是时候来一道真正的难题了（19年10月29日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第1010天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

所用知识不超过小学5年级。

题目（超5星难度）：

某小学共有498名学生，学号分别为1到498号。499是最接近500的质数。恰逢校庆，校长决定给每位同学的发一支红色或蓝色钢笔进行纪念。校长的想法有四条：

两个学号之和为499的同学，钢笔颜色相同；

两个学号之和为250的同学，钢笔颜色相同；

两个学号之差为250的同学，钢笔颜色相同；

红色与蓝色钢笔至少要发出去一支。

请问校长的想法能实现吗？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

要说明校长的想法能实现，

只需要构造出一种发放钢笔的方法；

要说明校长的想法不能实现，

需要给出严格的证明。

我们前面曾多次说过，

考试时碰见这类题大多选择严格证明，

这道题也不例外，

解题关键在于说明钢笔颜色相同。

由于题目中告诉499是个质数，

故应该想办法利用质数的性质。

总的解题思路是:

假设n是1到498之间的自然数，

考虑250n除以499的余数a(n)。

先考虑所有的a(n)是哪些数，

再考虑a(n)与a(n+1)之间的关系，

最后证明所有同学的钢笔颜色相同。

步骤1：

先思考第一个问题，

当n是1到498之间的自然数时，

所有的a(n)是哪些数？

由于499是一个质数，

而n的范围是1到498,

故250n都不是499的整数倍，

这说明a(n)的范围是1到498。

对1到498之间不同的自然数p和q,

由于250(p-q)也不是499的整数倍，

故250p和250q除以499的余数不同，

即a(p)和a(q)是不相等的。

因此所有的a(n)是1到498的所有数，

且所有的a(n)都互不相同。

步骤2：

再思考第二个问题，

当k是1到497的自然数时，

a(k)与a(k+1)学号的钢笔颜色是否相同？

由于a(k)是250k除以499的余数，

故存在自然数c,

使250k=499c+a(k),

即250(k+1)=499c+a(k)+250。

而由于a(k+1)是250k除以499的余数，

故存在自然数d,

使250(k+1)=499d+a(k+1)。

注意到a(k)与a(k+1)的范围是1到498，

对a(k)的范围进行讨论：

当a(k)<249时，有：a(k)+250<499，

则a(k+1)= a(k)+250，

此时a(k+1)与a(k)的差是250，

根据校长的第三条想法，

a(k)与a(k+1)学号的钢笔颜色相同；

当a(k)>=249时，

有：499<a(k)+250<499+250=749，

则499+a(k+1)= a(k)+250，

即[250-a(k+1)]+a(k)=499，

此时250-a(k+1)与a(k)的和是499，

根据校长的第一条想法，

250-a(k+1)与a(k)学号的钢笔颜色相同，

又根据校长的第二条想法，

250-a(k+1)与a(k+1)学号的钢笔颜色相同，

故a(k)与a(k+1)学号的钢笔颜色相同。

因此不论a(k)的取值是多少，

a(k)与a(k+1)学号的钢笔颜色都相同。

步骤3：

综合上述几个步骤，

考虑原题目的答案。

从步骤1的的结论知道，

当n是从1到498的所有自然数时，

a(n)就代表了所有的同学。

从步骤2的结论知道，

全部a(n)学号的钢笔颜色相同。

这说明所有同学的钢笔颜色都相同，

而校长要求两种钢笔都有。

所以校长的想法不能实现。

思考题（3星难度）：

原题目改个条件。

某小学共有499名学生，学号分别为1到499号。恰逢校庆，校长决定给每位同学的发一支红色或蓝色钢笔进行纪念。校长的想法有四条：

两个学号之和为500的同学，钢笔颜色相同；

两个学号之和为250的同学，钢笔颜色相同；

两个学号之差为250的同学，钢笔颜色相同；

红色与蓝色钢笔至少要发出去一支。

请问校长的想法能实现吗？

微信回复“20191029”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

同类题目链接：