原创 ‖ “我不是笨小孩” ——以“师徒年龄问题”为例
华应龙
【教学内容】
朋友圈中发现的“师徒年龄问题”。
从2018年1月27日开始，北京中小学放寒假，我30日去上海舅舅家。31日清晨，我躺在床上翻看朋友圈，发现一道台湾小学六年级的题，于是思考起来。
题目表达简单，内涵丰富，一师一徒，一问一答，一进一退，六个量中只告诉了两个量，真有难度。
这道“妙手偶得”的好题，何不与工作室伙伴们分享，于是我发出了“征集令”——
我工作室里的65人中有16位特级教师，都是小学数学教学的志愿兵，热爱数学、热爱学生、热爱思考。
“征集令”发出后，我追问：这真是台湾小学六年级的题目？我发微信给台湾的黄教授等朋友，向他们求证。
哦，是初中的题，那还差不多。
很快，工作室成员就私信给我他们的解答。异彩纷呈。
2月1日，儿子、儿媳安排我和夫人从上海飞香港。
飞机起飞前，我发出“颁奖令”——
臧欣老师是怎么做的呢？
这个方法看上去挺“笨”的，我为什么情有独钟？
现在的“问题解决”摒弃“繁、难、偏、旧”，那我们还需要“拿来”，和学生分享这么难的题目吗？目标是什么？追求什么价值？
但如果是“旧瓶装新酒”呢？
一道完全陌生的题摆在面前，学生束手无策，徒唤“我死活做不出来”“我找不到公式”“我没见过”......那，我们该不该教学生如何应对？追求“中国智造”，我们的学生将来就要面临无数没有解决过的难题，怎么办？为祖国培养未来人才的我们该怎么办？
学生真的“死活做不出来”吗？这道题中，师徒的年龄是不是就在5到71这一有限的区间内？愚公能移山，学生真去试试呢？是不是动手去试了，就会有“桃花源记”般的感慨？行到水穷处，坐看云起时。我们的学生在学习过程中是不是缺失体验“山穷水复，柳暗花明”的发现幸福？习近平总书记说：“幸福是奋斗出来的”，如果学生从小就没有体验过发现的幸福，他会奋斗吗？
记得史宁中先生曾经说过：
一个人的数学能力强，就是能在头脑中长时间地思考一个问题。”当下的我们的学生表现如何呢？是不是常常蜻蜓点水、浅尝辄止、畏难退缩？
大家都知道爱迪生怎么找到灯丝的故事，屠呦呦先生第191次尝试才找到“青蒿素”的故事，学生们知道吗？老天是爱笨小孩的，学生知道吗？拿到一道题，首先想有什么公式可用，本没有错。但茫然无绪呢？能静下心来思考，不希望一蹴而就，不企求一步登天。不对没关系，只要不放弃。这很重要。
这么一想，这节课非常有价值！
2月2日清晨，躺在香港酒店的床上，我继续思考，然后把思考和工作室成员分享——
1. 经历遇到难题，茫然无措，“投石问路”，柳暗花明的过程。
2. 初步学会“投石问路”的方法。
3. 体验到思考的乐趣、发现的喜悦，增强学好数学的自信。
了解爸爸妈妈、爷爷奶奶、姥爷姥姥的年龄和生日；百度成语“投石问路”“书读百遍，其义自见”的意思；百度刘德华“笨小孩”，看着歌词听听歌。
1个小些红色的磁扣，1个大些黄色的磁扣。1把米尺，比学生人数多10张的A4纸。实物投影仪。
【课中笃行】
师：请大家看这道题。
（PPT出示题目：“徒弟：师父您多大了？师父：我在你这年纪时，你才5岁；但你到我这年纪时，我就71岁了！请问：徒弟几岁？师父几岁？”）
师：这道题太有意思了。一师一徒，一问一答，一进一退，既简单又丰富，简直是妙手偶得之。你想试试吗？（全班点点头）
师：3分钟看谁能做出答案？独立思考，开始。（3分钟后）时间到了，有答案的请举手！
（有一位名叫雨桐的孩子把手高高举起）
师：大多数同学都还在思考，雨桐就已经有答案了，真了不起！掌声给雨桐。
（全班鼓掌）
师：（面向雨桐）雨桐，能不能先憋着不说？（孩子点点头）
师：有科学研究表明，能憋着不说的人，将来会更有成就。为什么呢？因为她心中有他人。我相信，雨桐一说大家肯定都明白。但是如果雨桐不说，就让我们自己有了思考、发现的机会，下次再碰到类似的问题我们也就会了。你们觉得是我们自己思考还是听雨桐说？
全班：我们自己思考。
师：让我们再一次把掌声送给雨桐，感谢她为了我们暂时憋着。（全班鼓掌）
师：孩子，刚才做这道题的时候你们碰到什么难处了？
生：我觉得可能思考的时间不太够，我方程列出来了，可是没解完。
