上海交大数学冬令营数学题，让您孩子试一试（19年10月7日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第989天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

来自上海交大2008年数学冬令营，

解题所用知识不超过小学4年级。

题目（4星难度）：

30个人排成矩形，身高各不相同。把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b。

(1)a是否有可能比b高？

(2)a和b是否可能相等？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

要说明题目中的问题可能实现，

只需要构造出一种排队方法；

要说明题目中的问题不可能实现，

需要给出严格的证明。

我们以前多次强调，

考试中碰到这类问题，

大多是选择严格证明。

但这道题中有2个问题，

这时就需要提高警惕了，

通常的经验可能不太适用。

对第一个问题我们尝试严格证明，

对第二个问题尝试构造解决。

总的解题思路是：

先寻找a和b的联系纽带，

再比较a和b之间的大小关系。

步骤1：

先思考第一个问题，

a和b之间联系的公共纽带是什么？

a是所在列中最矮的，

b是所在行中最高的，

很自然的想到，

考虑a所在列与b所在行的交点，

把这个交点记作c，

则c是a和b联系的公共纽带。

注：即使c就是a或b也不影响。

步骤2：

再思考第二个问题，

a是否有可能比b高？

通过步骤1中的c进行比较，

由于a和c在同一列，

而a是所在列中最矮的，

故a不会比c高；

由于b和c在同一行，

而b是所在行中最高的，

故b不会比c矮。

从高度方面比较就有：

a<=c<=b,

因此a不可能比b高。

原题目的第一问是不可能。

步骤3：

再思考第三个问题，

a和b是否可能相等？

由于步骤1中c与a,b可能重合，

故不能得到a一定比b矮。

下面将构造一个a和b相等的例子，

构造的关键在让c与a,b都重合。

将这30人从矮到高编号为1到30，

排队方式为6行5列，

第一行：1，7，13，19，25

第二行：2，8，14，20，26

第三行：3，9，15，21，27

第四行：4，10，16，22，28

第五行：5，11，17，23，29

第六行：6，12，18，24，30

此时a=b=25,

所以原题目的第二问的答案是可能。

思考题（3星难度）：

小红告诉小明：隔壁三班至少有4个人在同一个月过生日。请问三班至少有多少人？

微信回复“20191007”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

江湖传说：在右下角点个“在看”，您会变的更好看。

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