大学物理教学改革——量子探测教学浅谈

精密测量一直是人们科技研究和发展的重要内容，一方面追求物理量的测量精度可以推动物理学及相关科学的进一步发展；另一方面国家重大战略急迫的需求，例如它在重力波测量、高分辨光谱测量、高精度原子钟、量子定位及量子成像等方面具有广阔的应用前景，受到人们越来越多的关注[1]。

在光学高精密测量中，物理量的测量通常都可以转化为对光场相位的测量，其中干涉是测量高精度光场相位的主要手段。近几十年来，人们大多致力于提高干涉仪的测量精度和灵敏度。研究表明以相干光为输入态的干涉仪，它的相位灵敏度受到散粒噪声限制——通常称为标准量子极限或经典探测极限(表示为其中N为光子数)，这个极限是相干光源的泊松量子统计特性所决定的光子数量子涨落的结果[2]。因此人们试图通过改变光源的量子统计特性来实现探测性能的进一步提升，这就是量子探测诞生的原因。人们将量子光学和高精密探测技术相结合孕育了一个新兴技术——量子探测技术。当人们将量子纠缠引入测量系统后，发现系统的测量精度可以超越这些经典的探测极限，接近甚至达到海森堡极限[3]。

1 探测极限缘由

大学物理的量子力学初步中介绍了测不准原理，或者叫不确定性原理，它是由德国物理学家海森堡于1927年提出。海森堡最初的表述是这样的：对于任何一个粒子，你不可能同时精确测量它的位置和动量，位置的不确定度和动量的不确定度相乘有最小值，用数学公式表述就是ΔxΔp≥h[4]。后来研究表明，只要两个物理量不满足对易关系，两个物理量就不能同时具有确定值，不能同时被准确测定。之后人们发现除了位置和动量的不确定性原理外，还有许多其他的不确定性原理，比如能量和时间，方位角和角动量等等。不确定性原理为我们打开了一扇微观世界的大门，让我们认识到在微观世界里有很多与宏观世界不同的概念，由此将引出许多我们意想不到的结果，这些概念和结果都已成量子物理的精髓。下面我们考虑能量和时间的不确定性原理ΔEΔt≥h。我们令ΔE=ΔNhν，这样表达式变为ΔNhνΔt≥h。我们在令νΔt=Δφ，我们得到了ΔNΔφ≥1。可以表示为

(1)

对于经典的探测而言，输入信号使用相干态，相干态光子数服从泊松分布，光子数量子涨落这样这就是标准量子极限。量子探测使用纠缠态或压缩态等非经典光源可以改变输入信号光子数量子涨落，例如多光子N00N态(也称为双模路径纠缠光子数态|N0〉光子数量子涨落ΔN=N，这样Δφ≥1/N，因此精度最高可达到1/N的海森伯极限。

2 马赫曾德干涉仪的相位测量

马赫-曾德干涉仪原理如图1所示，该系统有两个光路组成，逆时针的光路为参考光路，标记为a路，顺时针为探测光路，标记为b路。该系统由两个50:50分束器，两个反射镜，两个探测器以及一个相移器组成[5]。马赫-曾德干涉仪两个输入端a和b的入射态分别为相干态|α〉a和真空态|0〉b，右下角的下标a、b表示所在的路径。所以在第一个分束器之前的初始入射态可以表示为|ψin〉=|α〉a⊗|0〉b。对于50:50分束器，输入输出变换为因此经过第一个分束器BS-1后，信号变为随后，光束经过反射镜和相移器，其中反射镜对光束的相位是整体相位可忽略，b路相移器产生θ相移可以表示为再经过第二个分束器BS-2，同样可以使用50:50的分束器的输入输出变换，得到由于信号强度正比于平均光子数，即这样干涉仪两个输出端a和b的强度为

式中可以看出当两路相位差θ=0时，所有光子都分布在端口b；如果两路相位差θ=π时，所有光子都分布在端口a。两个端口的强度和为与相位差θ无关，我们为了估计相位差，因此采用两个端口信号强度差作为探测信号，即

现在从量子物理的角度分析该相位测量精度，两个端口的强度差可以表示为粒子数差算符均值为与经典结果ID相一致。根据线性误差方程所以很容易得到探测的精度

(4)

当θ=π/2时，探测精度最高为这也就是通常的标准量子极限，因此采用传统的相干态输入的探测极限就是标准量子极限，这是由于相干光源的泊松量子统计所决定的光子数量子涨落的结果。因此想进一步提升探测精度，突破标准量子极限，只能改变输入态，这里我们以多光子N00N态为例，介绍这种典型的量子探测方法的原理。

