利用傅里叶变换的可分割性计算夫琅禾费衍射图样

夫琅禾费衍射是一种远场衍射，入射光和衍射光都是平行光，其光强分布可由惠更斯菲涅尔原理分析，即孔后空间任一点P的光振动是孔处波阵面上所有子波波源发出的子波传到P点的振动的相干叠加[1]。

计算衍射光强分布的方法大体可以分为用基尔霍夫公式计算得到解析解和用二维傅里叶变换模拟得到数值解两种。谢嘉宁、陈昌兆等[2,3]证明了傅里叶变换模拟衍射光强分布的有效性，但并未分析二者之间的内在联系与相关性。宋易知[4]使用基尔霍夫公式，利用衍射过程的可分割性与可加性计算正多边形衍射孔的衍射模拟图像，并未利用二维傅里叶变换这一更加直观形象的方法。张文玉等[7]使用基尔霍夫公式分析了夫琅禾费衍射的线性变换特性，使仅用代数运算得到简单多边形衍射孔的衍射图像成为可能，但其仅从物理的角度进行了分析，未考虑数学形式上的对应。可见，现有对于夫琅禾费衍射图像的研究，主要使用基尔霍夫公式计算与使用二维傅里叶变换模拟衍射图像两种不同的方法，但夫琅禾费衍射与二维傅里叶变换并未被统一地进行性质的探究与对比。

我们发现，同衍射现象具有可分割性与可加性一样，二维傅里叶变换对夫琅禾费衍射现象的模拟过程也具有可分割性与可加性。相对于夫琅禾费衍射现象这一物理过程，二维傅里叶变换这一数学表现更加形象直观。本文通过对比基尔霍夫公式与二维傅里叶变换验证了夫琅禾费衍射图像等价于衍射孔的二维傅里叶变换。从而得出，夫琅禾费衍射图像等价于其衍射孔任意分割后各部分二维傅里叶变换的叠加，且任意分割的衍射图像与其傅里叶变换一一对应。这样，将衍射这一物理图像与其数学表现统一，意义明确并形象直观。基于此，以正多边形衍射孔为例，理论计算其衍射模拟图像， MATLAB仿真结果与文献[2,3,7]中的结果一致。最后，给出物理上夫琅禾费衍射与数学上傅里叶变换等价的解释。

1 理论分析

1.1 理论基础

如图1，gin为衍射孔的形状函数，gout为衍射图像的函数，有卷积衍射公式[5]：

用卷积定义式展开，得：

又因：

由于衍射孔径很小，式（3）的推导中略去二阶小项x²、y²。

令：

将式（3）代入（2）：

在夫琅禾费衍射中，光源与衍射屏相距近似无穷远，即z趋于无穷，此时：

为一常数，设为C。

二维傅里叶变换定义式（5）：

对比式（4）（5），有：

即：

式（6）指出：任意衍射图像与其衍射孔的二维傅里叶变换等价，即：在夫琅禾费衍射过程中，光源经衍射孔在衍射屏所成的像可以看作在衍射屏上得到衍射孔的二维傅里叶变换图像。

1.2 矩形孔和圆孔的衍射规律

使用二维傅里叶变换公式推导矩形孔和圆孔的衍射规律：

对于矩形孔：

对圆孔：

其中J₀为第一类0阶贝塞尔函数，J₁为第一类一阶贝塞尔函数。

可以看到，用傅里叶变换计算得到的结果与由基尔霍夫公式推导出的衍射结果[6]一致。

2 正多边形实例与仿真验证

由惠更斯菲涅尔原理，夫琅禾费衍射图像上任一点P的光振动是孔处波阵面上所有子波波源发出的子波传到P点的振动的相干叠加，满足可分割性与可加性。由式（1），衍射孔的二维傅里叶变换图像与夫琅禾费衍射图像等价，也应满足可分割性与可加性，那么，使用基尔霍夫公式计算得到的分割后各部分衍射图像的叠加应等价于衍射孔相同分割下各部分傅里叶变换的叠加。也即：衍射图像也可看作衍射孔任意分割后各部分傅里叶变换的叠加，且任意分割后各部分的衍射图像与其二维傅里叶变换一一对应。此部分的整体思路如图2所示。

