清华大学自主招生数学题，只考思维不考知识的好题（19年10月16日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第998天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

题目来自2009年清华大学自主招生，

解题所用知识不超过小学3年级。

题目（4星难度）：

现有100个集装箱，每个集装箱装2个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸，并且所有物品被打乱顺序。问：最坏情况下，需要多少个集装箱再次把所有物品装好？

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

题目中蕴含了以下几层意思：

一是每个集装箱的大小都是相等的，

二是装物品时是按顺序装的，

三是每个集装箱都尽量装更多东西，

四是集装箱中物品大小可随意假设。

由于共有200件物品，

而且每件物品都比一个集装箱小，

故所需集装箱数量一定不大于200。

题目中问的是最坏情况，

故从200开始依次递减的顺序考虑。

为解题方便，

假设集装箱大小是201，

这200件物品大小分别是1,2,3,…,200。

未拆卸之前装箱方法是：

第1个集装箱物品大小为1和200，

第2个集装箱物品大小为2和199，

……

第100个集装箱物品大小为100和101。

总的解题思路是：

先考虑能否构造出需200个集装箱的排列，

再考虑能否构造出需199个集装箱的排列，

再考虑能否构造出需198个集装箱的排列，

不断依次递减，

直到构造出需要的配列即可。

步骤1：

先思考第一个问题，

能否构造出需要200个集装箱的排列？

这个问题比较简单，

考虑最小的物品，

不管它在哪个位置，

其相邻位置与它的大小之和都不大于201，

故这两件物品可以放入一个集装箱，

因此不存在需要200个集装箱的排列。

步骤2：

再思考第二个问题，

能否构造出需要199个集装箱的排列？

这时要构造出满足条件的排列，

就是要除大小为1的那件物品外，

其余任两件相邻物品的大小之和大于201。

故2只能和200相邻，

则第1个位置排大小为2的物品，

第2个位置排大小为200的物品，

3只能和199与200相邻，

第3个位置排大小为3的物品，

第4个位置排大小为199的物品，

……

最后物品大小排列顺序为：

2,200,3,199,4,198,…,100,102,101,1,

其规律是：

对前198件物品来说，

奇数位物品大小是2,3,4,…,100,

偶数位物品大小是200,199,…,102；

第199件和第200件大小为101和1。

则除最后2件物品可合装外，

其余物品都不能合装，

因此这种情况需要199个集装箱。

结合步骤1的结论可得，

最坏情况需要199个集装箱。

思考题（4星难度）：

原题目改个条件。

现有100个集装箱，其中有99个集装箱装2个物品，另有1个集装箱装1个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸，并且所有物品被打乱顺序。问：最坏情况下，需要多少个集装箱再次把所有物品装好？

微信回复“20191016”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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