主题阅读：凯利公式

阅读文章的时候又看到了「凯利公式」，之前一直没太弄懂，市面上我能找到关于凯利公式的内容，也没有特别适合非量化股票投资的。于是花了两天时间，做了一个主题阅读。我认为这篇文章已经把凯利公式的大部分内容说明白了。

凯利公式（Kelly formula）也叫凯利标准（Kelly criterion）、凯利策略（Kelly strategy）或凯利赌注（Kelly bet）。最早见于约翰·拉里·凯利（John Larry Kelly）在 1956 年发表的论文《A New Interpretation of Information Rate》中。但发表了以后反响平平，后面 Edward Thorp 在赌场和投资上利用凯利公式获得了骄人业绩，凯利公式才开始家喻户晓。

面对一个期望收益率为正但每次盈亏随机的投资机会，如果你没有控制好仓位，很有可能遇到连续黑天鹅事件而「死在黎明前」。凯利公式就是告诉你每次用多大仓位去参与这样一个投资机会是最好的。

大部分的文章对于凯利公式的理解集中在「仓位管理」和「量化投资」上，这对我来说借鉴意义有限。而且，对于股市来说，由于凯利公式里面所有参数（获胜概率、获胜时和失败时的收益率）都是主观判定的，照本宣科使用凯利公式的意义不是很大，很容易出现「精确的错误」。

01

适合股市的凯利公式

凯利公式有多个版本。最常见的版本是简明版凯利公式：

其中： 为现有资金应进行下次投注的比例； 为赔率，等于收益与亏损的比值； 为获胜的概率， 为失败的概率，可知 。

这个公式又被称为「赌博公式」，更适用于博彩，因为这里假设，输掉意味着把押注的资金全部输掉。这个公式如果限定更加严格一些，将 限定为 1，即赚钱的时候本金翻倍，亏钱的时候本金亏光，那么会出现特定形式的凯利公式：

这意味着在这种情况下，胜率超过 50% 才建仓，仓位为 。

我看到有的人用上面两个公式讨论股市投资的问题，我认为是不妥的，因为：

1. 根据公式，不难发现，除非 ，否则 必定成立，也就是说永远不能满仓；

2. 输掉的时候，押注的资金全部输掉，和实际情况不符。在股市中，除非遇到财务造假或极端情况，才会出现股价归零的情况。大多数情况下，市场都给了投资者足够的反应时间，在归零前进行操作。

因此，更适合股市的凯利公式应该是简明公式的一般版本：

其中： 为现有资金应进行下次投注的比例； 为预期收益率； 为获胜时候的收益率， 为失败时候的亏损率绝对值； 为获胜的概率， 为失败的概率，可知 。

在这个公式中，可以发现：如果一个投资的预期收益率为负，那么永远不应该下注。

02

凯利公式是怎么得出的？

这个公式是如何推导出来的？如何理解推导过程？

公式的严谨推导可以看一下凯利的论文。我这里引述一下「求仁得仁」的简易版，更容易理解，但不严谨：

假设初始资金 ，胜数 次，收益率 ，败数 次，收益率 ，求最佳投资比例 ，使得 次投资后， 最大

胜：

败：

令 ，， 最大化即 最大化。最大化即一阶导数等于 0

又

可以看出，凯利公式的本质是求使得最终资金最大化的每次投注比例。

03

永不满仓 or 上杠杆？

在这个问题上，简明版凯利公式和通用版凯利公式得出了截然相反的两个结论：

• 简明版凯利公式：只要不是 100% 获胜，则永远不满仓；

• 通用版凯利公式：只要能够控制亏损，可以上杠杆。

关于通用版的杠杆率，我利用「人生万事屋」文中的例子：

如果一个标的，有 33.33% 的概率上涨，上涨预期收益率是 30%，同时设定 10% 止损，那么根据公式，最优仓位：

可以看出，这个条件并不严苛，可是因为控制了亏损，杠杆率一下子就上去了。

甚至在量化投资中，还有专门关于最优杠杆率的论述。

但是，正如塔勒布说的，这种归纳法的问题在于，在数学上忽视了小概率事件，而一旦杠杆爆仓，公式预期的结果就与你无关了。

对于上不上杠杆这个问题，我认为两个公式都没有给出特别好的解答，简明版公式太保守，而通用版公式又过于激进了。但简明版公式如果和我们的认知偏差结合起来，似乎结果会好一些。人生万事屋在文中提到：

