原创 ‖ 从一分为二到一分为三 ——以教学《找次品》为例
从一分为二到一分为三
——以教学《找次品》为例
北京第二实验小学 华应龙 执教
北京市史家小学 刘伟男 整理
“找次品问题”是经典的数学智力问题，细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂。《找次品》一般安排在五年级下册，是选择了比较简单的一类作为例题，即“若干个外表完全相同的零件，已知其中一个是次品，次品比正品重一些（或者轻一些）。使用一架没有砝码的天平，至少几次就一定能找出这个次品？”这样的课不好上，常常是草草收兵。
第一，目标太多。这节课综合了操作、观察、猜想、验证、归纳、推理等活动，再加上其内在规律的隐蔽性，一堂课下来，学生们一头雾水，教师也被绕得头昏脑涨。最惨的是一节课就想让学生体会优化策略、记录推理过程，懂得化归思想，进而形成统计表格、观察表格、发现规律。
第二，心太急。这节课可以讲的内容很多，小学生该学些什么？优化的策略，将待测物品分成三份去称，是最主要的吗？应该直奔这一主题而去吗？太直接，太功利，一定会缺失了情趣，少了沿途的风景。
第三，不甚明了。有的讲课老师对“找次品问题”的思想方法说不清道不明，只知道“分3份”，进一步的知道“尽可能平均分成3份”；有的老师知其然但不知其所以然。以其昏昏岂能使人昭昭？
如果开始不出示“至少称几次就一定能找出次品来”，还难吗？“至少”和“最少”是有区别的，“至少”包含了“最少”，比“最少”多的也行。但在这类题目中，用“最少”行吗？是否不伤害这道题的价值？
难在理解题意？图示表达怕不是这一教学内容主要要去关照的，是否“随风潜入夜”就好？图示方法也是五花八门，什么样的图示比较好？是9（3,3,3）→（1,1,1），还是2015年启用的新版教材上的？
学生要经历一系列严谨而缜密的推理过程，需要长时间去思考一个问题，这可能是学生未曾经历的。因为原来解决问题，一般只需要一步、两步，现在有七步、八步之多。“花开两朵，先表一枝”的分类讨论，也是学生初次邂逅。
难在逻辑推理？我思考操作的价值——
这节课需要学生动手操作吗？需要实物天平吗？需要模拟天平吗？新版教材上的活动有价值吗？
这对于没有见过天平，身边又没有天平的学生无疑是有意义的，可以帮助理解天平原理。这对于见过天平的学生，是不是对天平原理也是进一步地明晰？
但如果真用天平来称，会不会因为天平的质量、实验的误差等方面的因素导致教学时间的耗费以及实验结果的不准确，反而干扰了正常的课堂教学。（苏振希.抓住数学本质，提升数学思维水平.《小学教学设计》.2012，6）
这节课是用天平“称次品”还是用天平原理“找次品”？天平在这节课中，是不是以一种抽象的数学化的形式存在于学生头脑中更好？因为一旦拿一架实物的“天平”进行试验，就不会出现“如果平衡......那么”“如果不平衡......那么”的情况，而只会出现其中的一种。（丁国忠.浅谈“找次品问题”中多维目标的落实.《小学数学教师》.2011，（1-2））
磁珠、数字卡片、扑克牌都是很好的学具，有这些“道具”拿在手上，学生更容易“入戏”，那么还有没有可能存在更好的学具？
我思考待测物品的数量——
要积累“找次品”的活动经验，一定是多次“找次品”，那么待测物品的数量该以怎样的次序出现？大家研究中，待测物品的数是3，5，8，9，27....为什么没有2，4，6，7？
一位老师开课提出在“2187瓶中有1瓶是次品”的问题，让学生猜测，然后3瓶、5瓶、9瓶、27瓶地研究，最后解决从2187瓶中找1瓶次品，只要7次，进而感慨“数学思考的魅力”，确实漂亮！但是，先繁后简再繁的教学结构是否让本已不堪重负的《找次品》雪上加霜？
“治大国如烹小鲜”，是否不要翻来覆去，而是抓住一个简单的，好好回味、咀嚼，品悟出其中的奥妙，这样更利于“并不玲珑”的学生接受？因为把“找次品”编入了普通教材，就不再是“数学精英们”的游戏了，而是飞入寻常百姓家的小燕子。让孩子们都能喜欢，是值得追求的。
