可视化方法判断多点电荷系统中电荷的平衡状态

摘 要

多体相互作用系统中的物体平衡状态稳定性问题通常涉及复杂的微分方程难以解析。我们在研究一个由多个点电荷组成的系统中的电荷受到特定扰动后能否回到原来的平衡状态时，通过分析系统各部分之间的作用，建立空间中的电势能场函数，借助软件Matlab进行数值模拟计算其势能和势能梯度并据此绘制出势能可视化图像与势能梯度图像，简明地判断系统各部分的平衡状态稳定性可能性。

关键词 平衡状态；可视化模拟；势能梯度

AbstractThe stability problem of the equilibrium state of a body in a multi-body interaction system usually involves complex differential equations, which are difficult to analyze. To study whether the charge in a system composed of multiple point charges can return to the original equilibrium state after a specific disturbance, the electric potential energy field function in the space is established by analyzing the effect of each component in the system. Matlab software is used to carry out numerical simulation to calculate its potential energy and potential energy gradient, and draw the potential energy visualization image and potential energy gradient image. Therefore, the stability of the equilibrium state of each part of the system is simply judged in this way.

Key wordsequilibrium state; visualized modeling; gradient of potential energy

在三维空间的多体相互作用的孤立系统中，系统各组分之间作用力比较复杂，在通过受力分析和计算得到物体受力平衡后，判断其平衡状态稳定性通常需要确定微分方程的特解稳定性^[1-2]。本文使用软件Matlab绘制出可视化图像的方法，以一个多个点电荷相互作用系统为例，给出判断电荷平衡状态的稳定性的可视化方法的一些尝试。

1 问题描述

这个问题来源于教科书中的题目^[3]，题目内容是：如图1(a)，在正方形的顶点上各放一个电荷为q的带电体，若在正方形中心处放一个带电体Q₀，使系统中五个带电体受到的合力都恰为零，求中心处带电体的电荷量与电性。

对q₁进行受力分析如图1(b)所示，该系统满足如下方程组

到此为止我们很好地解决了一个教科书式的题目，几乎没有什么挑战。接下来教师提出了一个探究性的问题是：判断这些受合力为零的电荷处于何种平衡状态。在没有学习高斯定理情况下解决这个问题，涉及复杂的微分方程难以解析求解。我们尝试使用软件Matlab绘制出可视化图像的方法，寻求解决这个问题的方案。

将上文中各带电体视作点电荷，可抽象出一个理想多点电荷系统，该系统由四个带有相同电荷量的顶点正点电荷q_i (i=1,2,3,4)与一个带有相反电性的中心点电荷Q₀组成，且中心电荷Q₀带电量与顶点电荷q_i 带电量的比值已经解出。该系统在下文中称为“S系统”。为明确讨论我们建立如图2所示的坐标系，其中(a)图为建立的平面直角坐标系Oxy；(b)图为建立的立体直角坐标系Oxyz。

2 平衡状态稳定性的相关概念

经得起干扰的平衡状态是稳定的^[4]。虽然根据高斯定理，三维空间中并不存在这样的势能低点可以使得纯粹因为静电力保持平衡的电荷处于完全的稳定平衡状态（那意味着将能够找到电通量不为0且不包含电荷的闭合曲面），但是这样的系统面对单一维度下的扰动时，仍然可能出现受到与扰动方向一致回复力的情况，也即相应电荷在该方向上存在势能低点。倘若将电荷的运动限定在该维度下，可以称电荷处于稳定平衡状态。这种特定的“稳定平衡状态”并非没有意义，其概念和对应的相似概念可以详述如下：

（1) 稳定平衡状态：给予系统中某一物体微小初始扰动，使其偏离平衡位置，若其有返回平衡位置的趋势（即受力在扰动方向上的投影指向平衡位置），则称该系统处于这条扰动直线上的稳定平衡状态。

（2) 非稳定平衡状态：给予系统中某一物体微小初始扰动，使其偏离平衡位置，若其有远离平衡位置的趋势，则称该系统处于这条扰动直线上的非稳定平衡状态。

（3) 随遇平衡状态：给予系统中某一物体微小初始扰动，使其偏离平衡位置，若其既无远离平衡位置的趋势，也无返回平衡位置的趋势，则称该系统处于这条扰动直线上的随遇平衡状态。

前文已经提到，微扰过程中系统中某一物体的受力较为复杂且难以直接处理，我们可以通过建立空间中的电势能场，分析沿某条扰动直线方向上势能的变化以判断系统各组分的平衡状态稳定性。