3 量子探测——量子效应增强的相位测量

通过上面的分析，要想进一步提高探测精度，只能改变输入信号的统计特性，具体可以通过纠缠的N00N态来实现。如图2所示，使用一个魔法分束器MBS来代替传统马赫-曾德尔干涉仪中第一个分束器[8]。这样两个输入端a和b的初始输入态|N〉和真空态|0〉经过MBS后就产生了N00N态，即然后经过b路上的相移器引入相位差θ，N00N态变为 值得注意的是相位因子变为了eiNθ，这与上一节中我们推导的相干态的相位因子eiθ相比，扩大了N倍，就是纠缠的N00N态的光子数N。现在我们实施一种简单的量子投影测量，测量算符可以表示为这样测量结果对应的平均值就是

为了更好地对比传统探测结果和量子探测结果，如图3所示，深色实线是传统探测结果——相干态相位测量的结果，浅色虚线是量子探测结果——纠缠N00N态量子相位测量结果。可以明显的看出量子探测结果变化要快于传统探测结果，也体现为峰值的距离从原来传统相干态的λ变为了λ/N，信号峰的宽度也缩小了N倍。通常称信号的半高全宽(FWHM)为分辨率，这表明基于纠缠N00N态的量子探测方法可以将经典的分辨率提高N倍，这就是量子探测的超分辨优势。

此外，我们还注意到曲线的斜率也变大了，如图穿过横轴的点附近斜率变大了N倍。斜率变大，更加有利于我们提高相位的探测精度，仍然根据线性误差方程其中所以很容易得到探测的精度

(5)

这个结果表明纠缠N00N态量子探测精度并不依赖于相位差θ，它是全范围的1/N，这正是海森伯极限。这个结果相比于经典探测极限提高了倍，这就是量子探测的超灵敏优势。

4 量子探测在大学物理教学中的建议

量子探测主要是为了进一步提高探测精度，突破经典探测极限。因此必须使学生先弄清楚什么是经典探测极限，什么制约着经典探测极限。笔者从学生已经掌握的不确定关系出发，推导出光子数涨落和待测相位也满足不确定关系ΔNΔφ≥1，从而根据经典相干态信号涨落引出经典探测极限通过这个思路的讲解也使学生清晰地认识到经典探测极限正是相干光源的泊松量子统计所决定的光子数量子涨落的结果。因此想进一步提升探测精度，突破经典探测极限，只能改变输入态，使其具有经典相干态信号不具有的量子统计特性。本文以纠缠N00N态为例，通过理论推导和仿真曲线形象地为同学们展示了量子探测超分辨和超灵敏的特性，探测精度可以突破经典探测极限倍，可以从经典探测极限提升到海森伯探测极限1/N。

参考文献

[1] GIOVANNETTI V, LlOYD S, MACCONE L. Advances in quantum metrology[J]. Nature photonics, 2011, 5(4): 222-229.

[2] TOTH G, APELLANIZ I. Quantum metrology from a quantum information science perspective[J]. Journal of Physics A, 2014, 47(42): 424006.

[3] ZWIERZ M, PEREZ-DELGADO C A, KOK P. Ultimate limits to quantum metrology and the meaning of the Heisenberg limit[J]. Physical Review A, 2012, 85(4): 042112.

[4] 赵远, 王晓鸥, 张宇, 等. 大学物理学[M]. 北京：高等教育出版社，2012.

[5] 肖骁琦. 基于关联光学的精密测量理论和方法研究[D]. 上海交通大学, 2013.

[6] 张智明. 量子光学[M]. 北京：科学出版社，2015.

ZHANG Z M. Quantum Optics[M]. Beijing: Science Press, 2015. (in Chinese)

[7] GERRY C C, MIMIH J. The parity operator in quantum optical metrology[J]. Contemporary Physics, 2010, 51(6): 497-511.

[8] DOWLING J P. Quantum optical metrology-the lowdown on high-N00N states[J]. Contemporary physics, 2008, 49(2): 125-143.

基金项目: 国家自然科学基金(61701139)资助；新时代新工科大学物理教学体系项目资助；“3+3”新高考制度下大学物理教学应对策略的研究，黑龙江省高等教育科学“十三五”规划课题(省重点课题，课题编号：GBB1318030)。

作者简介: 张子静，男，哈尔滨工业大学副教授，主要从事大学物理教学和量子信息技术相关方向的研究工作，[e-mail]。

引文格式: 张子静,王晓鸥,霍雷,等. 大学物理教学改革——量子探测教学浅谈[J]. 物理与工程，2020，30(2)：65-68.

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