不少课都是从3瓶中有一个次品开始研究的，那么我要问为什么不研究2瓶中有一个次品？没有价值吗？只怕是没有联系起来思考。
不少课是“3—5—9—8”的次序，自有存在的道理，但总觉得不美，给人凌乱的感觉。是否“3—5—8—9”，更有序，更舒服？为什么要躲“8”呢？天平有左右两个托盘，分成2份找次品是不是最自然、最朴素的思考？2015年启用的新版教材例2就是“8个零件中有1个是次品”，编者是怎么思考的呢？可惜的是我现在还看不到新版教材配套的教参。
我思考教学目标——
“任凭弱水三千，我只取一瓢饮。”用心观摩了10多节《找次品》的现场课，竭泽而渔地搜索60多篇有关《找次品》的文章之后，我制订的《找次品》第一课时教学目标是——
1. 会“一分为三”地解决简单的“找次品”问题。
2. 会用“如果...那么”“接下来…中找”数学地思维。
3. 发展想象力，积累数学活动经验，感受数学的魅力。
（课前播放一组跷跷板图片，背景音乐是《跷跷板真好玩》。）
师：同学们笑得很灿烂！请问，你认识他吗？（出示比尔盖茨图片）
生齐答：比尔盖茨。
师：关于比尔盖茨，你能简单地介绍下吗？
生：比尔盖茨是一位首富，一位慈善家。
师：说得好，掌声给她！
生：比尔盖茨创建了微软公司。
生：比尔盖茨十八岁就考进了哈佛大学，后来他休学，离开了学校，开了家公司。
师：对，这个公司就叫——微软公司。你知道他为什么取名叫微软吗？不知道？我知道。他为什么叫微软呢，他特别喜欢一个中国人（屏幕出现：老子图片），老子说：“上善若水”，最高境界的善像水一样。比尔盖茨非常喜欢老子，因此他公司的名字就取名“微软”，为什么呢？软不好，硬不好，微软挺好。
众生先是惊讶，后是微笑。
师：（微笑着）孩子们，打开练习本，请翻开新的一页，在最上面写上你的名字，一个字大约1平方厘米。如果你觉得哪个字我会读错，请帮我在上面写上拼音。
众生又笑。
师：老师和你一样，也会错的。孩子们，我还知道微软公司在招聘员工的时候出过这么一道题，你想看吗？
（大屏幕出示：假定你有81个乒乓球，其中只有1个球比其他球稍重。如果只能利用没有砝码的天平，请问你最少要称几次才能保证找到稍重的球？）
师：大家非常认真看题，景致非常美。独立思考，请把你的答案写在练习本上。（教师巡视、记录。）请三位同学做代表交流——
生1：我的答案是80次。称80次后，最后一个不用称了。这样才能保证。
生2：40次。天平上有两个盘子，一个盘子放一个球，40次就行。
生3：我的答案是1次。因为题目中说的是“最少要称几次”，一个盘子放40个球，平衡，剩下的那个球就是重球。
师：听了三位同学的回答，你是不是觉得要解决这个问题，首先要明确用没有砝码的天平怎么称？（出示天平图）
生：两个盘子都要放球。
生：可以一个盘子各放1个，也可以多放几个。
生：把同样数量的球放到两边称，这样子，重一点就可能有那个球。
师：说得好不好？掌声！其实，天平就是个跷跷板，可能平衡，也可能不平衡。当不平衡的时候，那个重球在哪儿啊？
众生：下面。
师：对，下沉的那边。下沉的那边就有重球。如果天平平衡，那么重球在哪儿？
众生：一样的，没有重球。
师：没有重球？哦，你是说这里面没有重球。那重球在哪儿？
生小声：在底下，下面。
师：真好，真好！也就是说，用没有砝码的天平去找那个重球的话，会有三种可能，是不是？第一种可能——在左边，第二种可能——在右边，第三种可能在——
生：不在上面，在旁边。
师：说得好！左边、右边、旁边。再回想三位同学的回答，你是不是觉得要解决这个问题，还要想清楚究竟是从运气好的角度考虑还是从运气坏的角度考虑？你能不能从题目中找到依据？
生：要从运气好的角度考虑，因为题目中有“最少”。
生：要从运气坏的角度考虑，因为题目中有“保证”。1次是最少，但是不能保证。
生：我想补充一下，是一直在“倒霉”的情况下，又要追求称的次数最少。
师：同学们太棒了，我佩服不已！现在，你回过头来看，这道题，差错就是一种提醒。我标上颜色的这些词儿是不是都挺重要的？（课件中把“只有”“稍重”“最少”“保证”四个词标红。）