2.1 正多边形实例

以正n边形为例，验证推论的正确性。此处将正n边形的衍射孔拆分成n个腰为a的等腰三角形，如图3。衍射结果视为n个小三角形孔衍射的叠加。

三角形孔傅里叶变换衍射振幅：

其中：

n个三角形叠加的衍射总振幅为：

在正n边形的情况下，有(k=1,2,…,n-1)：

总光强为：

2.2 MATLAB仿真

由式（12），依次取n为6、7、8、10、20、100，用MATLAB模拟衍射图像如图4所示。文献[7]中通过线性变换得到的正六边形衍射孔衍射模拟图像见图5。

可以看出，本文给出的衍射孔分割后各部分傅里叶变换的叠加的结果与文献[7]中对已知三角形衍射孔的衍射振幅分布进行线性变换得到的结果相一致。

本文证明了衍射孔分割后各部分二维傅里叶变换的叠加与夫琅禾费衍射图像等价，且分割后各部分的衍射图像与其二维傅里叶变换一一对应。将衍射现象这一意义明确的物理过程与其形象直观的数学表现相统一。

3 物理解释

由傅里叶变换的定义，Rτ为函数ft的自相关系数，有：

其中，S(ω)为能量谱函数。

由此可知，自相关系数和能量谱密度构成了一个傅里叶变换对[8]。

在夫琅禾费衍射现象中，自相关系数正比于光源的形状，能量谱密度函数即为衍射屏的光强分布。因自相关系数与能量谱密度函数构成一个傅里叶变换对，衍射孔形状函数的象函数与衍射图像函数线性相关（此处的象函数为函数经傅里叶变换之后得到的函数）。由此可知，衍射孔二维图像经傅里叶变换之后得到的图像与衍射屏上的光强分布成正比，在对复杂衍射孔衍射图像的求解过程中可使用傅里叶变换进行简化。

从物理意义上来说，傅里叶变换将图像的灰度分布函数变换为频率分布函数。而图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，夫琅禾费衍射现象也是由于光线在传播方向受到阻碍而表现出的光的波动现象，光强的分布在一定意义上可以表示为光源受到阻碍的程度，即初始图像上的梯度变换情况。

4 总结

本文证明了用二维傅里叶变换模拟夫琅禾费衍射图像的过程具有可分割性与可加性。将衍射现象这一物理过程与其二维傅里叶变换的数学表现相统一。

参考文献

[1]杨兵初.大学物理学[M].北京：高等教育出版社,2011.

[2]陈昌兆,张晓森.矩孔夫琅禾费衍射的解析解和数值解[J].安徽理工大学学报(自然科学版),2014,34(4):6-9.

CHENG C Z, ZHANG X S. Analytical and numerical solutions of the rectangular Fraunhofer diffraction[J]. Journal of Anhui University of Science and Technology (Nature Science), 2014, 34(4): 6-9. (in Chinese)

[3]谢嘉宁,赵建林,陈伟成,等.夫琅禾费衍射的计算机仿真[J].大学物理,2004(3):51-54.

XIE J N, ZHAO J L, CHEN W C, et al. Computer simulation of Fraunhofer diffraction experiments[J]. College Physics, 2004(3): 51-54. (in Chinese)

[4]宋易知.任意正多边形小孔夫琅禾费衍射成像探讨[J].物理实验,2017,37(11):48-51.

SONG Y Z. Discussion on the Fraunhofer diffraction imaging of arbitrary regular polygon hole[J]. Physics Experimentation, 2017, 37(11): 48-51. (in Chinese)

[5]The open course of Optics by MIT Prof. George Barbastathis, Prof. Colin Sheppard, Dr. Se Baek Oh in spring 2009.

[6]钟锡华，陈熙谋.大学物理通用教程 光学[M].2版.北京:北京大学出版社.2011

[7]张文玉, 戴又善. 夫琅禾费衍射的线性变换计算[J]. 大学物理, 2016, 35(7)：47-55.

ZHANG W Y, DAI Y S. Calculate of Fraunhofer diffraction by linear transformation[J]. College Physics, 2016, 35(7)：47-55. (in Chinese)

[8]高宗生、滕岩梅.复变函数与积分变换[M].北京:北京航空航天出版社,2016.

基金项目:  北京高等教育“本科教学改革创新项目”(“一制二式三化”的基础物理实验教学新模式探索);北京市优质本科课程建设项目(基础物理实验);北京航空航天大学2019—2022年教育教学改革培育项目(新工科背景下大学物理课程TPE模型教学改革与实践)资助。

通讯作者:  王文玲，女，副教授，主要从事理论物理和实验物理的教学和研究工作，[e-mail]。

引文格式:  张敬雯，王文玲，黄安平. 利用傅里叶变换的可分割性计算夫琅禾费衍射图样[J]. 物理与工程，2020，30（6）：43-47.

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