能量法求解电磁力的理论基础

摘 要

为了证明磁场能公式适用于媒质运动的情况，在磁准静态条件下，推导了磁场力对运动媒质做的机械功率和感应电场对自由电流做的功率，验证磁场能量公式满足普遍情况下的功能关系。结果表明，对于磁各向同性的刚性媒质，磁场能与媒质运动和电流建立的过程无关，只与系统的状态有关。该结论为虚位移法计算磁场力或磁力矩提供重要的理论依据。

关键词 虚位移法；电磁力；电磁功率；电磁能量

AbstractIn order to prove that the magnetic energy formula is suitable for the case of medium motion, under quasi-static magnetic conditions, the mechanical power of magnetic force on moving medium and the power of induced electric field on free current are derived, and it is validated that the magneticenergy formula satisfies the general work-energy relation. The results show that for rigid media with magnetic isotropy, the magnetic energy has nothing to do with the movement of the medium and the establishment of the current, but only with the state of the system. This conclusion provides an important theoretical basis for the virtual displacement method to calculate the magnetic force or magnetic torque.

在很多电磁系统中，需要计算媒质所受的电磁力（或力矩），进而分析受力体的形变或运动。对于复杂系统的电磁力（矩）计算，通常采用虚位移法^[1]。其思想是基于功能原理，即外源提供的能量等于电（磁）力对媒质做的机械功与电（磁）场能的增量之和。其中，电场能的体密度为，磁场能的体密度为电磁场教材在推导电磁能公式时，都假设媒质静止不动，电荷（电流）按照特殊的方式建立起电场（磁场）。而用虚位移法计算电磁力（矩）时，假想媒质运动，上述电磁能公式依然成立。该方法的前提是，电磁能只与系统的状态有关，而与场源的建立和媒质的运动过程无关，但此条件并未经过严格论证。文献^[2]推导了媒质任意运动情况下的静电能公式，从中可以看出，导体和电介质做刚性运动时，系统的电场能公式成立，从而证明虚位移法求解电场力的正确性，但文中的方法不能用于推导运动媒质中的磁场能。本文提出磁场能公式适用于运动媒质的条件并进行证明，为虚位移法计算磁场力（矩）提供理论依据。

1 基本关系

如图1所示，一媒质的体积为V，表面为S(单位外法向矢量为n)，体内的磁感应强度为B，磁化强度为M。外部的空气域为V₀，磁导率为μ₀，其中的磁感应强度为B₀，体自由电流密度为J₀。

设媒质作刚性运动（即在运动过程中不变形），且运动速度远小于光速（即不考虑相对论效应），其上某一点相对于惯性系的线速度为V，媒质整体相对其质心的转动角速度为ω，满足以下两式^[3]

1.1 边值关系

媒质表面的磁感应强度B′为^[4]

设媒质体内的感生电场为E，媒质表面的感生电场为E′，空气中的感生电场为E₀。满足以下两式^[5]

1.2 功能关系

设载流体的最大长度为l，电流变化的最高频率为f，真空中的电磁波速为c，如果满足c/f≫l，那么载流体中的磁场可看成准静态场，即忽略位移电流的作用^[6]。如果只考虑磁场力对运动媒质做的机械功率P_M与感应电场对自由电流做的功率P_C，那么载流体外的磁场也可视为准静态场，这不影响载流体中的场分布。因此，当场点到源点的距离R趋于无穷时，B₀正比于1/R²，磁矢位A₀正比于1/R，感生电场E₀ =-∂A₀/∂_t正比于1/R，面元dS正比于R²，于是无穷远边界面S₀上通过的电磁能流正比于1/R，从而趋于零。

设媒质和空气内的磁场分别为H和H₀，下面证明

2 公式证明

2.1 磁场力对运动媒质做的机械功率

媒质体内和表面的总电流（即自由电流与磁化电流之和）密度分别为J和K。体内和表面的电流元所受的磁场力分别为(J×B)dV和(K×B′)dS。

磁场力对体电流做的机械功率P_MV为

磁场力对面电流做的机械功率P_MS为

2.2 感应电场对自由电流做的功率

媒质中的感应电场为感生电场E与动生电场v×B之和。媒质体内和表面的磁化电流密度分别为J_m和K_m，则体内和表面的自由电流密度分别为(J－J_m)和(K－K_m)。满足以下方程

2.3 总功率

磁场力对运动媒质做的机械功率(P_MV+P_MS)与感应电场对自由电流做的功率(P_CV+P_CS+P_CV0)之和即为总功率P。将式（25）、式（30）和式（31）相加并整理，得

2.5 功能关系的验证

比较式（33）和式（38），得

式（39）表示，磁场力对运动媒质做的机械功率与感应电场对自由电流做的功率之和等于磁场能的减少率。这说明，当媒质运动时，磁场能量公式满足功能关系，即磁场能公式普遍情况下成立。

不难看出，当空间内存在多种运动媒质时，以上证明方法同样有效。

3 结语

本文推导了磁场力对运动媒质做的机械功率和感应电场对自由电流做的功率，证明了磁场能量公式适用于媒质运动的情况。结果表明，对于磁各向同性的刚性媒质，磁场能与媒质运动和电流建立的过程无关，只与系统的状态有关。该结论从理论上保证了虚位移法求解磁场力（矩）的正确性。

参考文献

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[5]王一平. 工程电动力学[M]. 修订版. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2007.

[6]冯慈璋, 马西奎. 工程电磁场导论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000: 126.

基金项目:  福建省中青年教师教育科研项目（JAT190678）。

通讯作者:  骆超艺，男，厦门理工学院讲师，主要从事电工电子技术的教学工作，研究方向为电磁场理论及应用，[e-mail]。

引文格式:  骆超艺. 能量法求解电磁力的理论基础[J]. 物理与工程，2021，31（6）：38-41.

Cite this article: LUO C Y. Theoretical basis of solving electromagnetic force by energy method[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（6）：38-41. (in Chinese)

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