（全班学生频频点头。）
师：那究竟最少要多少次，才能保证把重球找出来呢？这个问题确实有点难，81个球太多了。你有什么好方法吗？
（学生们面面相觑。）
师：请看屏幕——（课件出示老子头像和“天下难事，必作于易”。）
生齐读：天下难事，必作于易。
师：碰到难的事情，怎么办？从容易的开始研究。琢磨了，找到方法了，找到规律了，然后就可以解决那个难的问题。
1.从2个球中找：明确“程序”
师：你觉得，最简单是从几个球中去找？
不少学生：1个。
师：1个？
生：只有一个，就不用你找了，因为只有1个重球。
生：2个。
师：请问（出示2个磁珠），两个球中只有一个重球，怎么用没有砝码的天平把它找出来？
生：就是天平的每一端都放一个球，然后看哪一边往下沉，那个球就是稍重的。
（学生说时，教师板书。学生说完，大家给掌声。）
师：确实说得特别清楚：怎么放球，看到什么，得到什么结论。那位同学能再说一遍。
生：天平的两个盘子里各放一个球，可能不平衡，下沉的那个球就是稍重的。
师：“不平衡”这个词用得好！并且，她的回答提出了一个好问题：是可能不平衡，还是一定不平衡？
生：可能不平衡。
生：一定不平衡，只有1个是重的。
（众生点头。）
师：明白啦？一定会不平衡。不平衡，下沉的那个就是重球。称几次就找到啦？
生齐答：1次。
2.从3个球中找：强调“可能”
师：好！（出示3个磁珠）请问，3个球中，只有一个重球怎么把它找出来？
（学生纷纷举手。）
师：七八个人有想法了，同桌交流一下。
生：3个球的话，先摆2个在天平上，如果是平衡的话，那就把一个球拿下来，再放上第3个球，那个重球就可能在第二次的其中一个。
师：他称了几次？
生：2次。
师：有没有不同意见？
生：我觉得只要称1次就行了。因为一个盘子放1个球，另一个盘子放2个球的话，2个球的是轻球，1个球的是重球的话，天平就会平衡起来。所以，一边只有一个球的就是重球。
（很多学生鼓掌。）
师：大家的掌声表明赞同他只称一次就可以了，有没有不同意见？
生：我觉得他说得很好，但是如果那两个轻球不等于那个重球怎么办？
（课堂寂静，投入思考。）
师：好问题！一个盘子放2个球，另一个盘子放1个球，平衡了，那是运气好。如果不平衡呢？刚才理解题目的时候，我们没讨论“稍重”，（面向称1次的男孩）你那个重球已经不是稍重了，你那个重球已经是正常球的两倍了。是不是？
（全班同学点头称是。）
师：是稍微重一点点，就不会出现他所说的情况了。他的答案虽然错了，但是让我们理解题目中“稍重”的重要性。掌声感谢他！你是怎么称的呢？
生：一边放一个球，如果不平衡，那么下沉的就是重球；如果平衡了，重球就是没有放进去的球。
（学生说时，教师板书。学生发言完毕，全班热烈掌声。）
师：既考虑了平衡，又考虑了不平衡，思考得真全面！（板书：“如果…那么”）用上了“如果…那么”，表达得真清楚！你能用上这两个词，和同桌说一下吗？
（见贤思齐，学生们说得兴致勃勃。）
师：3个球中只有一个稍重的球，最少几次保证能称出来？（有学生说“2次”，有学生说“1次”。）是啊，（指板书）是2次啊。
生：那是两种可能，只称了1次。
师：（装出恍然大悟的样子）我听懂了，大家都明白了。把3个球中是2个球分别放在两个盘子里的时候，可能平衡也可能不平衡。但，不管平衡和不平衡，都是只要称一次，就能找到了，是吧？
（学生们使劲点头。）
3.回头一看：突出“推断”
师：（微笑）请看——（指板书，如下图）你有问题吗？没问题？谁能提出好问题。
生：为什么球的数量增加了，称的次数还是一样的？
师：好问题！你是我的知音，我想的也是这样的问题。琢磨一下，为什么呢？为什么3个球，还是称1次就行？
（学生讨论之后）
生：因为，3个球称了2个，如果是平衡的，那么外面的那个百分百就是重球了，所以你不用再称第二次。
师：“百分百”用得好！也就是说有推断在里面，所以只要称1次。厉害，厉害！如果平衡的话，第三个球能推断出来是重球；如果不平衡呢？
