参考点变更时的角动量定理

1 背景

质点系的角动量定理有多种形式。设质点系中第i个质点的质量为m_i，位矢为r_i，速度为，受的外力为F_i，则对静点（惯性系的原点）的角动量定理为

(1)

这是基本形式。还有对质心的角动量定理：

(2)

其中为质点i相对于质心C的位矢和速度。质心是动点，但很特殊，因为它是系统的（以质量为权的）平均位置，或者说是质量空间位置分布的一阶原点矩。式(2)右边的“对质心的角动量”可以视为某种二阶中心矩（如果其中的速度换为矢径的话）。如果对其他动点P，角动量定理就没这么简单，会多出一项：

(3)

其中为质点i相对于动点P的位矢和速度，而r_CP为质心相对于P点的位矢。这里多出来的一项是由于动点具有加速度，故而换到非惯性系中时各质点还受到惯性力。正是这些惯性力力矩之和。如果动点就是质心，那么r_CP=0，惯性力力矩之和为0，式(3)右边第二项就不存在。

对于刚体情形，以上各定理都有更为具体形式，不赘述。但此时还有一个对瞬心的角动量定理（或转动定律）。文献[1]从刚体绕瞬心的动能定理

(4)

（P为瞬心，M_P为刚体受到的绕瞬心的力矩，I_P为刚体绕瞬心的转动惯量，ω为刚体的角速度）出发，得到刚体绕瞬心的转动定律（角动量定理）：

(5)

这一定律在理解上存在一定障碍：瞬心是静止的（刚体上瞬间静止的点），但它又是运动的（空间极迹就是瞬心相对于静系的运动轨迹）。怎么理解它？它是否有更一般的形式？如何从一般的质点系动力学中导出？这就是本文所关心的问题。

2 参考点变更时的角动量定理

仔细思考后，会发现这是参考点变更问题：参考点是静止的，从而不涉及速度的参考系变换；但不同时刻以不同的静点为参考点，故称为参考点变更。（与此类似的一个概念是受力点变更，它不是受力点位移，是不导致做功的。）

下面进行推导。对于质点系中的任一质点i，设其所受外力之和为F_i，所受内力之和为f_i，则由牛顿第二定律，有

（6）

设有参考点P（见图1），则质点i的相对位矢为

（7）

通常参考点选定之后就不更换了，有dr_iP/dt=。但若存在参考点变更，则

（8）

其中为参考点的变更速度。用相对位矢r_iP从右边叉乘式(6)，得

将其对指标i求和，注意内力矩之和成对抵消，可得

（9）

其中为相对于参考点P的合外力矩，

（10）

为质点系相对于参考点P的总角动量。式(9)就是参考点发生变更时的角动量定理。

下面考虑另一种理解方式。定理(9)也可理解为参考点运动时的角动量定理，只不过计算质点角动量时，位矢用相对（于动点的）位矢，但速度仍用绝对速度，故而并未变换参考系。式(10)中的r_iP=r_i(t)－r_P(t)既可以理解为不同时刻相对于不同静点的矢径，也可以理解为相对于同一个动点P的矢径。所以，到底参考点是一系列静点，还是一个动点，对相对位矢而言无关紧要。唯一要注意的是，不管做何种理解，粒子的速度总是用绝对速度。“参考点变更”理解为“参考点运动”的话， 的含义就由“不同静止参考点的变更速度”变为“同一个运动参考点的运动速度”，而式(8)就由“相对位矢的变化率”（不是谁的速度，也不是谁相对于谁的速度）变成了“粒子i相对于运动参考点P的速度”。

这一新的理解方式合理吗？合理。本来，角动量的定义中涉及位矢和速度。位矢需要指明参考点，速度需要指明参考系，二者并不必然绑在一起。通常所谓的对动点的角动量定理(3)（包括对质心的角动量定理(2)），是换参考点的同时也换了参考系。如果只换参考点而不换参考系，那就得到定理(9)。另外要说明的是，力矩中只含位矢，从而只与参考点有关，与参考系无关。不同参考系中的力和力矩是相同的。

