光和引力波专题Ⅱ——电磁及引力介质理论

本文作者：王雯宇老师

1 引出问题

本专题的第一篇论文介绍了广义相对论引力的理论基础(点击查看)。在等效原理的基础上，论文重点说明了引力几何化思想，广义相对性原理和广义光速不变原理的理解，坐标系和固有时以及固有距离的关系等内容。在此之后论文回顾了构建爱因斯坦场方程的逻辑过程，施瓦兹解及其检验等。在本文中，我们将主要讨论介质存在时的电磁理论与引力理论。这部分内容是大部分物理教科书上没有的，讨论的问题也并没有一个标准的答案，所以论文会给出较为详细的推导过程。论文首先论证真空光速和引力波速相等的原因，然后讨论介质存在时的效应。以此为基础，第2节讨论电磁理论的处理办法。第3节讨论引力理论的处理办法，引力场方程的修正等。第4节讨论宇宙学理论的部分修正。第5节给出本专题的总结。附录给出黎曼几何的基础知识。

电磁理论和引力论其实可以看作是独立的两个理论：一个是关于电场和磁场，或者电磁场张量Fμ ν的理论，另一个是关于时空度规gμ ν的理论。惯性系中，真空中的光速是一个常数，时空度规的涟漪传播速度为什么必须是相等的呢？了解了第一篇论文所述的相对论的基本概念之后，就可以回答这个问题了。

波动理论中，波速是波相传播的速度，它由波动方程来确定。比如真空中电磁场的传播，波动方程的形式非常简单

其中，是三维拉普拉斯算子。这一波动方程是由真空麦克斯韦方程组得到的。狭义相对论要求真空麦克斯韦方程组洛伦兹协变，即不同惯性系变换之后方程形式不变。因此波动方程也是洛伦兹协变的，波速当然也就是一个常数，波动方程也可以改写为协变形式

所以对麦克斯韦方程组形式不变性的要求也可得到真空光速不变的结论。当然，本文主要关注的光速和引力波速的问题，这里不必去深究狭义相对论光速不变原理和麦克斯韦方程组形式不变性之间到底哪个更为基本的问题。

当研究爱因斯坦场方程时，会发现度规场也可以存在波动形式。比如弱场近似下，可以根据爱因斯坦场方程导出无源的引力波波动方程

其中φμ ν就是所谓的时空涟漪，后文将给出其准确定义。从方程形式上可以看出，引力波的速度也是光速。由于场方程是广义协变的，因此引力波在任意的坐标系中都等于真空中的光速。仔细分析即可发现，引力波速等于真空中的光速其实就是源于广义光速不变原理，即四维时空的间隔ds2不变的要求。任意的一个物理量A，只要具有

的波动形式，波速都是真空中的极限速度。另外，根据第一篇论文中讨论的坐标系的性质，局域的测量其实都是可以看作是在一个惯性系中的测量。所以，这种形式波动方程的波速自然都是真空中的光速。

上文回答了引力波速为什么和真空光速相等的问题，接下来的问题就是引力波的速度是不是必须和真空中的光速相等。正如第一篇论文所说，光速是可以小于真空中的光速的，这就是介质的效应。现在有了引力波的存在，就会有这样的问题：真空到底是“谁”的真空？如果是“电磁场”的真空，那真空的极限速度都是真空光速，∂2A对应的速度是不变量，引力波速当然也就是真空中的光速。但是如果真空是“引力波”的真空，也就该电磁波在引力波真空中的传播相当于在某个介质中的传播，那么引力波速当然就不是真空中光速了。或者说引力波速才是光速不变原理要求的极限速度，由麦克斯韦方程组得到的波动方程只是一个介质中的波动方程，其速度必须得考虑介质的效应。这相似于以太理论，此时引力波的真空就是电磁场的“以太”。讲到这里就不得不说一下“对钟”的问题。第一篇论文中已经说明，如果我们只能用光来对钟的话，光速不变原理就是自然的了。但是现在有了引力波探测，事情就不一样了。引力论和电磁理论是两个独立的理论，我们完全可以用引力波来对钟，光速不变就不是自然成立的了。虽然引力波信号的探测还是非常困难的，但是这完全不影响我们从物理概念角度出发所进行的思考。一旦引力波探测技术得到了大大提高，检验引力波速与光速的差别就会是一个重要的物理问题，由引力波对钟，也可以检验单程光速是否不变的问题了。这已经超出了本文要讨论问题的范围，这里就不详述了。

2017年，美国国家航空航天局的费米卫星探测到的短伽马射线暴GRB170817A的观测数据表明，引力波与电磁波的速度并不严格相等，引力波波速的具体限制为[1]

(1.5)

其中，vGW是引力波波速；而vEM是探测到的电磁波波速。这也留下了讨论引力波波速和真空光速差别的空间。

如果接受以上的论证，那么下面的问题就是引力场中的电磁理论形式怎么写，能不能回到我们通常学习的麦克斯韦方程组？其实这个问题很好回答，那就是介质电磁理论写为广义协变形式即可。在文献[2]中，本文作者已经找到了介质电磁理论平直时空洛伦兹协变的形式。现在就是将平直时空理论再推广为弯曲时空理论即可。当然引力波自身能不能也有类似的效应也是需要回答的问题。我们从电磁介质理论中得到了启发，尝试推广介质引力理论。下面3节分别来说明具体的理论。

2 介质电磁理论

在狭义相对论中，惯性系度规ημ ν描述了平直时空下的测量方式，时空间隔为

上式中，c为真空中的光速。光速在此出现的含义是，我们默认使用光来传递两点之间的位置信息。这是关于光速问题的要点所在。真空中的光速当然不变，它不取决于观察者的运动状态。但是我们并不是生活在真空中，我们周围存在着各种各样的电磁介质。而介质中的光速并不是极限速度c，因此它也不是洛伦兹变换不变的，介质中的光速取决于介质的电磁性质以及观察者的运动状态。因此，空间中介质的存在将影响时空间隔的测量，在平直时空中，从A点发射的光线，在抵达B点后，返回至A点经过的时间间隔为2Δt，那么AB两点的空间间隔Δl可以表示为

而真实情况是AB之间的空间区域内存在某种电磁介质，导致光速由c变为介质中的波速e。测量到的时间间隔是2Δt，那么AB之间真正的空间间隔将变为

由于介质中的光速e一般小于真空中的光速c，因此导致

即由于介质的存在，我们测量到的空间间隔Δl比实际情况下的空间间隔要大。

以上简单的分析表明，介质的存在影响着空间间隔的测量。造成这一点的原因在于，我们使用电磁相互作用传递信息，而“传递信息”这一事件是物理的，是真实发生的。“两点之间由真空中的光速来建立联系”，这一论断假设了空间中不存在介质，属于理想情况。在宇宙中，不可避免的存在着电磁介质。当遥远的光线经过电磁介质时，光速发生了变化，导致测量到的空间间隔与实际情况存在偏差。接下来，分析电磁介质对测量造成的效应。

经典电动力学中，电磁场的基本变量是电磁场张量，Fμ ν它与电磁势Aμ的关系为

自然单位制下它的具体表达式为

(2.11)

由上式可以得到一个循环恒等式

该式就是电磁学理论中的比安奇恒等式。它作为描述电磁场的方程之一，满足洛伦兹协变性，方程右边等于零意味着不存在磁荷。介质存在时，这一恒等式不受影响。真空中电动力学另外一个场方程为