我们研究的S系统由有限区域内的有限个点电荷组成，利用点电荷的电势能性质^[3]得出S系统某电荷i的电势可表示为

在下面的分析中我们设：S系统的顶点电荷带电量为1μC,正方形边长为2m，真空介电常数为8.85×10^-12F/m。

使用Matlab计算S系统某组分在空间各点的电势能，绘制出该组分附近空间的电势能分布与电势能场负梯度图，以此作为分析其平衡状态稳定性的基础。我们的讨论都在场源电荷固定的情况下进行，即除所研究的电荷外，其他电荷都视为场源电荷，都是固定的。

3 平面扰动分析

当电荷的运动被限制在Oxy平面上时，虽然通过受力分析的方式描绘力的作用仍然困难，但通过势能可以对平衡状态稳定性进行判断。

3.1 势能图像法的判定方式

系统S最初处于平衡状态，当作出某一个点电荷在部分空间中的势能图像时，如果图像在这一点凸起，则该点电荷一定处于非稳定平衡状态。若势能图像在这一点凹陷，则物体一定处于稳定平衡状态。如果得到其他的图像，则物体的平衡状态性质较为复杂，需要借助其他手段进行判断。

3.2 利用势能图像法研究平衡状态性质

在如图2(a)中建立的平面直角坐标系中,为了研究中心电荷Q₀的稳定性，我们作Q₀的电势能图像，如图3所示。(顶点电荷(i=1,2,3,4)为场源电荷)。

图像中看出势能图像上凸，所以无论电荷受到的扰动沿哪个方向，都无法回到初始位置，故此时中心电荷Q₀为不稳定平衡。

作顶点电荷q₁在图中所示空间的电势能图像如图4。(除q₁外其余四个电荷作为场源电荷)

与图3中的图像不同，图4中的图像整体上没有势能的极值点，这也就说明按照我们的定义在不同的方向上平衡状态的性质可能不同。

比如在以直线y=x（图5(a)）和y=－x+（图5(b)）所作的截面上，势能曲线前者凸后者凹，如下图5所示（电荷本身位置都在图中横坐标2处）。

我们通过势能曲线能够确定，电荷上段所述两个方向一个处于不稳定平衡，而另外一个处于稳定平衡。但是绘制势能曲线的过程中我们发现单纯对于平衡状态的判定而言，具体计算势能的大小并无必要，不同的势能曲线对应不同的稳定状态，这种方法难以找到存在稳定平衡状态的直线。除此之外，从势能曲线上很难再确定电荷的原本空间位置，不够直观。

3.3 通过电势能梯度判断稳定性

系统S最初处于平衡状态，当作出某一个点电荷在部分空间中的势能图像时，如果图像在这一点凸起，则该点电荷一定处于非稳定平衡状态。若势能图像在这一点凹陷，则物体一定处于稳定平衡状态。如果得到其他的图像，则物体的平衡状态性质较为复杂。虽然势能曲线的方式能构判断物体在特定直线上的平衡状态性质，但是这种方法也存在一定缺陷，需要借助其他手段进行判断。现在使用电势能梯度法进行判定。

在已经选定参考点的情况下，电势能E_p可表示为

即负电势能梯度等于点电荷所受的力，这提供了通过势能函数表示电荷受力的方法。所以通过电势能梯度对应的可以求出组分在某点的受力方向，当受力方向与微小位移方向重合并且指向初始位置时，可以判断物体的平衡在这一个扰动方向上为稳定平衡。

