一维谐振子势阱中的理想量子气体

随着低温技术的发展，玻色爱因斯坦凝聚在1995年已经被实现^[1-3]。低温下的量子系统已经成为物理学界的研究热点。被囚禁于光学势阱中的粒子间的相互作用，可以方便地通过Feshbach共振技术进行调节^[4,5]，因此低温量子系统成为了检验各种理论的一个非常干净的对象。将量子气体束缚在三维非对称势阱中，如果其中两个维度束缚得很紧以至于不会在这两个维度上产生激发，那么就构成了准一维量子系统. 对于一维谐振子势阱中的玻色体系和费米体系，已引起人们的广泛兴趣^[6-16]。另外，一维谐振子势阱中的无相互作用的量子气体是统计物理中少有的能够精确计算其微观状态数的系统，对统计物理教学也颇有意义。本文将利用微正则系综来研究一维谐振子势阱中的理想玻色气体和费米气体, 并指出它们的等效性。

考虑一个囚禁于一维谐振子势阱中无相互作用的量子系统，能级间距为ε. 为方便起见，我们选取基态为能量零点。在微正则系综中，粒子数N和系统总能量E是确定的, 满足这个条件的不同能级的布居数组合{n₀, n₁,…,n_i,…}对应于不同的微观状态, 对于玻色系统n_i≥0, 对于费米系统0≤n_i≤1。于是不同的微观状态对应于方程组

(1)

的不同非负整数解，其中m≡E/ε为激发子的个数。对于任意正整数m，当m≤N时，本问题可以转化为正整数拆分问题。例如当m=3≤N时，有三种拆分方式：m=3, m=2+1以及m=1+1+1, 等号右边的正整数按照从大到小排列。上述三种拆分方式分别对应于玻色系统的微观状态为{N-1,0,0,1,0,0,…}, {N-2,1,1,0,0,…}和{N-3,3,0,0,…}，如图1(a)所示。对于费米系统，可将拆分出来的正整数激发子数量从左到右依次分配给能量最高的费米子、能量其次的费米子、能量再次的费米子……，以此类推。例如m=2+1表示将处于费米面上的粒子向上迁移两个能级，将能量仅次于费米面的粒子向上迁移一个能级至费米面上，如图1(b)所示. 求解正整数m的拆分方式的个数p(m)的问题最早由欧拉提出, Rademacher在1937年给出了p(m)的精确表达式^[17]。当m>N时，受到粒子数的限制，这时可能的拆分方式的个数p_N(m)要小于p(m)。例如当m=3而N=2时，就只有两种拆分方式：m=3和m=2+1，与之对应的玻色系统的微观状态为{1,0,0,1,0,0,…}和{0,1,1,0,0,…}。

由上述讨论可见,拥有相同的粒子数N和能量m的一维谐振子势阱中的玻色系统和费米系统，具有相同的微观状态数p_N(m)。因此一维谐振子势阱中的玻色系统和费米系统在热力学上是完全等价的。据本文作者所知，这种等价性最早是在2000年Schnhammer推导出两个系统拥有完全相同的巨配分函数指出的^[16]。由于一维谐振子系统的态密度不随能量改变，可知任何系统只要态密度为常数，那么这个系统中的理想玻色气体和理想费米气体在热力学性质上就是等价的。例如，二维平面上的自由粒子的能量为ε_p=p²/2μ，由pdp=μdε可知其态密度为常数，于是二维平面上的自由玻色气体和自由费米气体热力学性质相同。

p(m)的精确表达式太过复杂因而难以使用，现在已经知道当m→∞时p(m)的渐进形式^[18]

(2)

对于p_N(m), Erds和Lehner给出了近似表达式^[19]

(3)

可见在时，p_N(m)≈p(m)。当时, 式(3)不再适用，需要使用p(m)的另一个渐进表达式^[20]

(4)

在得到系统的微观状态数p_N(m)后，就可以得到系统的熵

(5)

其中k_B为玻耳兹曼常数，进而得到系统的温度

(6)

根据以上讨论，容易算出在的情况下系统的能量和温度成抛物线关系

(7)

当时，利用式(4)和斯特林公式，可知能量和温度成线性关系

(8)

这也正是能量均分定律给出的结果。

基于微正则系综，本文提供了囚禁于一维谐振子势阱中无相互作用的量子系统的各热力学量的计算方法，并指出该系统中的理想玻色气体与理想费米气体的等价性。鉴于统计物理里能够在微正则系综中精确求解的例子不多，本文可以为统计物理的初学者提供必要的参考。

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基金项目:  东南大学教学改革研究与实践项目（2019-074）; 教育部高等学校物理学类专业教学指导委员会项目; 东南大学理科试验班本科教学综合改革项目资助。

通讯作者:  侯吉旋，男，东南大学副教授，主要从事大学物理教学和高分子物理研究工作，[e-mail]。

引文格式:  侯吉旋. 一维谐振子势阱中的理想量子气体[J]. 物理与工程，2021，31（1）：31-32，36.

Cite this article: HOU J X. Ideal quantum gases in one-dimensional hamonic trap[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（1）：31-32，36. (in Chinese)

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