定理(9)显然包含各种特殊情况。如果P点静止，那么回到定理(1)。如果换参考系，让粒子相对于动点P点的速度 出现在表达式中，那么式(10)变为

或写为

（11）

其中，

（12）

为以动点P为原点的新参考系中测得的角动量，为质心相对于P点的位矢。把式(11)代入式(9)，得

此即对一般动点的角动量定理(3)。如果把P点取为质心C，则r_CP=0,。于是式(11)给出L_C=L′_C（即以质心为参考点时，不论粒子速度是对惯性系的还是对质心系的，所得到的系统角动量都相同），而式(9)给出M_C=dL_C/dt=dL′_C/dt。此即对质心的角动量定理。

3 刚体绕瞬心的角动量定理

我们关心的是刚体，而且是平面运动情形。只要刚体有角速度ω，则存在速度为0的瞬心P。这里需要先对“瞬心”概念作一分析。众所周知，刚体的运动可以用瞬心的本体极迹在空间极迹上作无滑滚动来代替^[2,3]。本体极迹上的点与刚体固连，可视为就是刚体上的点，这些点依次静止成为瞬心。空间极迹固连于静系中，其上所有点都永远静止。此外，还可以想象有一个小环，它永远处在本体极迹与空间极迹的切点，故而是一个动点。在不同的场合，某时刻的“瞬心”可以指空间极迹上的切点P₁（仅限于该时刻，简称为“空间点P₁”），也可以指本体极迹上的速度为0的点P₃（也仅限于该时刻，简称为“本体点P₃”），也可以指运动的小环P₂（所有时刻）。它们三者的空间位置总相同，但运动情形各不相同。故而，在作为位矢参考点时三者可任意切换，但在涉及速度和加速度时则要小心。前面的角动量定理(9)若理解为是针对参考点变更情形，那么此参考点就是一系列静止的、不断变更的空间点P1，变更速度为；若理解为针对同一个动点（参考点运动）的情形，那么此参考点就是小环P₂，其运动速度也是。如果采用我们最习惯的理解——本体点P₃，那么千万不能因为本体瞬心的速度为0而认为=0！

有了以上辨析，在各点的绝对速度公式

（13）

中，由于此处只涉及相对位矢，故而其中的瞬心P可以是上面三者中的任何一个而不需明确（当然，通常理解为本体点P₃）。但式(9)右边第二项 中，若 理解为运动速度，则P点只能指小环P₂。它可计算为

（14）

其中用到了ω垂直于所有位矢和速度（平面运动），故。注意对最后两式的理解：小环P₂一直在运动，质心C到P₂距离r_CP2也在变化，这才使得dr²_CP2获得意义；本体点P₃一直在本体极迹上变更，所以r_CP3才会发生变化，这才是dr²_CP3的含义。

同时，对瞬心P点的角动量(10)中，速度已明确是粒子的绝对速度，位矢r_iP中的P点则无需明确是对瞬心的哪种理解，而且可以按需任取：

（15）

其中为单位张量，为由定义的张量。注意，无论P点是动点（小环）、本体点还是空间点，都可以定义这样的张量，因为r_iP总有意义，定义明确，对张量的计算结果也总相同。但若想称其为“刚体的转动惯量张量”，则习惯上需要P点是固连于刚体的点（即本体点P₃）。也就是说，只是一个张量而已，而只有才能在习惯上被称为“刚体的转动惯量张量”，虽然它们的结果总相同。于是，当本体点P₃在本体极迹上不断变更时，也将随时间而变。

把以上结果代入角动量定理(9)，得

其中，为刚体绕本体瞬心P₃的转动惯量张量的zz分量，且考虑了I_Czz为常数。取上式的z分量，注意ω只有z分量，故有

于是得到刚体平面运动时对瞬心的转动定律(5)（I_P是I_P3zz的简写）。两边同乘以dθ=ωdt，即可得到式(4)。本文所关心的核心问题也就得到了解决。

现在可以来总结一下：为什么在式(10)之后和式(13)之前要谈及对参考点（或瞬心）P的多种理解？我们的核心是式(9)和式(10)，其中的和为绝对速度，为参考点变更速度。但我们实在是熟悉（或喜欢使用）“点的运动速度”这一概念，而将理解为“动点的速度”即可满足我们这一习惯，只要保证和为绝对速度就行。在刚体情形，由于我们的目标是要解释定理(5)，而其中涉及的转动惯量在习惯上被理解为绕“刚体上某点”（而不是绕静系中某点）的转动惯量，故而我们需要瞬心P兼具本体点P₃这一角色才能符合我们的习惯。于是，在式(9)~式(10)及以后的推导中，r_iP最终被理解为相对于本体瞬心的矢径（见式(15)），理解为动点（小环P2）的速度（见式(14)），而和必须仍是绝对速度（见式(13)及其在式(14)~式(15)中的代入）。