其中，Jν是四维电流密度。把以上两个方程写成电场强度E，磁感应强度B分量的形式就是通常的真空中麦克斯韦方程组

而当时空中存在介质时，电磁理论就需要修改为介质麦克斯韦方程组

其中，D是电位移矢量；H是磁场强度矢量，它们与电磁场(E,B)的关系为

该关系被称为本构关系。公式中ε,μ分别是介质中的介电常数和磁导率。注意这里讨论的是各向同性介质，同时真空中ε0=μ0=1。以上就是通常电动力学教科书讲解的基础内容。

仔细研究就会发现，介质麦克斯韦方程组(2.18)～(2.21)并不能像真空麦克斯韦方程组那样写成洛伦兹协变形式。也就是说式(2.18)～(2.21)描述的是介质静止时的电磁理论形式。如果介质运动，该方程就不成立了。此时可以把参考系变换到介质静止参考系进行处理，这显然是不方便的。为此，物理学家引入了另外一组电磁张量Gμ ν，它是由电位移矢量D和磁场强度H构成的张量。因为它的符号与爱因斯坦张量Gμ ν重复，我们暂将其记为Qμ ν，其定义为

(2.24)

方程(2.13)在介质中的形式就修改为

这是一个洛伦兹协变形式的运动方程，似乎可以处理运动介质的问题。但是问题没有那么简单，因为本构关系(2.22)、(2.23)仍然是分量形式，并不是协变的，Fμ ν的关系Qμ ν也不清楚。所以在实际处理介质存在电磁问题时，仍然需要有介质静止参考系本构关系(2.22)、(2.23)得到Fμν与Qμ ν分量之间的关系。最终的结果为

公式中β是介质运动的空间速度，公式(2.30)和(2.31)就是运动介质中的本构关系。这就是通常电磁学处理介质问题的方法，在实际应用中已经足够实用。但是由于本构关系仍然是分量形式，所以以上方程仍然不是洛伦兹协变形式。在文献[2]中，我们找到了协变形式的本构关系。洛伦兹协变介质电磁理论的形式为

其中，uμ是介质运动四速度；εβ γ μ ν是四阶反对称张量。公式(2.33)就是比安奇恒等式(2.12)。这里我们采用了Fμ ν的对偶形式

以上介质理论公式(2.32)～(2.34)虽然简捷漂亮，但是Gμ ν只是介质存在时的效应，而电磁学基本变量只是电磁场(E,B)或者张量Fμ ν。因此，介质理论应该可以写为由电场强度和磁感应强度(E,B)表达的形式。经过计算，(具体过程参看文献[2]。)介质电磁理论可以化简为

当然其协变形式应该由电磁张量Fμ ν来表达，即

上式中

是静止介质中电磁波波速。以上就是运动介质电磁理论的形式。经研究发现，其实存在一个处理介质理论的简单方法，接下来具体说明。

对比真空麦克斯韦方程组(2.14)～(2.17)和介质麦克斯韦方程组(2.18)～(2.21)，发现，两组方程形式完全一样，唯一的差别仅在于真空中的光速c与静止介质中的波速e互换而已。这种性质提示了我们可以做以下处理：利用本构关系(2.22)、(2.23)，静止介质波速(2.42)公式，静止介质电磁学运动方程(2.26)和(2.27)改写为

将上式进一步变形，

介质的存在使得真空中的光速c变为介质中的光速e，相关物理量中但凡出现真空中的光速c的地方，我们将其替换为介质中的光速e。比如，在国际单位制下，四维坐标

将第零分量中出现的c替换为e，即

符号上没有带“弯”(～)的物理量，说它是物理的、真实的，而带“弯”的物理量，说它是介质物理量，因为空间中不可避免的存在电磁介质，使得两点之间信息传递的速度不是真空中的光速c，而是介质中的光速e。

对其他电磁量也做这种替换。对于微分算符∂μ，在作这一替换后成为

真空中的电磁张量Fμ ν在介质中成为

(2.50)

同样，四维电流密度Jν成为

由于介质理论和真空理论形式完全一样，这使我们意识到，只要空间中存在介质背景，其理论只需要按照真空理论形式写就可以了(真空理论中的参数μ0=1也换成了介质理论中的参数μ)，即

因此该动力学方程与真空理论形式也完全一样。读者可以验证式(2.52)正是方程(2.45)与(2.46)，这其实是介质理论和真空理论形式相同的必然结果。而比安奇恒等式因为是恒等式，所以不用做类似处理。只是这里和Fμ ν是两个不同的物理量，不能放在一起来描述电磁理论而已。同时，读者应该能注意到，式(2.52)虽然表观上洛伦兹协变，而实际上并不协变。因为真空中的光速c是洛伦兹不变的，而介质中的光速在洛伦兹变换下则会改变。所以接下来需要将方程改写为协变形式，或者找到和Fμ ν之间的协变关系就会得到处理介质背景问题的方法。实际上这里绕过了前文引入的Qμ ν的处理方式，而得到了一个新的办法。我们清楚电磁张量Fμ ν的洛伦兹变换性质，因此将式(2.52)中所有带“弯”(～)的量用不带“弯”的量表示，结果自然就是洛伦兹协变的了。

我们来看∂μ和的区别，二者只是00分量不同。因此可以做如下计算

式中，

称为时间投影算符，其中

在洛伦兹变换下是一个矢量，uμ的四维长度为1，即u2=1。时间投影算符Πμ ν只有00分量等于1，其余分量都为零，由其定义式(2.54)，它在洛伦兹变换下为一个对称的二阶张量。当时间投影算符Πμ ν作用到另外一个二阶张量Aμ ν时，Πμ ν总会将张量Aμ ν的00分量挑选出来，即

故而称其为“投影算符”。在此使用时间投影算符的意义是，上式中出现的微分算符不是协变的，它只是协变算符∂μ的第零分量，我们需要使用协变的形式将其表示，时间投影算符正好能做到这一点。

类似地，利用时间投影算符可以得到

(2.57)

以及

将式(2.53)、(2.57)和式(2.58)代入至式(2.52)中，得到的正是运动介质中协变的麦克斯韦方程(2.40)式。下面是具体计算过程。方程(2.52)左边，有

(2.59)

其中，第三个等号用到了时间投影算符指标的对称性

电磁张量Fμ α的两个指标是反对称的，而由时间投影算符的定义式，它关于指标μα是对称的，因此缩并为零。以及

这是因为矢量uμ的长度为1。方程(2.52)右边，有

因此，方程(2.52)成为

我们将作用至上式两边，得到

(2.64)

将上式和式(2.40)相比较，就可以看出时间投影算符中的矢量uμ表示介质运动的四维速度。因此，方程(2.64)与(2.40)完全相同。在论文[2]中，我们通过复杂的计算与协变性的论证得到了式(2.40)。在此，只需要将真空中的光速c替换为介质中的光速e，再将不协变的量用协变的量表示，便得到了式(2.64)。也就是说，介质的速度可以组成一个时间投影算符而将介质的效应完全吸收进来。

既然介质的存在影响了空间间隔的测量，那么介质的影响可以吸收到度规张量中，这样只需要指定度规，关于介质的信息也就确定了。假设介质存在，两点之间真实的时空间隔是依靠介质中的光速e来联系的，而不是真空中的光速c，即

这是将介质的效果通过坐标来表达。另一种方法是，将介质的效果吸收至度规中，物理量可以不做改变。这样，时空间隔可以写为

时空间隔式(2.65)和式(2.66)必须相等，即

带一“弯”(～)的度规张量即表示它已吸收了介质的效应。利用关系

代入至式(2.67)，经过简单计算，可以立即得到

(2.69)

