【老万谈音律】朱载堉首发平均律
上回书咱们说到托勒密用五限调音法革了五度相生律的命，造出托氏音阶解决了大三和弦有六百多年不好听的问题。但是托氏音阶也有不足，比如在小三和弦 246 里出现了五音和根音频率比 40:27 的辣耳朵的“狼音”。
听完纯五度和狼音五度的对比，我们可以发现纯五度非常稳定，而狼音是很不稳定的，一直象小蜜蜂一样嗡嗡嗡嗡地发抖。
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为什么会这样？要回答这个问题，我们需要先上一堂生动的物理课。
我们知道，声音是波。
两波相遇，波形就会叠加。
科学家们发现，频率接近的两个波叠加会出现有趣的现象。
比如，我们有一个每秒振动 100 次的波：
还有一个频率略高一些每秒 110 次的波：
这两个振幅稳定的波加在一起，有的时候互相加强，有的时候互相抵消，结果竟然是这样的：
它的振幅不再是一条水平线，而是随着时间一起一伏。不信的同学可以随便找一个制图计算器（比如 https://www.desmos.com/calculator ）验算一下。
振幅越大声音越响。所以，我们听到的音量就会有规律的一起一伏。
数学家们一计算，发现这个音量起伏的频率 g 和两个原始单音的频率 f1 和 f1 有一个简单的关系：
g ≈ ｜f1 - f2｜
频率接近的两个音在一起，会出现音量起伏的情况，而且起伏的频率约等于两个音频率的差，这个现象被叫做差频（beat）。
有同学要问了：狼音里面两个音的频率是 40 : 27 的关系，并不接近啊。为什么也会有嗡嗡响呢？
这是因为它们的泛音出现了差频啊！
40*2 = 80，27*3 = 81，所以这里高音的一阶泛音和低音的二阶泛音频率是很接近的，会出现差频。
这就是为什么我们说过泛音重合度高的音在一起和谐 - 如果泛音不重合就有可能产生差频。
我们可以看一看狼音的波形是什么样的：
是不是七扭八歪？
所以，托勒密音阶的小三和弦有差频，差评。
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托勒密音阶的问题不仅仅是在小三和弦中出现了刺耳的狼音。
还有一个问题，也是所有纯律的通病，就是不能随意更换调式。
什么是调式？就是一个音阶里音符排列的规律。
同样七个音，如果我们从里面选不同的音做一首曲子里最重要的音（主音），就会得到不同的声音色彩。比如，以 1（do）为主音的大调音阶 12345671，色彩明亮温暖。
这里相邻两个音的音程（音之间的距离）分别是：
1-2 大二度
2-3 大二度
3-4 小二度
4-5 大二度
5-6 大二度
6-7 大二度
7-1 小二度
所以大调音阶也可以表述为“大大小大大大小”。
用表格的形式描述每个音和前一个音的距离，就是：
| 唱名 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 |
| 距离 | 大 | 大 | 小 | 大 | 大 | 大 | 小 |
如果我们旋转一下这七个音，变成以 6 为主音，就会得到色彩阴柔的自然小调音阶：
| 唱名 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 距离 | 大 | 小 | 大 | 大 | 小 | 大 | 大 |
我们还可以用 2 做主音，得到听感接近小调但是有独特韵味的多利安调式：
| 唱名 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 |
| 距离 | 大 | 小 | 大 | 大 | 大 | 小 | 大 |
（提示：一个调式听起来像大调还是小调，取决于主音和音阶第三个音的距离，因为它决定了这个调的主和弦是大和弦还是小和弦。多利安调式的主音 2 到第三个音 4 是小三度，所以它属于小调调式。）
因为我们习惯了小调音阶以 671（la-ti-do）开始，多利安音阶听起来更象是：
| 唱名 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | #4 | 5 | 6 |
| 距离 | 大 | 小 | 大 | 大 | 大 | 小 | 大 |
所以，如果一首小调的歌里出现了 #4（升 fa）这个音，很可能是多利安调式。
大家熟悉的多利安调式的歌曲有齐豫的《橄榄树》（不要问我从哪里来），罗大佑的《滚滚红尘》（想是人世间的错）- 加粗的歌词对应的是 #4 这个音，是不是感觉特别？
