创新量纲分析重导玻尔模型能级公式
1 背景
目前量纲分析的通行手法为白金汉Π定理(简称Π定理)[1]与瑞利法[2]，或两者混用。由于许多重要物理常数本身是无量纲的量，因此在找寻无量纲量时，通常会用Π定理先行估算[3]，然而它是一种单向思考的手法，并没有考量到反过来的情况，这样就自我设限不够全面。物理学中有负电子也有正电子，数学中有函数，也要有反函数，为何量纲分析中不能有反向操作手法？于是有了填补空间，也就是在主要思惟逻辑上，以无量纲量为基础，逆向思考它是怎么得来的，这也就成了本研究自创手法的骨干精髓。本研究是针对氢原子物理进行案例探讨，因此会受限于此，但方法并不受限。
本文将介绍一套自创手法：隐因还原比例法，这是无量纲分析的逆向思考创新手法。接着是两个补充概念，一是先求得一个无量纲量，再转成我们要的特征组合物理量，以作后续进一步分析之用；二是由物理特性与物理图像来主导整个量纲分析，而非迁就于量纲分析的方法论。为此，就得搭配三项物理特性。第一项物理特性：原子激发不连续光谱线只与原子的内蕴物理量有关，无论原子体量大小、距离远近、吸收放射等种种差异因素，内蕴物理量皆不受其影响，因其根源是来自系统内部；第二项物理特性：原子不连续光谱线波长就是此一内蕴物理量的特定表征，因为对物理系统的光谱波长描述毕竟只能来自系统内部；第三项物理特性：光量子化。
另考察量纲分析应用于原子物理中的情况，普遍是针对片面问题进行估算，难见将一体系问题经不同量纲分析过关斩将，最终拨云见日解决疑难，这也是本文要展现的企图，希望能够做到。
2 创新隐因还原比例法介绍
当手上只有实验测得的光谱线波长数据，如想据此建立光谱波长经验方程，若按现在的Π定理来看，只观测到波长且不清楚系统还会涉及到哪些物理量，而光谱线波长就只有一个基本量(L)，Π定理无从建立无量纲的量，遑论建立光谱线波长之间的关系式。本研究就是为了解决这类问题，特创建新的量纲分析手法，能在实验数据受限之下，找出物理系统的内蕴物理量，至于何谓内蕴物理量，这里要先给出定义。对于一特定物理系统而言，内蕴物理量是由一些与系统相关的物理基本常数所组成，且构成该系统独一无二的特性。内蕴物理量几乎不受系统外在因素影响，因其根源是来自系统内部，而此一内蕴物理量当会反映到此系统的特定表征，因为对物理系统的描述毕竟只能来自系统内部。例如，无量纲常数往往会是个内蕴物理量，精细结构常数就是典型例子，它是由电子电荷、真空介电常数、普朗克常数、真空中的光速等物理基本常数所组成。但这不表示所有无量纲量在“物理上是有意义”的，譬如本研究所找出的无量纲的量，在物理上都没有意义，却能当成跳板，可借其转到想要解决的问题上，也就是前面提到的补充概念之一：先求得一个无量纲量，再转成我们要的特征组合物理量。
无量纲(dimensionless)的观念在量纲分析中是非常重要的，量纲平衡背后的思维逻辑也是基于无量纲，正是所谓无量纲化(nondimensionalization) 之根据。由于光谱线波长就只有一个长度基本量，按Π定理就无从建立无量纲的量，遑论建立光谱线波长之间的关系式。其实要制造出无量纲的量非常简单，只要将不同波长相除就是了，但也没见着光谱线相关的内蕴物理量，如同拿篮子打水，白忙一场，真的是这样吗？这倒未必，这里就是要补充量纲分析，运用无量纲量概念，让不同波长相除，不但不会白忙，还能凸显出其内蕴物理量。这就是本研究已探明的隐因还原比例法，顾名思义，就是让原来两两相除被约分隐藏不见的因子，还原显露其本性介绍。
就一原子光谱线系统，为求出经验方程式λ=f(λ,K)，其中λ为已知波长而K为未知量，如果系统符合第一项物理特性，则可令K是个不为零的内蕴物理量，那么按第二项物理特性，则存在有函数形式f(λ,K)=Kf(λ)，如观测得知最少有3个物理量：
那么可运用前面提到的补充概念之一，先求得一个无量纲量，再转成能凸显内蕴物理量的特征组合分数形式比例项，也就是先把不同波长相除，再列出下列关系式：