由此可以将介质的效果转移到度规张量上，而继续使用真空物理量。根据上式，可以得到关系

公式(2.70)意味着，当介质存在时，平直时空的度规张量应当写为

而逆变的度规张量应当满足

依靠上式可以得到

注意，该逆变度规张量介质形式也可以由质量量纲的四矢量介质形式来得到，比如动量

读者验证，上式得到的即公式(2.73)。由此可见，量纲在决定物理量介质理论形式的重要性，下面我们就会总结出相关规律来。

我们尝试利用度规式(2.71)将麦克斯韦方程(2.64)表达成简洁的形式。首先，需要明确一个问题。在上面的推导式(2.68)中，发现这一式非常像一种坐标变换，即

若假设坐标变换

以及它的逆变换

则xμ与之间的关系可以用这一组坐标变换描述。但是在实际应用过程中，这一坐标变换协变或者逆变性质依赖于相关量的量纲。比如，根据上文对带一“弯”的物理量的定义，对于协变指标的四维坐标其变换性质就不能用这一组坐标变换表示。因为

而

验证其他量之后就可得到变换规律：长度量纲的物理量，满足坐标变换的逆变变换形式，指标在上；质量量纲的物理量，满足坐标变换的协变变换形式，指标在下。因此就规定凡是长度量纲的物理量指标必须在上，质量量纲的物理量指标必须在下。指标的上下由度规张量来控制。四维长度xμ的量纲为L(长度)，因此其满足对坐标变换的逆变变换，而对于四维微分算符∂μ，它的量纲为M(质量)，因此满足对坐标变换的协变变换。对于电磁张量Fμ ν，由于其量纲为M2，因此将其指标放在下面，即Fμ ν，使得其满足坐标变换。

在按其量纲而确定指标是协变还是逆变之后，麦克斯韦方程(2.52)写为

这时有裸露在外的度规张量，可以将介质的效应由具体的物理量上转移到时空度规张量上，即上式可以写为

代入相关介质物理量或者介质度规形式，就可得到式(2.80)和式(2.81)的洛伦兹协变表示。可以验证，式(2.80)、(2.81)与式(2.64)是等价的。通过这种技巧，大大减少了计算的难度，也将会有更丰富的物理内涵。

总结我们的方法，如果空间中存在着介质背景，其理论形式和真空形式完全一样，相应的介质理论处理办法可以分为两步。

1) 将真空物理量替换为介质中的物理量，每个物理量必须按照其量纲写成标准形式

其规则为凡是长度量纲的物理量，满足坐标变换的逆变变换，指标在上，即

质量量纲的物理量，满足对于坐标变换的协变变换，指标在下，即

度规张量无量纲，其介质理论形式为

2) 按照真空物理理论的形式代入介质物理量即可得到相应的介质理论

物理方程中每个量指标的上下由度规张量gμ ν和gμ ν来控制，写成相应物理量标准形式，然后代入方法有以下两种：

(1) 所有非度规物理量替换成介质物理量，然后按照式(2.82)、(2.83)即可得到由真空物理量表述的介质理论；

(2) 不改变非度规物理量，只把相关的度规替换成介质度规，然后按照式(2.84)、(2.85)计算也可以得到由真空物理表述的介质理论。

这就是我们找到的利用时间投影算速处理介质理论的方法，下一节将尝试在引力理论中使用该方法。

首先说明时空作为电磁介质，光速可变的理论，此时只需要将式(2.40)中出现的普通导数替换为协变导数，电磁场张量现在定义为

方程(2.40)成为

其中也要换成广义相对论中的时间投影算符，其定义还是式(2.54)。在局域测地坐标系下，上式就回到了平直时空麦克斯韦方程组(2.40)，此时电磁波波速也不是真空的光速，而是介质中的光速。相应的波速变换也是满足洛伦兹速度变换的，具体形式与引力波波速变换类似，下一节在做详细说明。

3 引力波的介质理论

上节中，得到了处理介质背景问题的方法，并讨论了两时空点之间用电磁相互作用传递信息情况。这种传递信息的速度不是真空中的光速，而是介质中的光速。在这一节中，对此做一个小小的推广，将介质的相关理论应用于引力中。

首先，注意到引力波的基础理论。引力波的波动方程是基于爱因斯坦场方程，再加上合理的限制条件而得到的。前文已经看到，利用测地坐标可以大大简化引力论相关问题的计算过程。测地坐标即度规张量的一阶导数为零的坐标。第一篇论文中，我们在测地坐标中得到了里奇张量的表达式，由此也可得到测地坐标的爱因斯坦场方程

上式中符号上的一“撇”代表是在测地坐标系下的量。可以看到场方程还是很复杂，因此需要利用谐和坐标条件和弱场近似对场方程做进一步的化简。一般来说，引力波的强度非常小，使用弱场近似条件是合理的。弱场近似条件下，度规张量被表示为

其中ημ ν、hμ ν的具体定义和前文一样。由于度规有10个分量，在比安奇恒等式的限制下场方程只有6个独立方程，度规场实际上还有4个自由度未定。这种不确定性类似于电磁学中矢量势定义的不确定性，需要选择一定的规范条件将其固定。有一种常常被采用的限制条件称为谐和坐标条件，它要求坐标满足

将式(3.90)代入至谐和坐标条件式(3.91)中，经过缩并等运算后，可以将谐和坐标条件表示为

将上式代入至式(3.89)中，便可立即得到无源的引力波的波动方程

其中，

上式就是引力的波动方程形式，本质上仍然是爱因斯坦场方程。根据方程右边不同的能量动量张量的形式，可以利用上式处理弱引力场的相关问题，解得相应的φμ ν，进而得到g′μ ν，二者的关系为

其中，φ=φμ νημ ν。这一方法，称为线性近似。线性近似的优点在于它比爱因斯坦场方程更容易求解。爱因斯坦场方程的严格解，都必须在弱场条件下满足式(3.93)。比如施瓦兹解，在弱场近似下就可以得到式(3.93)，并且由线性近似得到的水星进动、光线偏移的理论值都与观测符合得很好。

利用φμ ν的表达式，可以将谐和坐标条件式(3.92)进一步化简，得到

上式称为波动方程(3.93)的规范条件。有了波动方程和规范条件，就可以得到波动方程的解。首先，φμ ν可以写为

其中，εμ ν是常张量，称为极化张量；kα是常矢量，是波矢量。将式(3.97)代入至波动方程(3.93)和规范条件式(3.96)中，得到

类比电磁波的波动方程，从式(3.99)可以立即得到引力波的传播速度是光速的结论。

以上简单推导并求解了引力波的波动方程。结合本节开头的讨论，我们认为引力波波速等于真空中的光速这一论断是有待商榷的，原因如下：

其一，在上文推导引力波波速的过程中，自始至终我们用的都是真空中光速，而忽略了电磁介质的存在；

其二，引力波不同于电磁波的根本之处在于，引力波属于引力相互作用，而电磁波属于电磁相互作用。电磁波是电磁场的振荡，引力波是时空度规的振荡传播，二者是完全不同的两种相互作用。

