人文论坛|刘新文译：关于逻辑教育的一份指南

前言

昨天的教育并不能满足明天世界的需要。特别是，由信息革命引起的、人们对技术日渐增长的需求使人们觉得理解更多基本逻辑推理的原理变得越来越重要。符号逻辑学会（The Association for Symbolic Logic，ASL）建立于一九三六年，是一个致力于逻辑研究的世界性组织。经过仔细研究，ASL就逻辑教学采纳了下述指南和建议，目的在于保证所有人——科学家、人文学者、一般大众以及专业逻辑学家——都可以获得他们所需要的逻辑工具。本指南广泛拟定了应纳入到儿童、青少年和大学生等教育系统诸阶段的逻辑题材。对于各种学科的研究生阶段需要开设什么内容并没有讨论；这个问题对于具体院系传统及其教职员工的研究兴趣来说太专门了。

一、初等和中等教育

每个人都能够在某种直观的意义上区分出有效论证和无效论证。需能给出简单的有效论证，而在无效论证中发现逻辑谬误。当然，需要知道多少逻辑知识依赖于多方面的因素。例如，数学家大概需要精通这些技能，从而比手工业者具有更好的优势。

建议：在早年就提高和利用逻辑（即分析）推理。学习正确证明的概念以及通过反例来指出错误证明的方法应该越早越好。推行特殊的逻辑课程是没有必要，甚至是不可取的。相反，对有效论证和无效论证的识别应该是（数学、物理、生物和社会）科学以及更一般地来讲是人文学科教育的有机部分。毕竟，受过教育就意味着具备了把有效推理从无效推理中区分出来的能力。

5~9岁阶段：通过有效的、“刨根问底的”教育技术，以完全非形式的方式把关于“好的”和“坏的”论证的逻辑素材整合到其他材料当中。

10~13岁阶段：本着波利亚《怎样解题》（How to Solve It）的精神，着重于问题求解的启发式策略。初步识别出命题形式，表述相应的规则并且使用解释。给出一些在其求解中具有突出的逻辑成分的文字题。

14~17岁阶段：传授明显运用逻辑概念和技术以给出证明和反例等。数学课中都自然合适包含这些材料。

二、中等以上教育的初级阶段

建议：所有提供中等以上教育的教育机构都应该提供至少一门导论课以传授逻辑的基本概念。所以学生都应该鼓励去上这样一门课。这些课程应该包括下述内容：逻辑上正确的论证”的非形式概念；得到逻辑上正确的论证以及为错误论证找到反例的非形式策略；命题演算，以作为形式语言、形式证明以及自然语言论证的形式化的一个例子；证明真、以及反例之间关系的讨论，包括可靠性定理的讨论；命题逻辑的谓词演算扩张；如果时间允许，对完全性定理至少有一个非形式的讨论。评论：满足上述标准的课程由不同种类的院系针对各种不同专业的学生在各种环境中成功地得到了传授。哲学系通常为一般听众提供这类课程。数学系和计算机科学系则通常提供技术性更强的课程。

下面是一些建议性技巧以助于这些课程的成功：

1、最重要的是保证教师对逻辑有兴趣并且有良好的逻辑基础。2、在雷蒙德·斯穆里安宣传的非常著名的趣味逻辑题和智力题方面花一点时间。考虑对逻辑史中的某些主题作一些讨论。3、为可靠的和不可靠的推理提供一些贴近生活的例子。（至少在美国，这一方面可以包含那种在GRE——研究生入学考试——和LSAT——法学院入学考试——中通常发现的逻辑问题。）4、如果讲授形式规则，那么把它们作为非形式推理方法的一个数学模型而提出来。5、详细探讨一些从逻辑观念引发的应用知识，比如计算机科学。6、考虑使用一些已有的逻辑教学软件。逻辑本身只是提供某种材料，借助于计算机辅助教学手段，逻辑教学才会有好的效果。已有一些非常好的逻辑教学程序。

三、中等以上教育的高级阶段

就像其他知识研究领域，现在，逻辑有一个对声称精通这门学科的每一个人来说都必须掌握的“核心”内容以及大量其他内容。这个“核心”应该作为一门逻辑课程的主要成分提供给中等以上教育阶段高年级的所有学院。建议：这些提供中等以上教育阶段学习的教育机构必须另外提供一门课程或系列课程以涵盖下述逻辑主题：1、集合的初等事实（即二元关系、对角线方法、关于不可数集合存在的证明、可数集合的基本性质）。2、逻辑之中与归纳定义和归纳证明有关且到处存在的基本事实。3、命题演算和谓词演算（非形式论证的形式化、数学和科学中的公理化方法）。4、语义学（真和有效性、可定义性、可靠性定理、一致性概念、哥德尔完全性定理）。5、模型论导引（至少要有可数语言的紧致性定理以及一到两个应用）。6、哥德尔不完全性定理及其哲学和基础推论。课程的安排、教师的领域、学生和教师的兴趣等等，这些都将影响到课程格调、阐述方式、讲述重点以及补充题材的选择。然而，此处列出的基本逻辑关注点和逻辑结果对于许多科学和学术领域来说都是相关的并且可以应用到这些领域，需要在逻辑要点中得到考虑。这些核心材料是否由一门课程或者两门以上课程所涵盖取决于许多限定因素：比如说学生的背景和能力、课时的长短以及对各种主题所欲理解的深度。这些事项视各个地方具体而定。在这些核心内容之外，还有一些内容应该提供给所有学生。建议：这些提供高级阶段学习的教育机构还应该提供包含下述内容的课程：1、证明论导引（如自然推演、根岑基本定理Hauptsatz、Herbrand定理）。2、一些补充的模型论（例如，可数语言的Löwenheim-Skolem定理、稠密线序理论的可判定性、一阶逻辑中各种数学概念的不可表达性、算术的非标准模型）。3、一些补充的集合论（某个基数和序数算术、选择公理的讨论）。4、可计算性理论导引（能行可计算性的某个机器模型、Church论题；绝对不可解问题；有效式的不可判定性）。5、其他种类逻辑的导论。具体是哪些则取决于所在院系的兴趣。比如可以包括直觉主义逻辑、高阶逻辑、模态逻辑、时态逻辑、无穷逻辑以及子结构逻辑。6、逻辑在计算机科学中的应用导论（例如，联合算法和消解方法及其与Prolog的联系、演算及其与LISP的联系以及与计算的联系）。与前述建议不同的是，这里的顺序并不重要；这一建议也没有提议所有这些主题都要安排在之前所建议的或任何其他单门课程当中；当然可以开设新的逻辑课程以涵盖它们，结合不同院系的课程以涵盖这些主题有各种不同的方式。要强调的是，准备在数学、计算机科学、哲学、认知科学或者语言学中做进一步研究或从事这些方面的工作的任何学生都应该熟悉大多数这些内容。

作者 | 刘新文：中国社会科学院研究员

原载 | 《人文》集刊第八卷，中国社会科学出版社，2022年12月出版

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责任编辑：何莹莹

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