生：重球就是下沉的那个。
师：外面的那个球还要称吗？
生：不要。
师：能推断出来，外面的球怎么样？
生：是轻的。
师：轻是相对于重而言，也就是说那个球是正常的球。为什么能推断出来？因为题目说了“只有一个稍重”。用没有砝码的天平来找重球，会有三种可能，有可能在第一个盘子，有可能在第二个盘子，还有可能在第三个盘子。这么想来，天平有几个盘子？
生齐答：2个。
师：看上去是2个盘子，实际上有几个盘子？
生齐答：2个。
师：哈哈哈，好好好，现在看是2个盘子，有意思的事在后面。
4.从4个球中找：崇尚“开放”
师：继续来，接下来想研究几个球中找？
生：4个。
师：好！谁来说？
生：一个盘子里各放2个球，一定不平衡。接下来，从下沉的2个球中找，一个盘子各放1个球，还是不平衡，下沉的那个球就是重球。
（学生说时，老师配合板书。完毕，全班同学热情鼓掌。）
师：想得明白，说得清楚！她用上了这句话，真好！（板书：“接下来从…中找”）这样，称几次找到的？
生齐答：2次。
师：还有不同的找法吗？
生：先拿2个球，一个盘子各放1个，平衡。再称另2个球，一定不平衡，下沉的就是重球。一共称了2次。
（大部分同学给掌声。老师示意：“有补充吗？”）
生：先拿2个球，一个盘子各放1个，还可能不平衡。如果不平衡的话，1次就找到重球。
师：两人一合作，就圆满了。以后就一个人说了，这表明我们思考问题很全面。这样称，有1次，有2次的。那么，最少称几次，才能保证找到？
生齐答：2次。
师：1次的，为什么不选？
生：那是运气好，不能保证。
师：这么看来，4个球中找出重球，可以有不同的方法，但最少要称2次。
5.从8个、9个球中找：“巩固”中着力“化归”
师：接下来，多点吧，从8个球中找，好吗？怎么找？
生：每边放4个，因为8个当中只有一个是重球，所以一定不平衡。下沉的那边肯定有重球。接下来就是把重的那4个继续称，每边放2个……
师：真好，谢谢女孩，谢谢你!这其实让我们探讨一个问题，接下来是……从4个中找，怎么找？大家可以一起说吧!
生齐答：每边放2个,一定会有一边下沉。
师：很好，“一定”这个词用得好！一定不平衡，重球在——
生齐答：重球在下沉的那边。接下来就是从2个里面找……
师：好，称几次肯定找到？
生齐答：3次。
师：赞同！这样的找法，能不能说得简单些？省略一些话？
（学生们不明所以。）
师：我打个比方。学校带领大家到新博物馆参观，你不知道回家的路怎么走。校长告诉你从新博物馆到学校怎么走；接下来，从学校回家的路，还需要校长说吗？轻车熟路，不用赘述。那你看，接下来从4个中找，是不是已经研究过了，还需要一步一步地说吗？
不少学生：哦，明白了。从4个中找，要2次，一共就是称3次。
师：对！接着，请问，9个球中有一个重球，怎么找？独立思考后小组交流。
生：也是称3次。先每边放4个球，还有一个放在旁边。如果是平衡的，那么放在旁边的就一定是重球了。但如果是不平衡，接下来就是从4个中找。从4个中找，刚才研究过了，要称2次。这样，一共要称几次？
生齐答：3次。
师：好极了，小老师做得好！有补充吗？
生：如果平衡的话，只称了1次。
生：那是运气好的情况，不算。
师：我欣赏这样的对话！还有没有不同的称法吗？
生：先每个盘子各放3个球，还有3个球放在外面。如果平衡的话，重球就在第三个盘子里。
师：“在第三个盘子里”，说得好！
生：如果是不平衡的话，重球是在下沉的那个盘子里，接下来也是从3个中找。从3个中找，已经研究过了，再称1次就行。这样，一共称几次啊？
生齐答：2次。
师：掌声奖励！（指着板书）同样是9个球，一种称3次，一种称2次。请问，称2次是不是也是运气好的情况呢？
生齐答：不是。
师：为什么不是运气最好的情况呢？
生：因为它是分成3个在一个盘子里的，不管平衡还是不平衡，接下来都是从3个里找，所以这是确保是2次的。
师：同意吧？掌声！也就是说，当我们不是把9分成（4，4，1），而是平均分成（3，3，3）的时候，就不会——次数少，1次，那是运气好，不算；运气不好的，次数又多了，3次——而是不管平衡还是不平衡，都是2次能确保。
