微软公司面试题，虽然是小学奥数，却难住了很多名校毕业生（19年9月8日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第960天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

据网络传说来自微软公司面试，

解题所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）：

有2002个小球，分为红、白、黑3种颜色。每一次操作都从这些小球中取走颜色不同的2个小球，并放入第三种颜色的2个小球。请设计一种操作步骤，使对3种小球数量的各种组合，都可以在经过若干次操作后，将所有小球变成同一种颜色。

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

难点在于不同颜色的小球数量未知，

故应该想办法寻找小球颜色共性，

而题目中最明显的条件是2002个小球，

由于2002不是3的整数倍，

故尝试考虑小球数量除以3的余数。

总的解题思路是：

先考虑不同颜色小球数量除以3的余数，

看是否会有2种小球数量除以3余数相同；

再分情况讨论，设计操作步骤。

步骤1：

先思考第一个问题，

不同颜色小球数量除以3的余数，

是否定有2种小球数量除以3余数相同？

不同颜色小球数量除以3的余数有三种，

第一种是3个余数都相同，

第二种是3个余数都不同，

第三种是2个余数相同，另外1个余数不同。

任何一个数除以3余数都是0，1或2，

注意到3种小球数量之和是2002，

但2002不是3的整数倍，

显然第一、二种情况都不可能，

否则2002就变成了3的整数倍。

因此只有第三种情况才会满足题意。

这三种颜色小球数量只可能是如下形式：

第一类颜色小球为3a+p个，

第二类颜色小球为3b+q个，

第三类颜色小球为3c+q个。

其中a,b,c都是自然数,

p,q取值为0,1,2中的2个数。

步骤2：

再思考第二个问题，

当b=c时如何设计操作步骤？

这时第二、三类小球数量相同，

每次只需拿走第二、三类小球各1个，

并放入第一类小球2个，

则经过若干次操作后，

第二、三类小球一定会下降为0个，

一定会出现只剩第一类小球的情况，

这种操作步骤满足题意。

步骤3：

再思考第三个问题，

当b > c时如何设计操作步骤？

总的思路是先让第三类小球减小到0，

再让第二类小球逐渐减少到0个。

故操作步骤可以是：

先类似于步骤2的操作，

每次拿走第二、三类小球各1个，

并放入第一类小球2个，

若干次操作后第三类小球一定是0个。

此时第二类小球是3(b-c)个，

其余都是第一类小球，

由于b-c >= 1,

故第二类小球数量3(b-c)>= 3。

接着进行操作：

拿走第一、二类小球各1个，

并放入第三类小球2个；

再用2次操作，

拿走第二、三类小球各2个，

并放入第一类小球4个。

此时第二类小球是3(b-c-1)个，

其余都是第一类小球。

如果b-c-1=0，

则操作已经完成；

如果b-c-1 > 0，

只需继续重复上述操作，

若干次操作后，

第二类小球数量一定会减小到0，

最终只剩余第一类小球。

步骤4：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

考虑初始2002个小球的数量，

只可能有三种情况，

第一种情况是b=c，

已经在步骤2中给出操作步骤；

第二种情况是b>c，

已经在步骤3中给出操作步骤；

第三种情况是b<c，

可以模仿第二种情况的操作步骤，

把第二、三类颜色小球互换即可。

所以结合步骤2和步骤3的过程，

就是本题所需的操作步骤。

注：这道题很适合编程，

感兴趣的朋友可以自行画出流程图，

让孩子试着练习编程。

思考题（4星难度）：

原题目中改个数字，把2002改为2019。是否一定能使所有小球颜色相同？

微信回复“20190908”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

江湖传说：在右下角点个“在看”，您会变的更好看。

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