重庆市某中学小升初数学题，设了一个很大的思维陷阱（19年3月4日）

Original 九章学徒每天3道奥数题 2022-07-16

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第782天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

所用知识不超过小学4年级。

题目（4星难度）：

在一条笔直公路的沿线依次分布着51栋楼，从东往西数，第1栋楼和第2栋楼的距离是20米，第2栋楼和第3栋楼的距离是21米，第3栋楼和第4栋楼的距离是22米，……，以此类推，第50栋楼和第51栋楼的距离是69米。某公司的51名员工分别住在这51栋楼中，每栋楼住着1名员工。该公司准备在这条路上设一个班车停靠点，使这51名员工从所住楼门口到达停靠点的总距离最短。问班车停靠点应设置在什么地方？

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

题目中告诉了各栋楼之间的距离，

如果你以这个距离开始计算，

那就掉入了出题人设置的陷阱，

将会陷入繁琐的计算，

因为停靠点与各楼的距离无关。

下面将这些楼两两分组进行考虑，

分组方式为第1和51栋为一组，

第2和50栋为一组，

第3和49栋为一组，

……

第25和27栋为一组，

剩下的第26栋单独考虑。

步骤1：

先思考第一个问题，

如果只有第1和第51栋这两栋楼，

班车停靠点该如何设置？

对停靠点的位置进行讨论：

如果停靠点位于这两栋楼之间，

那不管停靠点在哪里，

停靠点到两栋楼的距离之和都不变，

等于这两栋楼的距离；

如果停靠点不是位于两栋楼之间，

那距离之和都大于两栋楼的距离。

因此停靠点应为两栋楼之间任一点。

步骤2：

再思考第二个问题，

若只有第1、2、50、51栋这4栋楼，

班车停靠点该如何设置？

根据步骤1的结论，

首先停靠点应在1和51栋之间，

注意到2和50栋在1和51栋之间，

类似于步骤1的讨论，

因此停靠点应在2和50栋之间任一点。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

类似于步骤2的讨论，

对上述分组的两栋楼分别考虑，

停靠点应在3和49栋之间，

停靠点应在4和48栋之间，

……

因此停靠点应在25和27栋之间，

其中任意一点都是可以的。

再考虑到第26栋楼之后，

为保证总距离最短，

所以停靠点应该位于第26栋楼。

注：今天的这种数学思维叫区间套，

这是一种非常简单但很实用的思维。

数学中大名鼎鼎的区间套定理，

以及求极限时经常使用的两边夹原理，

都是应用了这种思维方式。

思考题（3星难度）：

对原题改个条件：

在一条笔直公路的沿线依次分布着50栋楼，从东往西数，第1栋楼和第2栋楼的距离是20米，第2栋楼和第3栋楼的距离是21米，第3栋楼和第4栋楼的距离是22米，……，以此类推，第49栋楼和第50栋楼的距离是68米。某公司的50名员工分别住在这50栋楼中，每栋楼住着1名员工。该公司准备在这条路上设一个班车停靠点，使这些员工从所住楼门口到达停靠点的总距离最短。问班车停靠点设置的选址唯一吗？

微信回复“20190304”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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