6.回马一枪，凸显“第三个盘子”
师：（指板书——8个球，3次；9个球，2次）有问题吗？这么多人能发现问题，真棒！没发言过的人，手闪一下。
生：为什么球的数量变多了，次数反而变少了呢？
师：好问题！为什么？
生：其实，8个球也是可以用2次称出来的。
师：从8个球中找，最少2次也能找出来？你暂且不说，好不好？让其他同学也想想。
（发言的男生自豪地点点头。）
师：真好！心领神会，心心相印，掌声给他！有研究发现，能憋着的人，因为心中有他人，更容易成功。请大家都琢磨一下，8个球，怎么2次把重球找出来？可以在脑子里面想，可以在纸上想。请最后面的女生——
生：每边放3个，外面还有2个。如果平衡的话，那就是外面2个中有一个是稍重的；如果不平衡的话，那接下来就是从3个中找。不管从2个中找，还是从3个中找，只要1次就可以了。这样一共只要称2次。
（全班响起热烈的掌声。）
师：你真是一个很有智慧的女孩，掌声再次给她。第一次发言就能赢得我们两次掌声，非常棒！我们掌声继续给开始不明白，现在经过自己努力搞明白的人，你们是进步最大的人！
师：现在，我们知道了8个球中找，最少2次就能称出来了。原来我们研究8个的时候没再琢磨一下，会不会有其他的可能呢？所以我非常欣赏那个男孩，那个男孩当时举手了，我只是想让全班同学都经历这个过程，所以我没请他回答，他那会儿就憋着了，手已经放下去了，掌声再次给他。你是我的托儿，真好！
（老师冲那位男生竖起大拇指，全班长时间掌声。）
师：孩子们，现在我们来分析，为什么同样是8个球，有的最少称3次，有的最少称2次？你发现这两个称法不同在哪？
生：第一个称法是两边都放4个球，第二个称法是两边都放3个球。放球的个数不一样。
生：因为一个盘子里放球的个数多的话，比较的次数就会多。
生：第一种只用了2个盘子，分成了4个和4个，第二种他用了3个盘子，分成了3个、3个和2个，因为3个和2个都只用称一次，所以他的次数就会少了。
师：非常好的回答！看来，妙就妙在用上了第三个盘子。这第三个盘子是虚拟的。看到第三个盘子，高明；用上第三个盘子，就是高手。再看9个球时，为什么平均分就好些？是不是它充分地用上了第三个盘子，而不是把零头放在第三个盘子里？
（学生们频频点头。）
师：现在，我们要分小组讨论，要从那么多球中去找到稍重的球，方法是怎样的？
（小组讨论后——）
生：要用上第三个盘子，分成3份。
生：用平均分的方法。
生：还有一点补充，要充分利用第三个盘子。因为如果平均分的话，像8，2个4也是平均分，但次数却比（3，3，2）要多。
生：首先天平上球的数量一定要相等。其次，三份要尽量地平均分。
师：为了让全班同学能明白，我们一起来看——（课件出示下图）
（不少看完的学生情不自禁地“哦”了一声。）
师：既然如此，我们接下来就琢磨从81个球中怎么找？
生：把81平均分成3份，27,27,27。
师：（板书：27 27 27）一开始有同学说的（40，40，1）为什么不好？
生：从最不好的情况考虑，接下来就要从40个里面去找。而上面的称法，只要从27个里面去找。
师：一语道破！赶快琢磨，这样分的话，最少几次能找到？
生：分成（27，27，27）的话，不管平衡还是不平衡，接下来都是从27个中找。把27再分成3个9，不管平衡还是不平衡，接下来都是从9个中找。从9个中找已经知道了，最少2次。那么就是2+2=4，就是4次。
（掌声。）
师：现在有答案了，能去应聘了吗？（学生们信心满满）请回头看一下，自己开始写的答案（有学生不好意思捂住本子，有学生伸出舌头做鬼脸），我好奇：比尔盖茨为什么拿这道题来招聘？回想这节课，你能找到答案吗？
生：他可能是考验应聘的人员知道不知道充分地用上第三个盘子。
师：天平有两个盘子，大家都知道，但你要能看到虚拟的第三个盘子。能看到别人看不到的就是水平。
生：因为比尔盖茨最崇拜中国的老子，老子说过一句话：“天下难事，必做于易”。天下有很多难事，但是要做出来的话，要从最简单的开始做起。