接下来，对这两种观点加以分析。对于第一种考虑，即考虑到电磁介质的存在，光速不是真空中的光速c，而是介质中的光速e。当空间中抽走电磁介质之后，光速才是真空中的光速。引力波速与光速到底相等不相等？如果相等到底是等于真空中的光速，还是介质中的光速？根据现在的广义相对论引力论，引力满足爱因斯坦场方程，引力波速度自然和真空中的光速相等。那么引力波速就可以和实际测量到的光速(因为可能是介质中的速度)不相等了。第二种观点认为引力和电磁相互作用是两个完全不同的相互作用，为什么真空中的光速和引力波的速度要相等？完全可以不相等。上节实际上已经给了提示，真空是引力波的真空，对于电磁相互作用来说，就类似于一个介质背景。引力波速和真空中的光速也不相等。不管是那种情况上节给出的广义协变的介质电磁理论式(2.87)、(2.88)就是处理实际电磁学问题的基本方程。引力波速就是真空的极限速度。广义光速不变原理要求的速度其实是引力波的速度，四维时空间隔ds2不变是保持引力波速不变。此时广义光速不变原理修改为广义引力波速度不变会更为合适一些。

但是，对于真空和介质理论来说，还应有另外一种观点。那就是介质理论是真空理论物质相互作用下的宏观效应。就像电磁学理论一样，真空麦克斯韦方程组是基本的，介质理论是因为空间中存在的物质的电磁效应造成的，比如极化、磁化等。问题就来了，引力理论会不会有类似的效应？我们知道对广义相对论来说基本变量是度规张量gμ ν，爱因斯坦场方程描述的是时空的弯曲等于时空中物质分布。类比于电磁理论就可以问一个问题：这是一个真空理论，还是一个介质理论？电磁真空理论和介质理论之间的关系也提示了我们回答这一问题的方案。第一，如果说场方程是唯一的，不区分真空和介质，那就直接了当地回答(回绝)了以上问题；第二，既然电磁真空和直接理论存在差异，则上述质疑是合适的，或者说，至少在理论上可以做这方面的探索。下面就遵循第二种思路，来探讨引力介质理论。

按照上节总结的介质背景理论的处理方法，来处理引力介质。此时情况就比较复杂了。如果直接根据上节总结的介质理论方法，Rμ ν为质量平方量纲，直接利用式(2.83)变换即可得到介质理论了。但是事实上并没有那么简单，因为场方程说到底是一个gμ ν的方程，而不是黎曼张量或者里奇张量的方程。由里奇张量得到度规的动力学方程时需要用到很多指标的缩并。而缩并也需要使用度规张量gμ ν或者gμ ν，此时度规是用介质中的度规形式还是用真空度规形式gμ ν？对场方程的处理直接从黎曼张量的定义出发，做c →e替换，然后尝试得到介质引力理论，验证相对论的波速叠加即可。爱因斯坦场方程中由度规张量的一阶以及二阶导数构成的张量是里奇张量Rμ ν。在这些量中，出现光速c的地方只有度规张量对时间的一阶、二阶偏导项。引力波方程的推导存在3种思路：

(1) 引力波方程(3.93)可以直接作c →e的替换；

(2) 测地坐标下的爱因斯坦场方程，只存在度规张量的二阶导数，对它们作c →e替换，再利用规范条件得到波动方程；

(3) 直接对爱因斯坦场方程做这一替换，得到在测地坐标下的关于度规的二阶方程，进而得到波动方程。

虽然这3种方法繁简不一，最后应该得到同样的波动方程。下面分别对这3种方法加以分析。需要首先说明的是，下面用到的c →e替换中的e可以是介质中光速，也可以不是，二者没有什么必然联系，因为现在处理的只是引力理论。

对于引力波波动方程(3.93)，用ημ ν升降指标。需要做这一替换之处在于算符∂2中，对时间偏导数替换为由于度规张量不依赖于介质中的光速e，因此对时间的偏导可以写为

这样，算符∂2可以替换为

其中Πμ ν就是广义相对论中的时间投影算符。因此引力波波动方程在做这一替换后，成为

这一波动方程，与运动介质中电磁波动方程一致，这一方程的解可以写为

其中，φ(kμ,xμ,β)是引力波的相位函数。若观察者运动方向与引力波传播方向相同，设运动方向为x轴，则相位函数的具体表达式为

(3.104)

其中，kμ=(ω,k,0,0)是波矢；xμ=(t,x)是坐标；β是观察者是三维速度。由这一相位函数得到引力波的传播速度e′为

这就是洛伦兹速度变换公式，读者可以验证上文中的介质电磁理论得到的波速也满足此关系。当观察者相对于介质静止，即观察者四速度uμ=(1,0,0,0)时，引力波波速是介质中的光速e而非真空中的光速c，而当观察者速度不为零时，引力波的波速即式(3.105)。由于介质中的光速是可变的，故引力波波速也是可变的。上节介质电磁波速变换性质与此完全一样。

考虑第二种思路，即对于线性近似式(3.89)对所有的偏导数项做替换：并按按照上节的方法，对做如下处理

利用测地坐标和弱场近似，在无源情况下，式(3.89)成为

(3.107)

经过替换后的线性近似方程很复杂，但是可以利用规范条件将其化简。若施加两个规范条件

规范选择式(3.108)就是通常的谐和坐标条件Γμ=0，而式(3.109)是新增加的一个条件，后文会对此条件做出说明。

可以验证，在利用规范条件式(3.108)、(3.109)后，经过c →e替换的线性近似式(3.107)正是波动方程(3.102)，除了新增加的规范条件式(3.109)之外没有其他改动。因此，从线性近似的角度出发，得到了同样的引力波波动方程。注意在以上类比操作中，都是默认为e是一个常数，并不是时空坐标的函数。在广义相对论中，这种假设是过于简单的，(其实电磁学理论中，光速也还依赖于电磁波的频率，即色散关系。)但是这个假设基本可以满足我们对引力介质理论的好奇心了，本文作者其实就是想试一试看这样操作下去对引力理论会出现什么样的效果。接下来，我们来处理爱因斯坦场方程。

第三种思路，直接对场方程作c →e替换有些复杂，先定义一些量来方便计算。黎曼几何中四维时空间隔不变要求

其中，

其中是经过替换后的克利斯朵夫联络，它包含了介质的信息，当不存在介质时，它便为通常的克利斯朵夫联络。从上式便可得到的表达式，方法与上一小节相同，这里直接给出结果：

其中，是通常的克利斯朵夫联络，而的表达式为

(3.113)

式中符号关于指标μ、ν是对称的，但并不是一个张量，当观察者静止时，它是度规张量关于时间坐标的一阶偏导的组合。有了与度规张量的关系，可以利用它来定义介质存在时的曲率张量，

(3.114)

里奇标量是

于是爱因斯坦场方程被修改为

方程右边带“弯”的项都是因介质存在而改变的介质物理量，分母上的e4是来源于原来场方程中的c4(等于1)。方程(3.116)只是形式意义上的，它的具体表达式仍需要进行具体的计算，其关键点在于计算过程并没有什么难度，只是很复杂。在缩并过程中，关于指标的对称性将简化计算。由于计算过于冗长，碍于篇幅，这里直接给出最终结果。首先，

(3.117)

其中，函数和都是度规张量关于时间分量的一阶、二阶偏导数的组合。它们的具体表达式为

令

其中，分别是与gμ ν缩并而成。于是，利用以上3式，可以得到方程(3.116)的具体表达式

上式即是经过修改的爱因斯坦场方程，Gμ ν是爱因斯坦张量，而Wμ ν定义为

如何验证修改后方程的正确性？当然是在测地坐标系看波动方程中的波速是否满足洛伦兹速度变换(3.105)。在测地坐标下，关于度规的一阶偏导数项都为零，只保留关于的度规的二阶偏导数项。于是，在测地坐标和弱场近似下，有

它们经过与度规张量缩并之后的形式为

在无源情况下，经修改的爱因斯坦场方程在测地坐标下有简单的形式

(3.132)

