反比例函数上的动点问题

破解反比例函数

我有秘密武器

小V是一位勤学好问的同学，他今年初二，马上就要升初三了！不过，下周他将面临初二的最后一次学情质量检测。他认为学校应多元评价学生，其中考试成绩也是一项重要的指标：它表面是对学生一学期学习的知识掌握情况的考察，实际是对学生平时学习态度（有无克服困难的毅力）、学习方法（能否及时调整学习策略、合理安排学习时间）及考试期间心理素质（是否拥有平和、积极的心态）等的综合考察。

他很认真的在准备这次学情质量检测！在复习的过程中，他遇到了一类棘手的问题，那就是反比例函数上动点问题的考察。于是，他向Aran老师请求帮助,Aran老师结合他的问题和疑惑，给他支了一个小妙招：构造相似模型！

小V还是个乐于助人的同学，他决定把他的收获分享给同样认真备考的同学！希望这些同学像他一样，为初二画上一个圆满的句号！

解析：当点A在第一象限反比例函数图像上运动的时候，它与坐标轴围成的矩形AEOF的面积。

因为∠AOB始终为90∘，我们可以构造“k”字型相似，即△AOF∽△OBN,因此利用相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）知：

小V从理论上接受了点B的轨迹是反比例函数第二象限的一个分支，但总感觉不够通透，于是我给他演示了它的轨迹！看后他瞬间秒杀了第2题！

解析：由1的解答我们可知点C运动的过程中，与坐标轴围成的面积是点A与坐标轴围成面积的倍，故

透过以上两题的分享，小V感受到了三角形相似的魅力：只要构造出两个相似的三角形，那么如果知道其中一组对应边的比值，即可求其他各边的比及面积比。

Aran老师听了小V的感触后，禁不住为他鼓掌：孺子可教也！于是决定出2道题目考考他，让他进一步感受相似的魅力：利用相似的性质（相似三角形对应边成比例）构造等量关系求参数。

解析：根据|k|的几何意义,我们只要知道点A或点C与x轴和原点围成的三角形的面积即可。（点击查阅：|k|几何意义）

4、如图,已知点A是反比例函数(x>0)的图象上的一个动点，经过点A的直线l交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点C. 过点C作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D. 过点A作AE⊥x轴于点E，交CD于点F，连接DE.设点A的横坐标是a.

(1)若BC=2AC,求点D的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)若OC=3，当四边形BCDE是平行四边形时，求a的值，并求出此时直线l对应的函数表达式。

解析：（1）由A点坐标可表示出AE的长，利用相似三角形的性质可求得CO的长，代入反比例函数解析式可表示出D点坐标；
（2）由条件可求得D点坐标，由平行四边形的性质可得△ACF∽△ABE，利用相似三角形的性质可求得a的值，则可求得A点坐标，由A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式．

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