好了，比如说我们的齐豫姐姐得了一台按托勒密音阶调音的钢琴，兴冲冲地要唱她的保留曲目《橄榄树》。
托勒密音阶在定音时保证的是每个音跟主音在一起都比较搭，不会难听。也就是说，每个音跟主音的频率比都比较简单：
| 唱名 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 频率比 | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 |
大家听一下托氏音阶里每个音和主音放在一起的效果：
除了 7 和 1（频率比15/8）在一起不太和谐，其它都可以。因为 7 和 1 没有同时出现在同一个常用和弦里，这个问题不大。
在这样一台钢琴上，如果我们改成以 2 做主音的多利安调式，大家可以计算一下每个音跟主音的频率比：
| 唱名 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 |
| 频率比 | 1/1 | 10/9 | 32/27 | 4/3 | 40/27 | 5/3 | 16/9 |
听一下每个音跟主音放在一起的效果：
第三个音 4（对主音的频率比是 32/27）和第五个音 6（对主音的频率比是 40/27，也就是狼音）跟主音放在一起都不好听。而 4、6 和主音 2 组成的是这个调式最重要的主小三和弦。这个和弦不好听问题就大了。
所以，托勒密音阶不能唱《橄榄树》，差评。
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除了不能换调式，托氏音阶和所有纯律一样，还让固定音高乐器无法转调。
等等，转调和换调式不是一回事吗？
不一样。
换调式，是在同样一组音里面选不同的音做主音，达到色彩的变化（比如从大调的明亮到小调的阴柔）。
转调，是把所有的音符升高或降低同样的距离（也就是把它们的频率乘以同样的倍数），达到方便演奏或是推进情绪的效果，但是乐曲色彩不会发生变化。
固定音高的乐器，比如钢琴，每个键只能发一个音。如果按 C 调的托勒密音阶调好音（以 C 为主音），就只能演奏 C 调的曲子。如果想把曲子升高一点，照 D 调演奏，对不起，还得请调音师把 88 个音重新调过。
要不，就在家里摆十二部钢琴，每部按一个调调音。
一般人都没有这么任性。
所以，托勒密音阶不能随意转调，差评。
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托勒密音阶把频率比的因子从 { 2, 3 } 拓展到了 { 2, 3, 5 }，解决了大三和弦不好听的问题。能不能顺着这个思路再拓展，解决托氏音阶的小三和弦问题呢？
美国有个作曲家杨大山（La Monte Young），不喜欢五限调音法里面 5 这个因子。他更喜欢7。所以他搞出来一套七限调音法，规定频率比的分子分母里只能出现 2，3，和 7 做因子，把中间的 5 生给去掉了。
老杨还用自己这套音律搞出来一首曲子，名字很直白：《调好音的钢琴》（The Well-Tuned Piano）。这不是挤兑别人都不会给钢琴调音吗！
老杨自诩调琴圣手，也颇有一帮拥趸。不过听他的曲子得先做好心理建设。
因为，它长达五个小时啊！（心疼听众五分钟......）
而且，杨氏音阶里居然出现了逆行。
本来大家说好音阶里的音都是从矮个到高个依次排的。但是大山不。他的钢琴上的 G# 这个音竟比 G 还要低。
那他为啥不把这两个音倒过来呢？我想是为了和弦的需要吧。
杨大山演奏《调好音的钢琴》
大家可以上油管听这首《调好音的钢琴》：https://youtu.be/VXxZCSAWUP8，感受一下它特有的听感。
这曲子好不好听见仁见智，不过因为过于标新立异，和大多数人的听觉习惯相去甚远，还是不能成为主流。
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五度相生法也好，五限调音法也好，所有纯律都有一个问题：转调之后的音高和旧调的音符无法重合，所以在固定音高乐器上无法转调。而且，不管你怎么安排，始终会出现一些常用和弦不好听的问题。
要彻底解决问题，只能把所有的音排成一个等比数列。
这样，转调之后每个音的频率都乘以相同的倍数，结果还是一个等比数列。
而且，所有的和弦都是平等的，不会出现某些和弦比其它和弦难听的情况。
比如，如果我们想要 N 个不同的音符，就从一个基本音出发，假定它的频率是 f，把 f 到 2f 的频率范围按等比数列划成 N 份：
