发生、发展过程；遵从学生认知规律，合理安排学习内容，形成教材的编排体系以及相应的特色和风格，积极探索教材的多样化。利于教师创造性教学，有利于学生自主性学习。

       突出函数所刻画的运动变化现象的本质，渗透研究函数的思想方法

       突出函数所刻画的运动变化现象的本质特征

       数学研究的数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，无论数量关系中还是空间形式中都充满了运动变化的问题，函数就是对客观事物从运动变化的角度进行数量化研究的重要数学语言和工具

       高中阶段对于函数的认识已经从初中的“变量之间的单值对应”提升到“数集之间的对应关系”，但其刻画运动变化现象的本质特征没有改变，变化与对应也是研究函数的基本思想方法。

       函数刻画了运动变化现象，基本初等函数刻画了某一类具体的运动变化现象。

       一次函数——“匀速”变化

       二次函数——“匀变速”变化

       指数函数——“指数爆炸”的变化

       对数函数——“对数增长”的变化

       三角函数——“周期往复”的变化

       分段函数——不同阶段有不同变化

重视数学对象的获得过程、数学概念的形成过程，发展数学抽象素养

       数学源于对现实世界的抽象，数学研究对象是从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象得到的，数学对象的获得过程蕴含着丰富的数学抽象、直观想象的核心素养。

       问题情境（现实、数学、其他学科）——概念

       例如，函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，因此对于函数及相关概念（基本初等函数、数列、等差数列、等比数列、导数），都要从反映这些概念本质特征的现实情境、数学情境、其他学科情境等问题情境出发，让学生经历归纳其共同特征、概括其本质属性的过程，使学生学会数学地认识问题，学会“用数学的眼光观察世界”，从而发展数学抽象、直观想象的素养。

初中函数概念分析

       在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数。

       变量间的单值对应关系，变量——对应说在具体的变量背景上定义函数，有利于学生直观认识函数的本质特征，但很难摆脱表达形式（表达式、表格、图象）的束缚，因此很难一般地认识函数，很难把握函数的本质特征。

       根据这种定义很难判定两个具有不同表达式的函数f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；这种方式定义的函数，很难建立函数的定义域和值域，因此也很难研究函数的性质。

教材的做法

章引言：从运动变化现象出发，提出研究函数的问题。

通过对初中函数概念分析，提出初中函数概念的局限性，实现了函数概念由变量——对应说到对应——关系说的转变

增加函数概念的数学史---------退回概念的起点，前世今生

变量——对应说到

对应——关系说的转变

90页狄利克雷、高斯函数、二次函数、幂函数联袂登场

        共同演绎丰富多彩的函数图像（数形结合）

增加狄利克雷函数部分

通性通法为主线----多维视角分析，发散

研究函数性质：特殊到一般

突出解析式-取整函数被保留， 并且更加详细具体

更加重视计算机对于理解函数的重要性

知识问题化问题情景化 情景生活化 生活学科化

       教材重视以数学核心概念及其反映的基本思想、基本方法为纽带，加强内容的纵横联系，通过类比、归纳、推广、特殊化，使不同内容相互沟通，从而加深对数学的整体性认识，帮助学生建立结构功能优良、迁移能力强的数学认知结构，体会数学的思维方式，提高对数学的整体认识。

对称之美！回归数轴！

为什么研究函数性质

       通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。

怎么研究函数性质

       从特殊到一般

       利用图象研究性质，注意“利用图象研究性质”不是“由图象推导出性质”。

       从函数定义出发研究性质，再利用函数的性质研究函数的图象，使学生对函数的性质有更本质的认识。

（1）厘清“是什么”

（2）追问“为什么”

（3）建构内容联系

（4）挖掘思想方法

“二分法”教学中的逼近思想

（5）寻求多元表征

直观表征，符号表征

       对于《函数的应用》来说，旧版函数的应用设置了四个例题，全部围绕一次函数和二次函数展开，针对这两种函数建模。而在新版教材中，设置了5个例题，除了有一次函数和二次函数的考察外，还有分段函数和均值不等式的考察。下面，针对几点不同进一步分析。

       新版的例一的设置是为考察分段函数的，这是旧版所没有涉及到的.

       本例题的设计更贴近生活，贴近实际，也锻炼学生的建模能力

例二的设计背景是一次函数，需要学生自己寻找，建立合适的数学模型，这也是旧版所没有的。

例3是和旧版的例二一样的题，背景是租住客房，提高单价，客房出租数减少，旧版教材给的两种方法中，方法一是新版教材的解析,除此之外，解法是相同的.模型都是二次函数。

       新版的例四和旧版的例三是一个题，通过建立二次函数模型，来达到求最值的目的.新版教材中因为前面学习过不等式了，所以新版教材中的想一想：你能用均值不等式求得S的最大值吗？

       让学生用均值定理来解决这个问题，这是旧版教材没有的。

       所以新版教材对于例五的设计定位就比较好把握了，考察均值不等式的应用，题目设置两问，第一问，需求出解析式；第二问，求函数最值，采用方法为均值不等式.旧版教材没有不等式的考察。

课本第124页 习题3-3B第2题由  线性回归提到函数部分

怎样培养学生的核心素养？

余文森教授

       学科知识只是形成学科素养的载体，学科活动才是形成学科素养的渠道．学科知识是不能直接转化为素养的，简单的复制、记忆、理解和掌握是不能形成素养的．学科活动意味着对学科知识的加工、消化、吸收，以及在此基础上的内化、转化、升华．这其中三维目标中的“过程和方法”起着重要的作用，但是，“过程和方法”毕竟也不是素养本身，而是素养形成的桥梁．

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