会做这道题的孩子，数学成绩一定很好（19年8月9日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第933天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

解题所用知识不超过小学4年级。

题目（5星难度）：

暑假里，小明参加了趣味数学夏令营，夏令营共有79个小朋友，其中有男同学也有女同学。晚上的时候，所有79名小朋友围坐成一个圆圈。相邻的3个小朋友中，只有1名男同学的有m组，只有1名女同学的有n组。小明说：m与n的差一定是3的整数倍。请问小明说的正确吗？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

如果要说明小明说的错误，

只需要构造出一个反例；

如果要说明小明说的正确，

需要给出严格的证明。

我们前面多次强调，

考试中碰到这种类型的题，

通常应该选择严格证明。

总的解题思路是：

为每名小朋友赋一个值，

然后考虑赋值后m,n的关系，

最后通过这个关系式得到答案。

步骤1：

先思考第一个问题，

如何为每名小朋友赋值？

题目中考虑的是3个相邻的小朋友，

想得到的是3的整数倍。

为每个男同学赋值为1，

为每个女同学赋值为0，

定义每个组的赋值是3名同学赋值之和。

则3个相邻的小朋友中，

如果都是男同学，

该组的赋值之和就是3；

如果都是女同学，

该组的赋值之和就是0；

如果只有1名男同学，

该组的赋值之和就是1；

如果只有1名女同学，

该组的赋值之和就是2。

步骤2：

再思考第二个问题，

在步骤1赋值的基础上，

考虑m,n之间的关系。

对围成圆圈的79名同学，

从小明开始顺时针编号，

分别编号为1,2,3,…,79，

假设他们的赋值为a(1),a(2),…,a(79)。

则全部3名相邻同学有79组，

第一组编号为1,2,3，

第二组编号为2,3,4，

……

第七十九组编号为79,1,2。

所有79个组的赋值之和是

[a(1)+a(2)+a(3)]+[ a(2)+a(3)+a4]+…+[ a(79)+a(1)+a(2)]

=3[a(1)+a(2)+a(3)+…+ a(79)]。

假设都是男同学的有p组，

都是女同学的有q组，

再由题意只有1名男同学的有m组，

只有1名女同学的有n组。

结合步骤1中每组的赋值结果可得，

3p+0+m+2n

=3[a(1)+a(2)+a(3)+…+ a(79)]。

由于等式右面是3的整数倍，

而3p也是3的整数倍，

因此m+2n是3的整数倍。

步骤3：

综合上述两个问题，

考虑原题目的答案。

由于m+2n=m-n+3n,

注意到3n是3的整数倍，

而根据步骤1的结论，

m+2n也是3的整数倍，

因此m与n的差也是3的整数倍，

所以小明的话正确。

注：赋值法是一种很巧妙的方法，

高斯曾用赋值法解决过一道难题，

另外本题中的赋值可以任意改的，

改为2个不相等的整数都可以，

感兴趣的朋友可以想想为什么？

思考题（3星难度）：

原题目改个条件。

暑假里，小明参加了趣味数学夏令营，夏令营共有79个小朋友，其中有男同学也有女同学。晚上的时候，所有79名小朋友围坐成一个圆圈。相邻的2个小朋友中，只有1名男同学的有m组，只有1名女同学的有n组。小明说：m与n的差一定是2的整数倍。请问小明说的正确吗？

微信回复“20190808”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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