对照上述两行分立右等号两边的两个分数形式比例项的乘积，呈现出一对对小括号比例因子的乘积，很容易发现分立右等号两边的各前项乘数都长得一模一样，也就是找到了一个共同形式a/K=(分数形式无量纲量常数a)，并将右等号两边两两比例项目一一对应从中找出下列关系式：
上述这些公式中只有参数K是个未知数，其他都是已知数值，而且各项公式之形式都是一元一次方程式，这是最容易求解的。求出参数K之后，可以再列出λ=Kf(λ)=分数形式比例项，在运用数字技巧将分数形式比例项的规律找出来，于是得到经验方程式λ=K×(有规律的分数形式比例项)，此时，K与λ有着相同的量纲。注意，严格来讲，目前按本方法找到的K值，只算是一个共同因子，并不保证是个内蕴物理量，这还要进一步分析与确认。
3 以创新法找出氢原子光谱线的规律
方法有了，接着就是操练时刻，本节将针对氢原子物理进行案例练习。其实这部分已于前一篇“以简明物理法重新发现巴耳末公式”[4]的研究报告中详细说明，此处细节就不再重复，如欲了解详情，敬请参考该文献[4]。不过为了考量逻辑推理的连贯性，这里还是要做个重点交代，该文利用红、青绿、青、蓝、紫等总共五色氢原子光谱谱线波长，照前述介绍的隐因还原比例法，按部就班就能找到一个共同因子，也就是巴耳末基数，然后经过一些变换，就得出里德伯公式：
由于按隐因还原比例法所找到的是一个共同因子，后续还要进一步确认是否为内蕴物理量。
4 以Π定理算出氢原子玻尔半径
此前所推得的里德伯常数R的数值，是可经由实验方式测得其值，可是只能确认它是一个属于氢原子光谱之共同因子。目前，虽不清楚它是由哪些基本物理常数所构成，却可以先从里德伯常数具有长度的量纲[1/R]=L开始着眼，猜想光谱线体系是有内蕴长度的。因此，本单元将以Π定理[1]揭露与此相关的内蕴物理量。在原子物理学中常采用国际MKSA(米、千克、秒、安培)的电磁学单位制，因此会有4个基本量纲：长度[L]、质量[M]、时间[T]、电流[I]。原子物理中的基本常数有电子静止质量me、电子电荷量e、光速c、真空介电常数ε0、约化普朗克常数
(2)
现就上述势能公式(2)中找出一些有兴趣的物理量考量海森伯不确定度关系，并按照它们与基本量纲之间的关系式导出下列分析所需的各种量纲式：
前面已推测光谱线体系是有内蕴长度的，而半经的量纲恰好吻合，所以设
解代数方程组过程如下：
求解之后，根据Π定理可以写出半径的量纲关系式
现回头考量式(2)由库仑力产生的势能，半径趋近于零则会导致负无穷大的势能产生，这是不可能的。因此，合理的推断其半径有个下限并定为r0，再套用前面式(3)的无量纲量并可移项转为：
由于r0已经是个下限值，若待定常数Γ1小于1会导致r0的值变得更小，这与先前的推断产生了矛盾。为了保持系统的自恰性，因此，待定常数Γ1的最小极值就只能是等于1，因此得到明确的氢原子中最小电子轨道半径，其物理基本常数组成竟然与玻尔氢原子模型推得的玻尔半径一模一样，其关系式表征如下：
以上运用系统的自恰性证明了为何电子不会坠入原子核的原因，如换作量子力学的角度来看，这个存在最小半径现象，是受到不确定度关系的制约。以下转述了费曼运用不确定度关系对氢原子半径的估算法[6]，首先考量电子总能量为
费曼运用普朗克常数特性所做的估算，居然与之前量纲分析合并使用自恰性所得式(5)有着相同结论，此情况就好像黑体辐射的频谱函数是引入普朗克常数之后，才自恰地有了正确形式。由此可联想到，在描述微小尺度的世界，物理理论如要自恰，就会与普朗克常数密不可分，然而有关普朗克常数的很多秘密，当今物理学家还没有完全明白，这已是题外话了。
5 以瑞利法定出氢原子基态能量
