高斯：这道有趣的题目，我找到一种巧妙的解法（19年6月17日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第882天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

解题所用知识不超过小学6年级。

据说大数学家高斯曾提起过这道题，

他说这道题非常有趣，

因为他找到一种巧妙绝伦的解法。

题目（5星难度）：

有一堆小石子，第一次分为12堆，第二次又重新分为15堆。请证明：至少有4颗小石子，第一次所在堆中的小石子数比第二次所在堆中多。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

乍看起来无从下手，

但高斯给出了一种非常巧妙的方法，

就是给每个小石子分配一个数值，

研究前后两次数值的变化。

这个分配的数值与分堆方法有关，

能反映所在堆中的小石子数。

步骤1：

先思考第一个问题，

每个小石子数值如何分配。

若某小石子所在堆中有n个小石子，

这个数值必须与n有关，

而且形成一一对应的关系。

为了用该数值判断n的大小，

这个数值必须随着n单调变化，

要么n越大，数值越大，

要么n越大，数值越小。

高斯的方法是令该小石子值为1/n。

由于n越大，1/n就越小，

故为判断题目的条件，

只需计算该数值从小变大的个数。

步骤2：

再思考第二个问题，

所有小石子的数值相加是多少？

若某一堆中小石子数为n，

则该堆中每个小石子数值都是1/n,

故该堆中全部小石子数值和是1。

第一次分堆分成了12堆，

因此第一次所有小石子的数值和是12；

第二次分堆分成了15堆，

因此第二次所有小石子的数值和是15。

步骤3：

再思考第三个问题，

考虑原题目的答案。

从步骤2的结论知道，

对所有小石子的数值之和来说，

第2次的值比第一次的值增加了3。

对单独一个小石子来说，

每一次的值都不大于1，

但都要比0大，

因此单独一个小石子增加的值小于1。

要使总的值增加3，

至少需要4颗小石子的值从小变大。

所以原题的结论成立。

注：高斯的这种方法叫赋值法，

与染色法的原理相同，

都是定义了一个映射。

思考题（3星难度）：

本题是北京大学2016年自主招生真题。

54张扑克牌排成一列，先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三章，将第四张放到最后，……。以此类推，最后剩下的牌是原先的第几张？

微信回复“20190617”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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