其中，是测地坐标下爱因斯坦张量。将测地坐标下的式(3.126)、(3.127)、(3.128)、(3.129)、(3.130)、(3.131)代入至式(3.132)中，得到

(3.133)

对上式进一步化简合并后，发现方程(3.133)正是方程(3.107)。而规范条件式(3.109)在此可以理解为谐和坐标条件的扩充，即

规范条件式(3.134)对应于规范选择式(3.108)，在此要求之下，式(3.135)对应于规范选择式(3.109)。由修改后的场方程得到的引力波波动方程与前两种思路得到的方程相同，也回到了式(3.102)。在观察者静止时引力波波速是介质中的光速e，介质运动参考系，波速满足洛伦兹速度叠加关系。当没有介质存在时，场方程(3.124)便回到了通常的爱因斯坦场方程。

下面讨论场方程(3.124)。它比起通常的爱因斯坦场方程多出来的项以及它们都是度规张量关于时间的导数组合。因此，若度规张量与时间无关时，这些额外项全都为零，场方程(3.124)同样回到了通常的爱因斯坦场方程。比如，对于与施瓦兹度规时空类似的时空结构的推导，场与时间坐标无关，故而方程(3.124)预言的静态、球对称的度规结构，水星近日点以及光线偏折等观测效应与广义相对论一致。当度规张量与时间相关时，二者就会产生不同。比如，对于下节将讨论的费雷德曼-罗宾逊-沃克度规，其中含有与时间相关的尺度因子a(t)。但是费雷德曼-罗宾逊-沃克度规的推导与场方程无关，而是一种几何上的考虑。故而费雷德曼-罗宾逊-沃克度规相同，但是弗雷德曼方程会与原来的方程有所不同。

方程中出现的介质中的光速e是一个可测量量。若测量到的e<1，则说明观测点与引力波的发射点之间存在着引力介质，这些介质依然会产生引力相互作用以致影响到场方程的表达式，进而影响时空的度规结构。修改过的场方程(3.124)也可以这样理解，比爱因斯坦场方程多出来的项Wμ ν放至等号右边，将其作为能量动量张量的一部分，其大小依赖于介质中的引力波速e以及度规张量关于时间的导数。即场方程(3.124)可以写为

其中，

它表示介质存在时的有效能量动量张量。

在电磁理论中，比安奇恒等式不变，在引力研究中，修改场方程之后，通常都需要验证引力场的比安奇恒等式。真空中的爱因斯坦场方程需满足比安奇恒等式

对于修改过的场方程(3.124)，比安奇恒等式应当为

其中协变算符是将通常的协变算符中出现的光速c替换为介质中的光速e得到的，具体表达式为

直接验证式(3.139)十分困难，最好还是在测地坐标下进行计算。度规张量的一阶导数为零，方程(3.139)就应该变为

(3.141)

式中与分别是它们在测地坐标下的表达式。读者可以验证式(3.141)是成立的。

4 时空对称性、宇宙学时空演化及其修正

在第一篇的引力论简介以及前文介质理论的探讨中，有一类重要的问题还未提及：时空的对称性。平直时空对称性是狭义相对论的重要内容，物理规律在洛伦兹变换下的协变性即是时空对称性的体现。然而，单就时空对称性这一点上，广义相对论并不比狭义相对论更“广义”，因为在广义相对论的框架内没有对时空的对称性做进一步推广说明。在这一节，将讨论广义相对论框架下的时空对称性，然后从时空对称性得到度规张量的限制。这些限制对于研究特定引力场是非常重要的。下文宇宙学时空度规就可以由对称性限制得到，因此讨论介质效应前首先讨论时空对称性。

既然时空性质由度规来刻画，因此就有时空对称性即度规张量对于某些坐标变换的不变性。因为度规张量与几何测量密切相关，所以在广义相对论理论中，时空对称性就是坐标变换下几何测量方式不变的性质。通俗地讲就是，当做某一坐标变换后，1m的标准尺在时空的任意区域测量距离，依然是1m。注意在这里要区分时空对称性和广义协变性之间的区别，其实第一篇论文已经对此做了简单讨论。比如时空间隔是一个标量，在任何坐标变换下都是不变(协变)的。这与度规在坐标变换下的不变对称性是两个不同的概念。时空间隔的不变性要求度规为一个二阶张量，即做坐标变换x′→x后，

(4.142)

上式中不带撇度规张量表示再新坐标系x中的度规。在此基础上，若要求度规张量具有坐标变换不变对称性，则

(4.143)

即在新坐标下，度规张量与原坐标下的度规张量形式相同。因此式(4.142)成为

(4.144)

对于一个无限小的坐标变换

(4.145)

其中，ξμ(x)为一矢量是坐标的函数，这是一个一阶小量。这样便有

(4.146)

将式(4.146)代入式(4.144)中，忽略二阶小量，得到

(4.147)

将上式等号右边的gμ ν(x′)在xμ处泰勒展开，即

(4.148)

代入至式(4.147)中，只保留一阶小量，便可以得到一个等式

(4.149)

这一方程是式(4.144)的微元形式。接着利用

将式(4.149)改写为

(4.150)

上式中，度规张量的3个导数结合成一个克里斯多夫联络，因此上式可以写为

(4.151)

这等同于

(4.152)

该微分方程(4.152)称为基灵方程。基灵方程的解称为基灵矢量ξμ，它可以给出度规的无限小对称变换，由无限小变换也可以推导出有限对称变换的形式。时空对称性决定了基灵矢量的数目。若度规张量与某一坐标无关(此处的“弯”符号与前文介质效应理论无关。)

(4.153)

那么对于这一坐标的任何变换都是保持度规不变的对称变换。为了让读者明白基灵方程的含义，接下来利用基灵方程导出平直时空下的全部连续对称性。

在直角坐标系下，平直时空下的度规即ημ ν=diag(1,-1,-1,-1)，此时所有的克里斯多夫联络为零。将度规代入至基灵方程中，指标取μ=ν时，有4个基灵方程

μ、ν指标不相等，则有6个基灵方程

这10个基灵方程的10个解，表明平直时空具有10种相应的对称性。注意到以上方程都是关于ξμ某一分量的微分方程，方程(4.154)和(4.155)中ξμ的第μ分量ξ0与相应的坐标xμ无关；方程(4.156)左边与时间无关，方程右边与坐标xi无关，因此方程两边等于同一个常数。方程(4.157)也是如此。根据以上分析，可以得到基灵矢量的形式解

(4.158)

其中，ωμ ν的一个常张量，且满足ωμ ν=-ων μ，故而只有6个独立参数：ω01,ω02,ω03,ω12,ω13,ω23，ζμ是一个常矢量。它的逆变矢量为

(4.159)

其中，ωμν=ωα νgαμ。为了直观表述以上对称变换，将ξμ写成矩阵的形式

(4.160)

从上式可以看出，6个参数ωμ ν描述了6个洛伦兹转动，4个参数ζμ描述了4个方向的平移，这正是洛伦兹变换的无限小表示。为了得到洛伦兹变换的有限表示，可以将矩阵ωμν写为

其中，因子1/2是为了抵消指标缩并多出来的因子2，

(4.162)

是洛伦兹变换的生成元。指标α,β反对称，标记了6个生成元，指标μ,ν标记了每个生成元的分量。一个有限变换即可由无线小变换构造出

(4.163)

上式便是坐标的洛伦兹变换形式。比如，取ω01=ψ，其余的ωμ ν=0，令有

(4.164)

其中，n取正整数。这样便有

(4.165)

其中，shψ,chψ分别是双曲正弦与双曲余弦函数。将上式写成矩阵的形式，即

(4.166)