4 几种角动量定理运用比较

下面以一道题为例说明上述几种角动量定理的运用。如图2所示，一半径为R、质量为M的均匀圆柱体在倾角为θ的粗糙斜面上沿最斜方向滚下。以离开斜面最远的A点为参考点列角动量定理。

在列方程之前，先对“A点”的含义作一辨析。正如“瞬心”有多重含义一样，这里的“A点”也可以有多种含义。假想有一条直线位于运动平面内，平行于斜面，且离斜面的距离为2R。有一动点（或小环）始终位于圆柱与直线的切点。那么，“A点”的含义和角色有如下几种可能：（1）直线上始终固定的一点，在研究时刻处在切点位置；（2）直线上的一系列静点（参考点变更，变更速度为质心速度）；（3）小环（速度也是，仅用于表达相对位矢，速度仍用绝对速度）；（4）小环（既是位矢的参考点，也是速度的参考系的原点）；（5）圆柱边缘上的一系列点，永远处于切点位置，不同时刻取不同的点；（6）圆柱边缘上与刚体固连的一个确定点，仅在研究时刻处于切点位置。

上述六种理解中，最后一种最常见，第（5）种上文未讨论（略去），第（2）（3）种等价。不论是哪种理解，角动量定理中左边的力矩都相同，都为（以逆时针方向为正）。

按第（1）种理解，应使用对固定静点的角动量定理(1)。系统对A点的角动量为质心角动量与相对于质心的角动量之和，前者为－RM_vC，后者为I_Cω（I_C为相对于质心的转动惯量）。故有

（16）

按第（2）（3）种理解，应使用方程(9)。此时方程右边第二项为0，而第一项中的角动量也是I_Cω－RMv_C，故方程为

（17）

式(17)与式(16)看似相同，但其实式(17)右边是有两项的，只不过在本题中第二项为0。

按第（4）种理解，需使用对一般动点的角动量定理(3)。此时，参考点A的速度总是，加速度总是a_C。方程右边第二项为－RMaC，而第一项中对A点的角动量为ICω，因为质心相对于A点始终静止。故有

（18）

按第（6）种理解，仍需使用对一般动点的角动量定理(3)，但此时A点的速度为v_C+ωR，加速度则不仅有平行（于斜面的）分量a_C+βR，也有垂直分量。不过该垂直分量无需考虑，而方程右边第二项为－RM(a_C+βR)。至于右边第一项，质心相对于A点的速度沿斜面向上，为ωR，而相对于质心的角动量仍为I_Cω，故括号内相对于A点的角动量为R(M·_ωR)+I_Cω。于是方程为

（19）

可以看出，不论作何种理解，所得的方程(16)~方程(19)全部等价。

总之，为了给刚体“绕瞬心的转动定律”这个“异类”找到理论基础，我们从最原始的形式出发，导出了角动量定理的一个新形式，其中质点速度为绝对速度，但位矢参考点可以不停更换，故称为“参考点变更时的角动量定理”。由此我们导出了“绕瞬心的转动定律”。为了便于理解，我们还对“瞬心”的可能含义进行了辨析，为推导过程铺路。最后，我们通过一道例题，比较了角动量定理的各种形式的使用方法。本文的这一新形式的角动量定理虽然更为一般，但只是提供了一种新的手段；已有的手段（对静点、对质心和对动点的角动量定理）已经足够。

参考文献

[1]张汉壮，王文全.力学[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2015，201-202.

[2]周衍柏.理论力学教程[M].3版.北京：高等教育出版社，2009：146.

[3]朱照宣，周起钊，殷金生.理论力学(上)[M].北京：北京大学出版社，1982：186.

作者简介:  吴洵，男，中学一级教师，研究方向为中学物理竞赛，主要从事中学物理竞赛教学工作，[e-mail]；黄亦斌，男，副教授，主要从事科研和教学工作，担任多门主课程的教学工作，[e-mail]。

引文格式:  吴洵，黄亦斌. 参考点变更时的角动量定理[J]. 物理与工程，2020，30（6）：75-78,83.

END

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