前一节推导得出氢原子中电子运行的最小电子轨道的玻尔半径，但还是没能揭露里德伯常数的内蕴物理量，下一步呢？惠子曰：“以其所知谕其所不知而使人知之”，在所知最小半径轨道的电子身上，或许可以猜想到下一个线索。于是接着问，那么其最小能量不知几何？一般运用Π定理是想求出对系统分析有意义的常数，但应注意式(3)无量纲量却是个与半径有关的变量，由于我们是在探讨此一系统的内蕴物理量，而式(3)无量纲量中的r并不是常数，因此把它剔除，这样就符合本研究的第一项物理特性条件要求。此时，由于式(3)少了半径，这相当于是把式(3)的无量纲量乘上一个波数物理量，恰好变成一个具波数物理量的内蕴物理量，也就成了我们要找的系统特征组合物理量，其量纲乃等于里德伯常数的波数量纲。于是该特征组合物理量也会有着里德伯常数的内蕴作用，即是会按本研究的第二项物理特性来运作，因而这个特征组合物理量会伴随在氢原子所发射的光波当中。所以，该光波所具有的能量E会是由上述式(3)无量纲量中除开半径以外的其他3种不同导出量所组成，也就是E=f(
可以从上述式(6)得到能量的量纲式为：
就量纲的一致性对照上式不同基本量纲中已知与未知之间的量纲关系，可分别找出下列联立方程组：
对上述代数方程组求解，可得3个量纲指数分别为x=-2,y=2,z=1，再把它们代回到式(6)，使得能量E与这些导出量的函数关系式如下：
现在假设一种能量转换情况，就是将最小半径静电势能转成光谱线的能量，于是就有下列关系式：
将式(5)的玻尔半径代入到上式，可以得到Γ′=1。以上只是猜测，要经实验加已证实才行，而里德伯常数是个可测得的物理量，只要两者数值近乎相等，就能决定式(7)中的正确比例系数Γ。如果将前述猜测得到Γ′=1代入到式(7)，并计算相关物理基本常数值，会发现此理论计算值会是里德伯常数测量值的两倍大，于是要改成Γ=1/2后再次代入到式(7)，这时新计算所得理论值就会和里德伯常数测量值相当，如此就能得到正确的最小能量：
前述理论值与测量值的计算与核对工作细节，请参阅文献[4]，这里不再赘述。以上得到里德伯常数背后的最小能量，或叫基态能量，它与玻尔半径式(5)的关系可算得为
6 用基态能量推导出里德伯常数的内蕴物理量
由于里德伯常数的量纲是波长λ的倒数，又按本研究的第三项光量子化特性要求，此光量子能量为E=hf，其中f为其频率，还要与前一节得到的基态能量式(9)关联起来，于是能导出由多个物理基本常数实际构成的里德伯常数：
(11)
至此，才得以证明在前面第三节里按隐因还原比例法所找到共同因子，也就是里德伯常数。它真的是此物理系统的内蕴物理量，同时也完全揭露该内蕴物理量的本质内涵，与玻尔理论所推得的形式及内涵完全一致。
7 综合推导出玻尔模型能级公式
有了前面经不同量纲分析手法取得的成果，就不难推导出玻尔理论的能级公式。首先考量在氢原子受激发射的光波具有的光子能量，当遵守式(1)的里德伯经验公式，但两者量纲不一致，因此要将式(1)的里德伯公式按本研究的第三项光量子特性来进行转换，得到电子从m能级跃迁至n能级(按经验公式只能做这样描述)所释放的光子能量计算如下：
由于氢原子中电子与原子核之间的静电相互作用势能在轨道半径为无穷大时为零，如今考量体系的自恰性，即在n→∞情形下有En→0，那么上式就要改成下列关系式：
式(12)中的氢原子的能级n的能量为
如将式(9)代入式(13)并取最小能级n=1，可算得氢原子的基态能量
将上式计算结果代回到式(13)就得到玻尔氢原子模型的能级公式如下：
式(14)说明n=1的电子轨道最接近原子核，其半径最小，是能量最低的能级，称为基态；n值越大的轨道，离原子核越远，半径越大，能级的能量越高，这是因电子接受外加能量而改变自身状态，称为激发态，也就是氢原子处在正常状态时，在能级上的电子不产生光谱，只有在电子跃迁时才发生能级变化而发射或吸收光谱。当中如电子由较高能级降回较低能级之能量，会放出光子能量，形成发射光谱；反之则是吸收光谱，这里要特别注意，前述能量变化须遵守式(12)规律以解释氢原子光谱，换言之，能量变化是离散的，这导致发射或吸收呈现不连续谱线。
8 结语
论证推导至此，完全用不同量纲分析手法、自恰性与实验数据，就完成从单纯波长数据一路到证得玻尔模型能级公式的征程，前后都没用玻尔理论的结果来决定量纲分析过程产生的待定系数(这是必须的)，全程完全独立于玻尔模型(否则就犯了如同用余弦定理证明勾股定理的错误)，并展现迥异于玻尔模型的物理图像。