我们可以看到参数ψ表示的是快度，它与两坐标系间相对速度β的关系是

(4.167)

其他洛伦兹变换便可按照同样的方法导出。

以上简要讨论了基灵方程在处理时空对称性中的作用。基灵方程给出一个寻找对称直接而系统的方法，通过构造这一微分方程的所有可能解，就可找到所有的对称性。根据对称性又可以得到守恒量，因此基灵方程在广义相对论中有重要应用。更多关于基灵方程的内容，可参阅文献[3]。基灵方程的第二个应用就是，可以借此讨论均匀、各向同性宇宙演化的物理过程，从中得到描述宇宙大尺度结构的罗伯逊沃克几何以及关于宇宙演化的弗雷德曼方程。首先简要介绍大尺度的宇宙的性质。

4.1 宇宙学时空度规和弗雷德曼方程

太阳系属于一个更大的系统——银河系，它包含大概1011颗恒星。要跨越整个银河，即使是利用宇宙中速度最快的光，也需要耗费10万年的时间。然而，通过射电望远镜，人类观测到了大约109个像银河系那样的星系。目前，天文学家已经记录了几百万个星系。从观测的结果来看，星系倾向于集结成星系团，这些星系团由几十、几百甚至几千个星系组成，尺度大约在几个Mpc(秒差距pc是距离单位，1pc=3.26光年，1Mpc=106pc)，而星系团又与其他星系团结合成超星系团，尺度大约在几十个Mpc。天文观测表明，如图1所示[注]图片取自网页:https://www.universetoday.com/81813/astronomy-without-a-telescope-the-edge-of-greatness/，尽管在小尺度上看起来相当不均匀，但是在几百Mpc的尺度上，宇宙中各个星系均匀分布。另外，宇宙微波背景辐射的观测又表明，宇宙是各向同性的[4，5]。这一辐射被认为是早期宇宙暴涨阶段的遗迹，它在全天的分布是极其均匀的。这样，在大尺度上，宇宙最显著的特征就是缺乏可辨认的特征，除了局域的不规则之外，从各个方向来看宇宙中所有的点都是等价的。即宇宙在大尺度上具有均匀、各向同性的特征，这一论断被称为“宇宙学原理”[6]。

根据宇宙学原理和现有的观测事实就可以得到描述宇宙大尺度结构的度规形式。现在的宇宙观测表明宇宙在加速膨胀[7]，因此，描述整个宇宙的演化需要利用共动坐标系。共动坐标是指，空间坐标随着宇宙中物质的膨胀一起运动。如图2所示，时空中的物体物理间距在改变，但是坐标系坐标也随着物理间距改变而改变，物体的具体坐标值并不变。形象地说，若将宇宙的膨胀比作吹气球时气球的膨胀，将坐标轴画在气球表面，那么随着气球的膨胀，坐标轴的刻度间隔也是在不断增加，因此在此坐标下，两点间的坐标距离l保持不变，但是两点之间的物理距离d是不断增加的。为了表示坐标距离与物理距离的关系，引入尺度因子a(t)，它是时间的函数，表征宇宙的膨胀，坐标距离与物理距离之间的关系为

d=a l

(4.168)

对于时间坐标，前文已经说明宇宙各点静止的钟测量到的就是固有时间，并且这些不同地点的钟是同步且对准的，因此我们选择

(4.169)

注意g0i分量与对钟过程相关，g0i≠0表明不同地点钟表的零点没有对准。g00=1则说明坐标时与固有时相等，各地的钟表都是一致的。这样描述宇宙大尺度结构的时空间隔形式为

(4.170)

根据宇宙学原理，我们可以得到度规张量的空间分量gij的具体形式。宇宙的均匀性意味着度规可以使得基灵矢量在任意点取一切可能值[3、8]。比如说，在宇宙中选择某点为中心建立一个直角坐标系，在x轴上的刻度分布是均匀的，度规不会因为空间坐标改变而改变。宇宙的各向同性意味着，ξμ;ν在满足基灵方程限制条件下可取一切可能值[3、8]。也就是说，基灵矢量的平行移动不会影响到时空的测量。这就要求不仅仅x轴上的刻度分布是均匀的，y轴、z轴甚至任意方向上的刻度分布都是均匀的，且这种均匀性是一致的。均匀性和各向同性在几何上读者应该是不陌生的，欧几里得几何便满足这些要求。然而对于宇宙的大尺度结构来说，由于我们缺乏实际检验的方法，所以这只能作为一个宇宙学原理的推论。实际上，随着天文技术的进步，物理学家和天文学家正在观测并研究宇宙的非均匀性和各向异性。

我们可以利用黎曼曲率张量以及基灵方程(4.152)，来得到满足几何均匀、各向同性的曲率形式。由于推导过程较为繁琐，具体细节请读者参阅温伯格的《引力和宇宙学》，这里直接给出结果。均匀、各向同性的N维几何空间(N>2)的里奇标量R是一个常数，黎曼曲率张量由下式给出

(4.171)

由于里奇标量是常数，引入常曲率K

R=-N(N-1)K

(4.172)

这样，对于三维空间，满足均匀、各向同性的曲率张量必须有形式

在几何上，唯一满足以上条件的是一个三维球面，它是四维球的表面。读者可以参考图2所示二维球面的例子，以此推广为三维球面。半径为r0四维超球的表面方程为

(4.175)

其中，χ是一个额外的、非物理的第四坐标，χ坐标轴与x,y,z都正交。球面上任意两点之间的坐标距离是

(4.176)

利用式(4.175)，消去非物理的坐标χ，得到

(4.177)

容易验证，只要

(4.178)

坐标间隔式(4.177)的曲率张量就满足式(4.171)的要求。这一距离间隔是非对角的，利用坐标变换，

(4.179)

坐标间隔式(4.177)将会变为对角形式，

(4.180)

将上式代入式(4.170)中，得到

(4.181)

这便是费雷德曼-罗宾逊-沃克度规，它描述了宇宙的大尺度结构。其形式是被宇宙学原理严格限制的，与爱因斯坦场方程无关。a(t)是标度因子，它描述宇宙的膨胀，与哈勃常数H相联系；适当选择r单位之后，K=-1对应着开放宇宙，即由(4.190)计算宇宙的总体积是无限的，K=0宇宙是平坦的，K=1对应着闭合宇宙，即宇宙的总体积是有限的。

如果宇宙的物质组分已知，费雷德曼-罗宾逊-沃克度规通过爱因斯坦场方程描述了宇宙的演化。假设宇宙的物质组分可以由理想流体的能量动量张量近似

(4.182)

其中，uμ是观察者的四速度；P是宇宙中尘埃、气体等造成的总压强。上式意味着，对于静止的观察者，宇宙的能量密度T00=ρ是现阶段宇宙的总能量密度，空间分量

通常，二者满足一下物态方程

P=ω ρ

(4.183)

ω依赖于宇宙中的具体物质组分：物质主导的宇宙，ω=0；辐射主导的宇宙，

有了均匀各项同性度规形式，根据爱因斯坦场方程我们就可以得到宇宙的演化方程。将度规式(4.190)代入至宇宙学常数Λ=0的爱因斯坦场方程中，方程的右边为理想流体的能量动量张量形式(4.191)。场方程的00分量方程为

(4.184)

式(4.184)称为第一弗雷德曼方程。其中

(4.185)

代表尺度因子对时间的导数。

(4.186)

是哈勃参数，它的当前具体数值就是哈勃常数。场方程的11，22和33分量方程都相同，

(4.187)