f，k * f，k^2 * f，k^3 * f，..., k^N * f = 2f
（符号 k^m 表示 k 的 m 次方。）
也就是说，相邻两个音的频率比 k 等于 2 的 N 次方根。
且慢，2 的整数次方根它是个无理数啊！按照我们早先的理论，频率的比例要是简单的整数比才好听。这无理数能好听吗？
稍安勿躁。
人的耳朵不是精密仪器，好听不好听也是一个连续变化的区间。只要比例足够接近简单整数比，哪怕它其实是个无理数，我们也会觉得其实还行。
也就是说，为了转调的方便和消除某些刺头和弦，我们不惜和和稀泥，妥协妥协，把频率关系搞成无理数。
那么，N 多大合适呢？
大调音阶有 7 个音。我们取 N = 7 可以吗？
Too simple。
我们刚说过，大调音阶里相邻两个音的距离不是固定的，分大二度和小二度。根据观察，大二度大约相当于两个小二度的距离。
大调音阶构成是“大大小大大大小”的关系，五个大两个小。按一大顶二小的原则，一共相当于 12 个小二度。
所以我们可以试着把 [f, 2f] 的频率区间按等比数列分成 12 份，得到 12 个音，相邻两个音之间的频率比是 2 的 12 次方根。再从这 12 个音里按“大大小大大大小”的规律挑出 7 个音组成大调音阶。
这就是今天常用的 12 平均律。
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最早提出 12 平均律的，不是毕达哥拉斯或者托勒密的后代，而是一个中国人。他叫朱载堉。
老朱是 1536年出生的。那时候是中国的明朝。老朱家大业大，家里人占满了一张化学元素周期表。他爹叫朱厚烷，他有俩儿子叫朱翊锡，朱翊钛。朱元璋是他正经八百的八代祖宗。
老朱虽然出生富贵，但不喜啃老。他的时间都用在琢磨学问上了。
他对音乐颇有研究，对五度相生法不能随意转调颇有微词。
有一天老朱琢磨出了 12 平均律的道理，漫卷诗书喜欲狂。
不过，光有理论不够，还得拿出实际行动，算出来这十二根弦长应该是多少。
我们说过，质材和张力相同的情况下，弦长和频率成反比。所以，频率是等比数列相当于弦长是等比数列。
那时候没有电子计算器，怎么算 2 的 12 次方根？
老朱搞了个 81 串珠子的算盘，研究出了珠算开方的技术，硬是把 2 的 12 次方根精确地算到了小数点后 25 位！
据说这就是平均律发明人朱载堉。你要是说他是诸葛亮、李时珍或者杜甫我也同意。反正古人也就随便长长，美术家也就随便画画。
是不是很厉害？
不过，也不是完全不可思议。一上来就要硬开 12 次房方是冒进了，其实不需要。12 = 2*2*3 嘛，所以先开平方根，再开平方根，最后再开一个立方根就 OK 了。
老万推测，老朱十有八九就是这么干的。
我们看看，12 平均律和托勒密音阶吻合度到底如何：
| 唱名 | 托氏频率比（分数） | 托氏频率比（小数） | 12 平均律频率比（近似） |
| 1 | 1/1 | 1 | 1 |
| 2 | 9/8 | 1.125 | 1.1225 |
| 3 | 5/4 | 1.25 | 1.2599 |
| 4 | 4/3 | 1.3333 | 1.3348 |
| 5 | 3/2 | 1.5 | 1.4983 |
| 6 | 5/3 | 1.6667 | 1.6818 |
| 7 | 15/8 | 1.875 | 1.8877 |
看得出来，吻合度都在两个百分之内。这样的差别，人耳是可以区分的。这就是为什么杨大山这样的音乐家至今还不忘吐槽平均律，甚至有些人把当今社会的浮躁归因于年轻人听的 12 平均律音阶不够和谐。
不过，载堉哥虽然首发了 12 平均律的 paper，他的伟大发明并没有得到家乡父老的重视和应用。大概是因为中国传统音乐以单旋律五声音阶为主，不注重和声，对改进五度相生律的需求没有那么迫切吧。
几十年后，西方人又独立发明了 12 平均律。这一次，它得到了应有的重视。各种纯律因为种种缺点，逐渐退出了历史舞台。
现在，想要听听巴赫之前原汁原味的 do re mi fa so la ti，已经很困难了。
这个音律系列就到此为止了。下次咱们聊点别的。
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本文录音素材取自以下网站，特此感谢：
https://www.kylegann.com/tuning.html
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