生：我觉得题目意思没弄懂，列出来的方程可能不对。
师：我们题目没有做出来，肯定有很多困惑。像他们这样，敢于把自己的困惑说出来，非常好，向他们学习！（全班掌声）
师：你还有什么困惑？
生：题目读完了，但是我没有找到等量关系。
师：如果拿到一道题目，它的意思都没读懂，我们确实没法做。那我们要去理解题目的意思，该怎么办呢？（师竖着板书：书读百遍，其义自见）
（全班齐读）
师：你明白这句话的意思吗？
生：这句话告诉我们当我们不明白的时候把书多读几遍，其中的意思就自然显现出来了。
师：对！请你再多默读几遍师父说的话。
（学生默读）
师：读懂了吗？现在请你用自己的话和同桌交流一下。
（同桌交流约1分钟）
师：多读并交流之后，你明白什么了？
生：当师父是徒弟现在的年龄时，徒弟才5岁；当徒弟长到现在师父的年龄时，师父就71岁了。
师：看来这道题麻烦就在于师父不光有现在的年龄，还有过去和——
生：将来的年龄。
师：那徒弟呢？
生（齐）：也有过去、现在和将来三个年龄。
师：那是要我们求师父和徒弟的哪个年龄呢？
生：现在的年龄。
师：是呀！我们只有读懂了题目才能很好地去解答这道题目。让我们一起进入时光隧道（在黑板上用直尺画一条带箭头的直线）。在时光隧道里，现在、过去、未来可以来去自由。
师：你是不是真的理解了这道题目的意思呢？有一个很好的方法，就是举一个例子。比如说你今年多大，你爸爸多大？能不能算一算，你长到你爸爸那么大的时候，你爸爸多大了？
（生独立算）
师：同桌交流一下，看算得对不对？（同桌交流）谁来说说。
生：我今年12岁，我爸爸46岁。当我长到我爸爸那么大时，我爸爸就80岁了。
师：当你长大了，你爸爸就老了。（孩子们懂事地点头认可。）他算得对吗？请和大家说说你是怎么算的？
生：我爸爸和我的年龄差是不变的。当我长到我爸爸的年龄时要过34年，我爸爸也要大34岁，所以就80岁了。
师：刚才每个同学也都举了自己的例子。从中你发现了什么？
生：我发现了孩子和父亲增长的岁数是一样的。
生：我也发现了。孩子增长多少岁，父亲就会增长同样的岁数。
师：是的，你长他也长，年龄差是不变的。刚才题目没读懂，现在读懂了？（全班点点头）
师：刚才有同学说数量关系找不着，的确，这道题告诉我们的条件很少，只给了我们两个数：一个5，一个71。（师边讲边板书）
师：那5和71它们之间有怎样的关系呢？
（这时除了雨桐外，又多了两位同学举手。）
师：我看到了又有两个同学积极举手，其他同学，你们觉得呢？当我们找不到关系的时候，当我们没有思路的时候，怎么办呢？
关于这道题我起码有七八种解答方法，今天，我都不想和大家分享。我想教大家一个遇到难题束手无策、一筹莫展时，非常有用的方法。
（全班学生眼睛顿时绽放出渴求知识的光芒。）
师：（静静地在黑板上方写下课题：投石问路）什么方法？
全班：投石问路。
师：“投石问路”这个成语的意思知道吗？
生：在晚上走路的时候先扔一颗石子探一下路面平不平？看看会不会有水塘或者其它什么。
师：为什么你要强调是在夜晚走路？
生：因为白天是看得见路的，只有晚上看不见，所以才要投石问路。（全班掌声）
师：说得真形象呀！那么在这道题目里面5和71之间到底是怎样的关系呢？我们现在不知道。（出示一颗磁珠）我这儿有一颗小一点的磁珠，代表的是徒弟现在的年龄。你觉得应该把它摆在哪儿？
生：5的右边。
师：（出示一颗稍大一点的磁珠）这颗代表师父现在的年龄，你觉得应该放在哪儿？
生：71的左边。
师：（老师有意把两颗磁珠摆得很开）很好！我们不清楚它们之间的关系，如何“投石问路”呢？我先来做个示范。你们看——
（师再画一根带箭头的直线）
师：（边说边板书）既然我们都不知道徒弟和师父现在的年龄，我们就投个石子，随意先假设一个。比如：假设徒弟现在22岁，师父现在32岁。（直线上标出点并板书：“现徒”、“现师”）请问当师父是徒弟这么大的时候，徒弟多少岁？
生：12岁。
师：12岁怎么算出来的？
生（七嘴八舌）：用32减22等于10，再用22减10等于12岁。
师：这个12岁是指什么？
生：徒弟过去的年龄。
师：（板书“过徒”）那当徒弟长到师父的年龄的时候师父多少岁？