式(4.187)称为第二弗雷德曼方程。方程(4.184)和(4.187)再加上物态方程(4.183)，就确定了方程中3个变量a(t),ρ,P。而宇宙曲率的常数K，可以通过式(4.184)来确定：

(4.188)

其中，

(4.189)

称为临界密度，它的值完全由哈勃参量决定。用现阶段测量到的哈勃常数H0的值得到今天的临界密度为[9]

(4.190)

由宇宙的曲率式(4.188)可以看出，宇宙是加速膨胀还是减速膨胀依赖于宇宙总能量密度ρ。由于没有ρ直接测量办法，仅仅根据观测到的星系密度还不能完全确定宇宙总能量密度。因此现阶段的宇宙观测还没有排除任何一种可能。

另外一个对宇宙的演化由重要贡献的项来自于宇宙学常数Λ。前面说过，为了保证在弱场条件时与牛顿理论一致，Λ必须小到可以忽略。但是对于宇宙来说，这样一个小项也有着重要的贡献。若将费雷德曼-罗宾逊-沃克度规式(4.190)代入至Λ不为零的爱因斯坦场方程中，弗雷德曼第一、第二方程变为

因为

(4.193)

若

说明宇宙在加速膨胀，若

说明宇宙在减速膨胀。由式(4.192)可以看出，能量密度与压强产生引力，会减速宇宙的膨胀。若宇宙学常数Λ为正，则会加速宇宙的膨胀，若Λ为负，则将会使得宇宙的膨胀减速。现在的天文观测表明，宇宙正在加速膨胀[10]。

本节简单介绍了对称性和弗雷德曼方程，与之相关的宇宙学研究是当前理论物理重要的研究领域。而介质理论对其有什么修正是个有意思的问题，下面对此进行简单讨论。

4.2 引力介质理论在宇宙学演化中的效应

利用式(3.124)来得到描述宇宙的弗雷德曼方程。将费雷德曼-罗宾逊-沃克度规代入至方程(3.124)中，经过计算，得到

其中H和a的定义如上文所述。此时如果假定介质能量动量张量与真空理论差别很小，计算可得，两个弗雷德曼方程修改为

当e=1时，以上两个方程就回到了通常的弗雷德曼方程。能量动量张量满足的守恒方程给出

(4.202)

这一方程与通常守恒方程一致。由式(4.209)可以得到，当K=0时，新的临界密度ρ′c与通常的临界密度ρc之间的关系为

(4.203)

而描述宇宙曲率因子K现在也不仅仅由哈勃参量决定，还由宇宙中分布的引力介质决定

(4.204)

若定义实际密度ρ与ρ′c的比值为Ω′，即

(4.205)

则根据发光星系平均密度的测量结果，由

(4.206)

得到

(4.207)

上式说明宇宙中存在的电磁介质对于相对密度Ω有一个抬高的作用。

综上，类比电磁学中真空理论与介质理论的关系，我们得到了处理介质理论的技巧，由此把引力理论中出现的真空光速c替换为介质中的光速e。随后研究了引力波速变化的情况，发现其结果和介质中的光速完全一样。沿着同样的思路，得到了爱因斯坦场方程的修改形式。修改了弗雷德曼方程，在宇宙学得到了一些有意思的结果。介质理论对经典引力理论修正的实验检验，以及引力波对钟情况下各种相对论理论的检验都是一些很大的课题，本文就不作深入讨论了。

5 总结

引力波信号的探测再次验证了100多年前爱因斯坦创立的广义相对论理论。该理论以其简单的逻辑基础，优美的理论结构成为了物理学皇冠上的明珠，也是众多物理学家为之奋斗终身的精神动力。本专题试图尽量简单地对广义相对论引力理论做一个介绍。论文特别关注于广义相对论理论与狭义相对论理论之间的关系。大多数广义相对论理论讲义中一般都会对等效原理说明得很清楚，但是相对性原理，光速不变原理的讲解略有欠缺。因此，在等效原理的基础上，本文重点说明了引力几何化思想，广义相对性原理的内容，广义光速不变原理的理解，坐标系和固有时、固有距离的关系等内容。在此之后，论文回顾了构建爱因斯坦场方程逻辑过程，施瓦兹解及其检验，弗雷德曼方程及其简单应用等。

引力波波速与光速之间的关系是一个复杂的问题：引力波速与真空光速相等的原因在于广义光速不变原理；速度差别关键原因在于介质的效应。论文在第4节中研究了介质在场的传播中起着重要的作用。我们由电磁学真空和介质理论的关系总结出来处理介质背景问题的相关方法，即将真空中波速替换为介质中波速，在假定真空理论和介质理论形式完全一样的前提下，建立相关的介质理论。我们借此修改了爱因斯坦场方程，得到了引力波波动方程，讨论引力波波速不为真空中光速的情况。基于修改的爱因斯坦场方程，给出了一些宇宙学推论。理论对标准宇宙学模型有微小的修正。

论文的最直接目的就是探究一下引力波速和真空光速不相等的理论到底是什么样的，满足作者以及感兴趣读者的好奇心。理论对经典引力的修正效应也许对引力相关理论和实验有一定的指导作用。

附录：黎曼几何简介

首先约定一些关于张量符号的规则。在本文中，我们使用的是张量的分量语言，有些教科书中会使用微分几何中的语言，在此作简要的区分以避免混淆。所谓分量语言，是指仅仅关注与张量的分量，而不考虑张量的基。比如对于粒子的四动量pμ，是一个一阶张量，它在分量语言下形式为

(5.208)

我们说四动量的第零分量为能量E，而不会说，四动量pμ在切矢量的方向上有分量E。而在微分几何中，微分算符构成矢量，称为切矢量。虽然抽象，但是微分算符作为矢量的优点在于它可以被推广至弯曲时空。在微分几何的语言下，四动量p记为

(5.209)

切矢量∂μ称为四动量的基。注意这与量子力学中的动量算符无关，它表示某个坐标系下矢量的方向。黑体的四动量p即表明其中既有分量，又指明各分量的方向。微分几何的语言更加严谨，但在仅仅关注于广义相对论的读者来说，尤其是对于初学者来说，暂时还需要使用微分几何。因此本文使用张量的分量语言。但是在熟练掌握分量语言之后，作者建议尝试使用微分几何的语言，这样做不管对于广义相对论还是黎曼几何的理解都会更进一步。

在弯曲时空的几何结构中，可以区分仿射几何与度规几何。仿射几何关注于一个矢量由于平行移动而产生的变化，而度规几何在给定的度规下侧重于长度、角度、面积等几何量的测量，这两种几何允许我们探索关于空间弯曲的信息。我们先来研究仿射几何。

即便在欧几里得空间中，矢量经过平行移动后它的分量也会发生变化。如果沿着某条曲线平行移动一个矢量，在直角坐标系中它的分量不会发生变化，但是在球坐标系下它的分量就会发生明显的变化。在本文中说过，一阶张量的普通导数不能给出张量。究其根源，一阶张量的普通导数的定义是

(5.210)

分母上，两个矢量是关于坐标xμ的函数。因此，这两个矢量不能直接相减，必须将其中一个平行移动使得两个矢量在同一坐标处，矢量的减法才有意义。这是仿射几何所决定的。将Aμ从xμ处平行移动到(x+Δx)μ处，矢量的大小和方向在平行移动中保持不变，但是分量会发生变化。定义矢量Aμ产生的变化为

(5.211)

符号称为克里斯多夫联络，它是坐标的函数，表征沿着某条曲线的平行移动。一个要求是，如果平行移动一个标量，这一标量在平行移动中保持不变。即

(5.212)

