一种新的Glauber公式的证明方法

Glauber公式在量子力学中有着十分重要的应用，特别是量子力学中的问题被转化成算符操作后，比如利用平移算符作用在真空态上产生谐振子的相干态。Glauber公式给出了两个算符之和的指数与算符指数之积的关系，它的具体表达式为

(1)

应用Glauber公式的条件是算符与算符分别与它们的对易子对易。由于量子力学中常见的坐标与动量算符、产生与湮灭算符之间都满足Glauber公式的应用条件。因此Glauber公式是量子力学中十分重要的公式之一。对Glauber公式的证明也是非常重要的内容。笔者通过对量子力学的学习与对大量量子力学教材和习题集的调研发现^[1-22]，对Glauber公式的证明方法主要有两种。笔者认为这两种方法都有其优缺点，我们在正文中会做详细讨论。笔者在本文中通过构造的方法，利用Baker-Hausdorff公式和算符的指数展开公式，给出了一种新的Glauber公式的证明方法。此方法不仅简洁、简单，同时具有思辨性，可以作为Glauber公式证明的另一种教学选择。

1 Glauber公式常用的证明方法

量子力学教材中，第一种常用证明方法如下^[2]（注：不同教材和习题集的证明方法可能与下述证明方法略有不同，但本质上属于同一种方法）。先构造一个含有参变量的算符指数的函数

(2)

其中λ为参变量。然后对参变量求导

(3)

利用Baker-Hausdorff公式

(4)

和与算符分别与它们的对易子对易，可得

(5)

将式(5)代入式(3),可得

(6)

然后将除到式(6)左侧的分母

(7)

对上式积分后得到满足条件的解为

(8)

在式(8)中令λ=1，即证明了Glauber公式

(9)

容易看出式(9)即式(1)的变体。

上述证明过程中，我们需要注意式(7)。在式(7)左侧被除到了分母。是构造的含有参变量的算符指数的函数，然而与算符对应的矩阵是没有除法的。这是笔者认为的此证明方法存在的一点瑕疵。但如果忽略式(8)的求解过程式(7)，直接将式(8)代入式(6)进行验证，此证明方法的瑕疵就消失了。

第二种常用的证明方法如下^[14]。首先我们需要证明以下公式（详细证明见参考文献[14]，在此我们就不赘述了）

(10)

其中符号表示不能使用普通代数中的二项式定理进行展开，必须考虑算符的对易性质。而符号表示不考虑与算符对易性质，可以用代数中的二项式定理展开，但算符一律写在算符的前面。上述两种符号相应的二次幂展开式如下

利用算符的指数函数展开，我们可以得到如下关系

(13)

然后利用式(10)和式(13)，即可直接证明Glauber公式

(14)

此证明方法非常严格，但需要提前证明式(10)和式(13)。如果考虑所有必须的证明过程，整个证明过程略显复杂。

从上述两种常用证明方法的讨论中可以看出，两种证明方法各有其优缺点。第一种方法虽然简洁明了，但存在一点瑕疵；第二种证明方法虽然严谨，但却略显复杂。笔者将在下文中给出了一种新的比较简洁的Glauber公式的证明方法。

2 新的Glauber公式证明方法

利用Baker-Hausdorff公式(式(4)中令λ=1)可得

(15)

其中

(16)

因此，可以构造如下恒等式

(17)

(18)

(19)

将所有构造的恒等式两边都乘以与其幂指数n相应的常数因子后相加并利用算符指数函数的展开式，可以得到

利用与算符分别与它们的对易子对易和式(16)，可得

(22)

当与算符对易时，即，我们有。因此我们可以猜测，当与算符不对易时有

(23)

我们要求当时，。但的具体形式是不知道的。由于我们所讨论的是算符指数的运算，根据“物以类聚”的逻辑，自然的一种猜想为，其中x为待定系数。式(23)可以写为

(24)

将式(24)代入式(22)的右边

(25)

对比最后两行，只有当时才成立。因此Glauber公式得证

(26)

3 结语

笔者对Glauber公式在量子力学教材中的两种常用证明方法的优缺点进行了相应的讨论，并给出了一种新的证明Glauber公式的方法。该证明方法十分简洁和简单，只利用了Baker-Hausdorff公式和算符的指数展开公式，但需要加入一点思辨进行合理的猜想。这为学生学习证明Glauber公式提供了一种新的思路，同时对提高学生的创新能力也具有一定的启发意义。

参考文献

[1]皮莱格,普尼尼,扎阿鲁尔. 量子力学[M]. 邢泽仁, 宁铂, 译. 北京: 科学出版社, 2002.

[2]陈鄂生. 量子力学习题与解答[M]. 北京: 科学出版社, 2012.

[3]程檀生. 现代量子力学基础[M]. 北京: 北京大学出版社, 2013.

[4]井孝功, 张井波. 高等量子力学习题解答[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2006.

[5]科恩·塔诺季, 迪于, 拉洛埃. 量子力学[M].（卷一）. 刘家谟, 陈星奎, 译. 北京: 高等教育出版社, 2014.

[6]刘莲君, 张哲华. 量子力学学习指导[M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2007.

[7]刘自信, 王学雷, 赖振讲, 等. 量子力学考研指导习题精析[M]. 北京: 科学出版社, 2006. 

[8]钱伯初, 曾谨言. 量子力学习题精选与剖析[M]. 北京: 科学出版社, 2008.

基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金项目（GK201903022）

通讯作者:郑华，男，陕西师范大学研究员，主要从事粒子物理与原子核物理方向研究和高等量子力学的教学，[e-mail]。

引文格式:陶俊琦，王蒙，程剑剑，等.一种新的Glauber公式的证明方法[J].物理与工程，2021，31（1）：25-27，30.

Cite this article: TAO J Q, WANG M, CHENG J J, et al.. A new proof method of Glauber fomula[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（1）：25-27，30. (in Chinese)

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