生：42岁。
师：这个42岁是指师父——（生：未来的年龄）
师：（板书“未师”）孩子们，你们瞧，我现在投出去一颗石子，对了吗？（生摇摇头。）不对没关系，只要不放弃。我们能发现12和42之间的关系吗？
（有几个反应快的同学发出一声“哦——”）
师：（示意那几个反应快的同学把手先放下）孩子，投石问路就像游泳一样。我们在妈妈肚子里就会游泳了，但是出生之后，一直不游就不会了。现在想游，还得花钱去学。孩子们，你能不能学着我的样子，试着投出一颗石子，找找它们之间的关系？
（学生在草稿本上独立尝试。约2分钟后）
师：都投石子了吗？下面请前后4个同学交流一下。
（约2分钟后）
师：请xx同学到前面来，带着你的例子和大家说说，你投出了怎样的石子？
生：（边画图边讲）我假设徒弟今年31岁，师父今年51岁，那么当师父是徒弟这么大时，徒弟只有11岁；而当徒弟长到师父这么大时，师父71岁。
（全班自发鼓掌。）
师：还有谁愿意上台来和我们分享你投出去的石子？
生：（边画图边讲）我假设徒弟今年32岁，师父今年59岁，我算出他们的年龄差是27岁。所以当师父是徒弟这么大时，徒弟就是5岁；而当徒弟长到师父这么大时，师父86岁。
（全班点头鼓掌）
师：我们投石是为了什么？
生：问路。
师：对！投石问路的关键是什么？
生：问。
师：是呀！投石的目的是要问路，也就是要找出它们之间的关系。（在“石”字和“路”字下方画圈。）问什么呢？什么变了，什么没变？有什么规律？我还能发现什么？
（师边说边在“问”字下方画两条实线，中间再画一条虚线）
师：（指着板书）其实，地上本没有路，走的次数多了，就有了路。
（学生们会心地笑了。）
师：现在，大家能从这些例子中，发现什么变了，什么没变？（手指板书12和42，11和71， 5和86，再指5和71。）上看下看，左看右看，独立思考。前后四人交流一下。
（约2分钟后）
师：孩子，发现了规律吗？找到“路”了没？（生跃跃欲试）（师静静地竖着写下板书：题试三回，定能生慧）怎么发现“路”的，谁能讲一讲？
生：（到台前，指着板书讲）我们看第一个例子，22岁和32岁，年龄差是10。12和42之间相差30，30里有3个年龄差。再看第二个例子，31岁和51岁的年龄差是20。11和71之间相差60，60里也是有3个年龄差。再看第三个例子，32岁和59岁的年龄差是27。5和86之间相差81，81里还是有3个年龄差。由此，我们可以得出5和71之间也是3个年龄差。
（同学们自发的掌声。）
师：讲得真好！你觉得这两颗分别代表徒弟和师父现在年龄的磁珠是否需要调整？该如何调整？
（请一位男生上台移动磁珠，使之三等分。全班点头赞同。）
生：（自言自语）我还是不明白为什么是3个年龄差。
生：（台上的男生就势边摆边说）我们在下面交流的时候看出，“现师”到“现徒”有一个年龄差。从师父现在的年龄到师父未来的年龄是加上了一个他们之间的年龄差；从“现徒”到“过徒”是减少了一个他们之间的年龄差。也就是说，从5岁到71岁之间一共要经过3个这样的年龄差。
（全班报以热烈的掌声。）
生：（自发地呼应）这就相当于植树问题。4个点，有3个年龄差。
（一女生径直上台，拿起粉笔在“现徒”上方写“过师”，在“现师”上方写“未徒”。）
（教室里再次响起热烈的掌声。）
师：现在你们会做这道题了吗？
（全班同学使劲点头。请学生独立完成，师下台巡视，收集学生作品）
师：（边展示学生作品边说）我很惊奇地发现，很多同学的方法都如出一辙，难道真是英雄所见略同？
生（神气地）：嗯！
师：你们都一样吗？（全班点点头）
师：掌声送给自己！要知道你们刚开始的时候，个个都很茫然，现在可都是英雄哦！
师：（走到雨桐身旁）华老师有个疑惑，为什么雨桐一开始就做出来了呀？让你憋了这么久，真难为你了，现在你可以解密了。
雨桐：（摸摸头，怪不好意思地）其实我之前学过这样类似的问题，然后一眼就看出来了。
（全班哄笑。）
师：让我们用掌声感谢雨桐的诚实！（全班鼓掌。）雨桐原来就会，实在对不起，这节课让雨桐白上了！
雨桐：（睁大眼睛，很认真地说）不，我很有收获，学到了遇到难题时很有用的方法......