我们用简明凯利公式用得很习惯的原因是「过度自信」，我们会把有 5% 概率发生的事情「自我包装和强化」成有 50% 概率发生，我们总是受到近因效应影响，困在自己的信息茧房里，并且把接收到的信息都当做是提高自己获胜概率的证据。这样的话，简明凯利公式的「保守」和我们过度自信的「冒进」就相互抵消掉了一部分，导致我们的整体仓位不轻也不重。

我觉得说的是有道理的，但这样来「中和」这个问题，有点过于随意了。

04

凯利公式的实际应用

就像在文中开头说的，对于股市来说，由于凯利公式里面所有参数（获胜概率、获胜时和失败时的收益率）都是主观判定的，因此照本宣科使用凯利公式的意义不是很大。

在诸多讨论凯利公式的文章中，孙说八道一定程度上解决了上述问题。

现在的公式里面有 3 个变量（获胜概率、获胜时和失败时的收益率），因此在实际应用的时候非常难用。孙说八道的方法是限定了股市中很难确定的概率。具体来说，就是通过调整获胜时的收益率和失败时的亏损率，将概率永远保持在 50% 。比如，如果你觉得一个股票上涨 150% 和下跌 10% 不是同等概率的，那么就调整收益率，例如调整为下跌 30% 和上涨 50%。这两个数字你认为是等概率的，那就用这个值。

此外，他还将公式进一步简化了。具体做法：

还记得在推导公式那部分， 次以后的本金 可以表示为：

那么预期回报倍数

可以简单理解为

在这个公式中，由于是一元二次方程，很容易求出最优仓位

最大的预期回报倍数

举个例子，如果你觉得一个股票上涨 50% 和下跌 30% 是等概率的，那么可以得出：

• 最优仓位：

• 最大预期回报倍数：

这样简化虽然很容易应用，但是仓位问题依然没有很好的解决。在这个模式下， 仓位还是非常激进的，对于实操而言不是非常现实。

怎么解决这个问题呢？我认为可以采用资金等分投资法配合使用。也就是说，将手头的资金平均分为几份去买多只股票，在每一份资金中运用这个简化版的凯利公式。只要股票没有明显的相关性，资金增长速度所能达到的极限，就是多个小份资金期望收益率的平均值。

在这种情况下，凯利公式就不再是一个仓位管理工具了（因为仓位已经被人为规定），而是一个投资组合预期收益率的计算工具。

05

凯利公式的思考：如何应对复利的脆弱性

回到凯利公式的推导过程，不难发现，凯利公式的理念其实是选择几何平均数的最大值的策略（《凯利公式的哲学：避开失败，类似成功》），而这个几何平均数就是复利公式中的复合增长率。

回顾一下复利的公式：

• FV：财富在未来的价值；

• PV：本金；

• i：复合增长率；

• n：重复的次数。

复利公式由于采用了连乘，且因为世界的随机性，本身是非常脆弱的（「全世界所有人的头发数量相乘是零，只要有一个人没头发」）。而且在漫长的复利积累过程中，连续性的实现非常困难。正如孤独大脑的主理人喻颖正所说：「时间并不是复利的朋友，更多时候是敌人」。

凯利公式背后的哲学思考是，它提供了一套应对复利脆弱性的方法。如何在随机性的世界中生存，才能做到既不出局，又不旁观？凯利公式告诉我们，每次都在现有本金的基础上投入特定比例而不是全部（考虑简明版凯利公式），这样反而能使复利最大化。

附录：主题阅读清单

• A New Interpretation of Information Rate