生：看应聘的人能不能全面地思考问题。
师：说得好！所谓全面地思考问题，是既要考虑平衡，也要考虑不平衡；既要考虑运气好，也要考虑运气坏的时候。如果一个人总能从最坏的情况考虑事情，那么他一定胜券在握。
生：比尔盖茨要招聘办事效率高的人。
师：是的，这是数学上著名的“找次品”问题（板书课题“找次品”）。找次品，找次品，找几个有意思的次数慢慢来品。品出了什么呢？（课件再次出示课始的老子图片，老师示意学生读图片上方老子的话）
生齐读：道生一，一生二，二生三，三生万物。
师：孩子们，世上的事物往往都是一分为三的。上，中，下；左，中，右；好，中，差；大于，小于，等于；正数，负数——
生齐答：零。
师：质数、合数——
生齐答：1。
师：过去，现在——
生齐答：未来。
师：软，硬，微软。
（大家都开心地笑了。课件先后出示：“感谢您的微笑！”“下课啦！”）
【板书设计】一节课上下来，非常享受！我估计学生有难处的地方，学生就确实难住了；我想蒙混过关的地方，学生就让我的计谋得逞；我计划让学生总结全课，学生就要言不烦，一语中的。心心相印的感觉真迷人！
有老师问我：“为什么不研究5个、6个、7个？”这是我舍去的。因为5个、6个、7个，不能彰显出第三个盘子的价值。这样称或者那样称，保证找到的最少次数没有变化，因此，方法的优劣就无从说起。还有一个原因，就是一节课时间的限制。
有老师问我：“为什么不研究待测物品个数和最少称的次数之间的规律？”这是我舍去的。因为规律不重要，重要的是找规律的过程。也就是我们不要给学生“金子”，而是要给学生“点石成金的指头”。所以，我请出了老子的“天下难事必作于易”。还有一个原因，就是如果要揭示规律，那么就要研究更多的待测物品个数，那样就要用更多的时间。在时间有限的情况下，囫囵吞枣，我不愿意。
有老师问我：“您的板书为什么上面是磁珠，下面是数字？”这种记录方式是我创造的，开始的设计都是数字。试讲后，施银燕老师建议我，满黑板的数字太呆板，换成磁珠既有变化，又直观。我采纳了。
“找次品”只是个数学游戏，建立一个数学模型，不能当真的。81个乒乓球，只有一个稍重，4次就能保证用没有砝码的天平称出来？不可能。因为一个盘子根本装不下27个乒乓球。我们看到的有“口香糖”情境，请问少了2颗的口香糖就是“次品”了？
我也追问：“到底什么是找次品？”一个周六的中午，我突然悟到——“找次品”就是找几个有意思的次数慢慢来品，品出方法，品出道理，品出趣味，品出一分为三……
因为我懂得，最简单的往往最深刻，所以以前上这节课大都是从“3个”开始，而我从“2个”开始研究。因为我知道，“一分为二”是西方哲学，“一分为三”是中国哲学。能“一分为三”地思考问题，就不会“非黑即白”地绝对，而会用心地寻找“中庸”地带。因为我早就读过庞朴先生的专著《一分为三》，读过田茂先生的《似与不似——“三”的哲学智慧》。当时读，不知道现在可以用。肯读无用的书才能有用武之地。这是我从这节课中体悟到的。
我还追问了：“人们为什么看不到第三个盘子？”我自以为也找到了答案：因为第三个盘子太大了。当一个东西太小或太大时，我们都会看不到。我也请张洪叶徒弟做出了课件，从无穷远处聚拢来一只虚拟的第三个盘子，停顿在与两个实有的盘子并列的位置，3秒后再扩散开来，以至于看不见。这要不要给五年级的小学生？
我校著名校友成思危是中国风险投资之父，他告诫人们：“不要把所有的鸡蛋都放在一个篮子里。”这句话与解决“找次品”问题是相关的，都说明要从最坏的角度考虑，尽量平均分才能比较好地规避风险。因此，我请美术老师朱楠男创作了一组连环画——
这又增加了新的环节，整个教学流程要宕开一笔。不过，虽说是节外生枝，但有利于突破这节课“尽量要平均分”的难点；虽然朱老师画得很传神，但是学生由于缺乏生活经验，看图会意都需要时间。纠结。这组连环画，到底该不该加？
我再思考，请大家赐教！
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