全班：（附和到）投石问路！
师：试想，如果一开始雨桐就说出答案，我们是不是就没有机会感受到这份发现的快乐了？
（全班微笑、点头。）
师：让我们再一次把掌声送给不肯剧透的雨桐！（全班鼓掌。）
师：问问自己（PPT出示：“我是一个笨小孩吗？”）（大多数学生说“是”，也有学生说“不是”）
（PPT再出示：“投石问路的方法笨吗？”）（全班同学说“不笨。”）
师：傻瓜都会的方法，真笨！孩子，其实，越是“笨”的方法越简单、越有用。投石问路，心中有数。心中有数，无限美好。有数了，有什么好？方便我们算出来。那，对于现在的我们来说，重要的是什么？
（师在课题的“投”字下方加“ ”。）
以后呀，如果自认为“笨”的小孩肯坚持使用这种“笨”的方法，他会聪明起来，他就可以自豪地大声说：我不是笨小孩！（PPT再出示：“我不是笨小孩！”然后，PPT上三句话中“笨”“笨”“不”“笨”变成不同颜色，凸显出来。）笨笨不笨！因为我们相信——
（PPT出示：“不对没关系，只要不放弃！”）
（出示屠呦呦图片）认识她吗？屠呦呦。我国自然科学领域第一位诺贝尔奖获得者。知道她是凭什么获得诺贝尔奖吗？（青蒿素。）她是一下子就找到青蒿素的吗？她深信：不对没关系，只要不放弃。她甚至在自己身上投石问路。第191次尝试，她成功了！（出示《屠呦呦传》图片）感兴趣的同学，课下可以读读《屠呦呦传》。
（刘德华的歌曲《笨小孩》渐渐响起，最后定格在“老天爱笨小孩”。PPT自动切换到“下课啦！”孩子们微笑着还想说什么，久久不愿离去……）
本实录由江西省南昌市东湖区百花洲小学胡健老师整理
【课后明辨】
学生们离开教室时，一步三回头：“华老师，您真厉害！”“投石问路真好，一道难题迎刃而解。”“我不是笨小孩！”“笨笨不笨。”
其实，我心里还愿意有学生说：
为什么我精心编撰的一句话，没有给学生留下深刻的感受呢？或许就是副产品吧，不必念念不忘，不必立竿见影。
20年前，我在《小学生数学报》发过一篇文章《不妨先动笔算一算》。这节课也算是一个回响。
课上完了，听课老师们反响热烈，都是夸我的。
这节课，并不是主要讲怎样解决这道难题，而是讲怎样找到解决难题方法的方法。这节课，并不是锦上添花，而是雪中送炭。那么，“投石问路”的方法学生掌握了吗？不得而知，课上并没有相应的题来巩固和检测。为什么不安排一道新题呢？
研究这节课之初，我还想现场用师生年龄来编一道类似的题。后来想，那就陷到“师徒年龄问题”中了，不是巩固方法的。
下面是我们大陆初一下册数学练习册中的题——
学生在解决这道题时，就是小菜一碟了。还用“投石问路”吗？不用了。这可以从反面说明什么时候才用“投石问路”。
得是一道全新的题，学生束手无策时，才能凸显“投石问路”之妙。
这样的题真不好找。
2018年3月30日凌晨5点多，我在朋友圈中又看到一道妙题。您说我是多么地幸运！“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫。”
我在脑子中求索。
“有了！”
真好，“投石问路”就是好！
我再和同事们交流。5分钟，10分钟……都没有老师给我答案。
“逗你玩？”
是，数学本来就是玩具。
如此看来，如果把这道题给现在的学生，并不能在有限的时间内，让学生很理想地感受到“投石问路”的好玩之处。
屠呦呦的故事可以拿来，既是彰显“投石问路”的美妙，又宣传了我国科学家的贡献。不再用爱迪生找灯丝的故事，也是一种与时俱进。
“投石问路”，其实就是举例，就是尝试，是我给出了一个好玩、有意思的名字。把未知假设成已知，进而研究已知与未知之间的关系，只有这一途径吗？能否假设年龄差？对学生来说，哪个更好？
数学家之所以能在工作中攻克一个又一个的难关，一个重要方面是他们能够将问题在各种各样的数学表达方式间灵活转换，这些数学表达方式包括符号、语言、图形、表格、图表等。恰当的表达形式更有助于将问题引向最佳“解决路径”上面。这节课的表达方式是我拿出来的，数轴是最好的吗？
对于孩子而言，“投石问路”就像“游泳”一样，真是这样的吗？如果让学生自己下水“扑腾”，会不会效果会更好一些呢？不过，话又说回来，所有的东西都让学生自主学习，就一定好吗？我认为，这也是可以思考的。反正，凡事绝对了，就不好。
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