这一要求的结果是

(5.213)

加上平行移动的贡献后，再作导数的运算

(5.214)

这样，经过平行移动后定义的导数称为矢量Aν的协变导数，是一个二阶张量。通过平行移动，我们可以通过检测矢量的变化来得到空间的仿射几何，即克里斯多夫联络，进而可以确定时空的测地线以及曲率。

利用协变微分，定义一个非常重要的概念：沿曲线的微分，它是高等数学中方向导数在弯曲时空的推广。假如某条曲线C(τ)处于一矢量场Aμ中，其中τ称为曲线的放射参数，需要计算Aμ沿该曲线的变化率，就需要得到

(5.215)

这在平直时空是没问题的，但是在弯曲时空中，这不是一个好的测量量，因为不构成一个矢量，需要借助协变微分将其构造为一个张量。因此在此定义矢量场Aμ沿曲线C(τ)的变化率为

(5.216)

协变导数的存在意味着考虑了平行移动的贡献，这和上文所说的道理是一样的。如果有

(5.217)

称矢量Aμ是沿着曲线C(τ)平移的。

在弯曲时空中，另外一个重要的几何信息是测地方程。如正文所述，弯曲时空中的测地线即是受引力相互作用物体的运动方程。通常可以通过两种方式来定义测地线：一种是最直的曲线，另外一种是长度取极值的曲线。为了构造一条最直的曲线，需要借助平行移动不断向前移动它，总使得它与自身平行。为了构造一条长度取极值的曲线，将测量两点之间距离为极值的长度(或者说固有时取极值)。这两种分别涉及到仿射几何与度规几何，并且我们将会看到，由这两种方式定义的测地线是重合的。

我们在某一测底曲线上取一小线段dxμ。这一线段与自身平行地向前移动，将构造一条最直的曲线。这一小线段由于平行移动产生的变化为

(5.218)

上式等号左边成为了一个二阶小量。如果引入一个参数s来表征dxμ的变化率，将上式两边除以ds2，将得到测底方程

(5.219)

参数s只是一个数学参数，如果引入度规，则参数s将与固有时等同起来。

为了得到时空曲率信息，可以把一个常矢量aμ从一点沿着两条不同的路径平行移动到同一点，然后检验其变化来得到曲率的信息。这正是曲率的定义。如图3所示，时空点P与P′间由两条路径PQP′与PRP′相联系。我们将一个位于P点的常矢量aμ分别沿着两条路径平行移动到P′点，通过比较两种方式矢量的变化来检测时空的曲率。首先，将aμ平行移动到Q点，根据式(5.111)，矢量将变为

这一矢量再从Q点平行移动至P′点得到

(5.220)

由于

代入至式(5.220)中，得到

(5.221)

其中，略去了位移的三阶小量。这是将位于P点的常矢量沿路径PQP′平行移动至P′点后的结果。再沿着路径PRP′将位于P点的常矢量aμ平行移动至同一点P′，只需将dx与dy交换，得到

(5.222)

比较(5.221)、(5.222)两式的结果，它们的差别是

(5.223)

上式表明，平行移动是路径依赖的，不同的路径给出不同的结果。上式括号中关于克里斯多夫联络的组合即是黎曼曲率张量的定义，所有的克里斯多夫联络都是在P点的。这样，将一个常矢量分别沿着两条路径平行移动至一点后二者的差别由黎曼曲率张量表述，即

(5.224)

其中，

(5.225)

称为黎曼曲率张量，是一个四阶张量。在平直时空中，平行移动的结果与路径无关，因此在平直时空中黎曼曲率张量处处为零。只有当有非零分量时，我们说存在引力场。黎曼曲率张量是沿不同曲线平行移动移动的结果，也可以由协变微分的非对易性来表述黎曼曲率张量，即对于aβ，有关系

(5.226)

这和利用平行移动定义曲率张量是相同的。

综上，仿射几何的核心即是平行移动。通过平行移动，可以定义协变导数、测地线以及黎曼曲率张量。但是仅靠时空的仿射几何不能完成对几何量的测量，必须引入度规才能完成。我们定义时空两点之间的二次间隔ds2由度规张量gμ ν来测量，即

(5.227)

度规张量在文中有所介绍。

在文中介绍了引力几何化的办法，即通过坐标变换将引力消除。但是实际情况的质量分布很复杂，导致的引力也很复杂，找到一个可以将引力消除的坐标变换不是一件容易的事。除了坐标变换之外，另外一个可以体现引力的就是通过度规张量。如果给定度规，引力就确定下来，则这个时空的全部性质都可以得到，这是接下来要讨论的问题。

首先，我们来建立仿射几何与度规几何之间的联系。上文指出，平行移动一个矢量Aμ，则它的长度AμAνgμ ν保持不变。更一般地，如果沿着某曲线平行移动两个矢量Aμ和Bμ，则它们的标量积AμBνgμ ν保持不变，因此此标量积的普通微分为零，即

(5.228)

既然是标量，可以将普通微分变化成协变微分而没有影响，所以

(5.229)

因为沿着曲线平行移动，根据沿曲线平行移动的变化率式(5.217)，Aμ和Bμ的协变导数都为零。于是上式化为

(5.230)

由式(5.230)进一步即可导出克里斯多夫联络Γ与度规张量gμ ν的关系。这已在论文正文中有所说明：度规张量完全确定了克里斯多夫联络，因此度规几何完全确定了仿射几何。

接下来考虑度规几何中的测地线。给定度规gμ ν，根据P1、P2两点之间距离取极值的条件来定义测地线方程，即

(5.231)

可以取

(5.232)

作为拉格朗日量。其中，xμ是广义坐标；是速度；度规gμ ν是坐标的函数；m是为了配平量纲。进而可以求出欧拉-拉格朗日方程，即

(5.233)

利用四维速度平方等于1的条件

(5.234)

可得

(5.235)

因为

将式(5.235)化简，经整理得到

(5.236)

将上式两边乘以gσ μ，得到

(5.237)

由于dxαdxβ关于指标α、β的对称性，有

于是，式(5.238)中关于度规导数的组合正好是克里斯多夫联络于是由拉格朗日量式(5.232)导出的欧拉-拉格朗日方程的最终结果为

(5.238)

这一式与由平行移动得到的最直的测地线形式相同，只需要把在平行移动中引入的参数s赋予固有时的物理含义即可。由此可以得出结论，在弯曲时空中，最直的测地线恰好是固有时取极值的测地线，即二者重合。

引入度规后，也可以利用度规进行升降指标。例如，将黎曼曲率张量的第1个指标用度规降下来，得到张量

将黎曼曲率张量的第1、4指标缩并，得到里奇张量

对里奇张量进一步缩并，得到里奇标量

这些张量在广义相对论中有重要的应用。

以上的介绍的几何内容，称为黎曼几何。度规结构对于黎曼几何来说至关重要，只要给定了度规，就能知道该时空的全部信息。我们可以通过度规张量轻松求出曲线的长度，曲面的面积以及闭合曲面的体积。而联络、曲率的计算则略微复杂，而计算它们将会得到对应的物理结果。联络与曲率有着深刻的物理内涵，这一点在正文中已有说明。

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基金项目: 国家自然科学基金(11775012)。

作者简介: 王雯宇，男，北京工业大学副教授，主要从事理论物理的研究和教学工作，主要研究方向为高能物理，超出标准模型新物理，[e-mail]。

引文格式: 王雯宇，吴海麟，许洋. 光和引力波专题Ⅱ——电磁及引力介质理论[J]. 物理与工程，2019，29(2)：8-28.

END

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