3.4 利用电势能梯度法验证顶点电荷q₁的稳定性

我们在下面利用电势能梯度法验证中心电荷的稳定性，作出Oxy平面上的顶点电荷q₁电势能负梯度图像如图6。

可以看出q₁在y=x方向上受力背离初始位置，故可以称q₁在y=x方向上处于不稳定平衡状态。

对于方向，直观看来受力并不指向初始位置，但如果将电荷的运动限定在直线这一维度，相应受力也应投影至该方向，不难发现q₁在方向上处于稳定平衡状态。

图中不同位置的受力情况可以通过势能曲面的图像来验证。倘若给出其他的扰动方向，如，我们则可以利用图6中被标出的另外两点确定该方向上的平衡状态为不稳定平衡。

3.5 利用电势能梯度法验证中心电荷Q₀的稳定性

我们在下面利用电势能梯度法验证中心电荷的稳定性，作出Oxy平面上的中心电荷Q₀电势能梯度图像如图7。

此图像显示中心电荷Q₀受到微小扰动后的受力情况将使其继续偏移原先平衡状态，所以其平衡为不稳定平衡。这与我们在前文中得出的利用势能图像得到的结果符合得很好。

4 空间扰动分析

在上面的讨论中点电荷只限定在Oxy平面里移动，如果是在三维空间中的扰动，情况更加复杂，此时就只能使用电势能梯度的方法进行讨论。

4.1 三维空间扰动分析方法

对于三维情况有

因此同样可以求解对应的三元函数梯度。

4.2对于中心电荷Q₀的分析

对中心电荷Q₀的电势能函数作出电势能梯度图像如图8。

通过受力分析知道中心电荷Q₀在z轴方向的扰动下受到回复力处于稳定平衡状态，偏离时会回到（0,0,0）处。这与从电势能梯度图像中得到的结论相同，这证明了电势能梯度的作用，图中可以得知受力的方向与微小位移量的方向正好相反。对于任何方向，都可以计算电势能梯度，并基于此对该方向上的稳定情况进行判断。空间中的势能梯度结果与3中的结论符合得很好，间接说明了讨论方法的正确性。

对于其余电荷可以进行类似的讨论。

5 方法总结

5.1 势能图像法

此种方法可以较为直观明确地判断某些平衡状态的性质。在第3节平面扰动分析中，我们利用平面上的势能图像对点电荷受力平衡的稳定性进行了讨论，中心电荷Q₀的讨论得到了较好的结果。但在对正方形顶点处电荷q_i (i=1,2,3,4)的讨论中得到的图像较复杂，从其中无法得出明确结果，说明该方法存在局限性，可以使用电势能梯度法进行进一步判断。

5.2 电势能梯度法

此种方法可以较为直观明确地判断某些平衡状态的性质。在第3节平面扰动分析中，我们利用平面上的势能图像对点电荷受力平衡的稳定性进行了讨论，中心电荷Q₀的讨论得到了较好的

结果。但在对正方形顶点处电荷q_i (i=1,2,3,4)的讨论中得到的图像较复杂，从其中无法得出明确结果，说明该方法存在局限性，可以使用电势能梯度法进行进一步判断。

在我们引入了电势能梯度这一工具之后，讨论变得更加深入，主要表现在：

（1) 可以对任意的扰动方向根据力的方向进行更精确的分析。

（2) 可以初步讨论三维情况。

此方法也存在一定的局限性：

（1) 数值计算可能导致计算结果与解析方法取极限结果有细微差别。

（2) 无法遍历整个空间，所以只能借之判断我们选择的某些方向上物体平衡是否稳定，不能主动寻找存在稳定平衡的方向，难以回答是否存在稳定平衡方向这样的问题。

（3) 相较势能图像法作出的连续形象的图像而言，电势能梯度法作出的图像稍显杂乱，需要研究者仔细辨别。

6 结语

使用高斯定理容易证明在任何一个静电场中都不会有稳定平衡点，除非这一点存在另一个电荷。将这个结论应用于本文的研究问题情境中，可以得到当一个电荷在静电场中可以自由移动时（三维空间）不存在稳定平衡情况。本研究利用Matlab绘制出可视化图像的方法，不仅得到相同的结果，还可以寻找到在特定的一维直线上存在势能的最小值的点，其意义在于如果我们可以设法将电荷仅限制（需要有非静电力）在这个维度上运动，可以找到一个稳定平衡的点，而稳定平衡在物理测量上具有重要意义。

参考文献

[1]刘秉正.非线性动力学与混沌基础[M].长春.东北师范大学出版社,1994:1-6.

[2]王高雄，等.常微分方程[M].3版.北京.高等教育出版社,2006:248-249.

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[4]文颖，曾庆元.平稳运动稳定性分析的位移变分法[J].工程力学，2016,28（4）：1-6.

WEN Y, ZENG Q Y. Stability Analysis Of Steady Motion Using The Displasement-based Variational Method[J]. Engineering Mechanics, 2016, 28(4): 41-43. (in Chinese)

通讯作者:  张萍，女，北京师范大学教授，研究方向为物理教育研究和科学教育研究，[e-mail]。

引文格式:  沈浩宇，吴峰瑀，卜泽雄，等. 可视化方法判断多点电荷系统中电荷的平衡状态[J]. 物理与工程，2021，31（6）：33-37.

Cite this article: SHEN H Y, WU F Y, BU Z X, et al. A discussion of charge equilibrium state in a multi-charge system[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（6）：33-37. (in Chinese)

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