如果针对原子物理想多做量纲分析方面练习，可参考文献[7]之类的资源，方法其实是容易学的，然而难点通常是不知怎么应用。主要原因是做练习时，题目是人家设定好的特定对象，反倒是当自己面对真实课题时，连如何选对象、怎么找相关物理量都会觉得无从下手，心一慌就忘了许多物理发现其实是从“猜”开始的，其中有名又有意思的例子，当属费曼在其诺贝尔奖演讲[8]里提到他与德国教授Herbert Jehle讨论一篇狄拉克的论文，费曼根据对狄拉克表达意思的猜想，居然当场用拉格朗日力学的作用量推出了薛定谔方程式，瞬时让Jehle教授瞠目结舌并赶紧抄录笔记。“猜”字诀自有其物理史渊源，实际问题的量纲分析也不例外，本文也适度保留“猜”的原味，但不是乱猜，要有所本，也不一定要让自己信服，就是拿出行动做做看，有时歪打误撞给蒙到也说不定。又由于量纲分析的数学模型本身是有局限的、不彻底的，因此必须用实验数据、物理特性与物理图像交叉核实，总之，应该是由物理特性与物理图像来主导整个量纲分析，而非迁就于量纲分析的方法论，这是本文尝试呈现的另一个补充概念。希望借由此一整体连贯的量纲分析，凸显出一般书籍对量纲分析没能传达的重点与知识，而不是止步于方法规范与公式推算。
[1] BUCKINGHAM E. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations, Phys. Rev. 1914, 4(4): 345-376.
[2] 赵振兴，何建京.水力学[M].北京:清华大学出版社，2005:439-440.
[3] 赵凯华.定性与半定量物理学[M].北京:高等教育出版社，1991.
[4] 邓崇林.以简明物理法重新发现巴耳末公式[J].物理与工程， 2019,29(1):44-52.
TENG C L. A Concise approach in physics reforms Balmer’s formula[J]. Physics and Engineering, 2019, 29(1): 44-52. (in Chinese)
[5] 宋云鹏，张春，杨宁选.浅议组合常数在原子物理计算中的应用[J].物理通报，2018(5):8-11.
SONG Y P, ZHANG C, YANG N X. A brief discussion on the applicationon combination constant in atomic physics calculation[J]. Physics Bulletin， 2018， 5: 8-11. (in Chinese)
[6] FEYNMAN R, LEIGHTON R, SANDS M. The Feynman Lecture on Physics[M]. Vol.Ⅲ, Addison-Wesley Publishing Company, 1963: 2-6.
[7] 王明美.量纲分析及其在原子物理中的应用[J].合肥师范学院学报， 2008,26(3):38-42.
WANG M M. Dimensional analysis and its application in atomic physics[J]. Journal of Hefei Teachers College， 2008, 26(3): 38-42. (in Chinese)
[8] FEYNMAN R. Nobel Lecture: The development of the space-time view of quantum electrodynamics[R]. 1965: 9-10.
END
更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：
《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：
http://gkwl.cbpt.cnki.net
欢迎关注
《物理与工程》微信公众号