华应龙：阅兵中的数学故事
华应龙
一
2015年9月3日，我国首次举行了以抗战胜利为主题的盛大阅兵。接到“9.3”阅兵观礼的通知，我喜不自禁，“漫卷诗书喜欲狂”。能够现场见证这一伟大的时刻，我无比自豪。
我该做些什么？我能做些什么？我要做些什么？
看报纸、看电视、闲聊中……我就特别关注阅兵话题。
有了思考，就发现了一些有趣的数学问题。
9月2日晚，我们参加观礼的代表集中住进了宾馆。我兴奋，一夜没睡好，一直在兴奋的中国梦里……梦里坦克轰隆隆开来，醒来才知道是空调微风发出的声响……
9月3日，我在天安门广场聆听习总书记的讲话，热血沸腾，心潮澎湃！习大大的讲话字字铿锵，令人振奋，非常提气！今天的世界仍然很不太平，这提示我们只有万众一心，凝心聚力，提升综合国力，才能赢得世界的尊重和和平。
只有我们教育工作者以高度的文化自信和文化自觉，立德树人，诲人不倦；只有我们每一个学生都饱满爱国情怀，葆有健体强心，富有创新精神；只有我们的祖国从伟大胜利走向伟大复兴，我们才能自豪地屹立于世界民族之林！“己所不欲，勿施于人”，习总书记宣布中国“永远不称霸”；“靡不有初，鲜克有终”，我们一定将“中国梦”坚持到底！
我与学生分享“阅兵中的数学问题”，并不是要他们现在就能解决这些问题，而是在积累一种感觉，播下一粒种子，懂得要练好数学的“童子功”：发现问题的基本功、提出问题的基本功、分析问题的基本功、解决问题的基本功。阅兵中的数学问题，实际生活中的数学问题，并不像数学课本中的数学问题那样简单、直接，但又是以课本中的数学问题为基础的。解决问题的关键是要有思路，顺着思路，再去寻找对应的数据。
基于以上的定位，我想：这节课不能让学生觉得数学问题真可怕。
翻看人教版教材，例题中没有追及问题，过桥问题倒是有，放在五上总复习的思考题中。五年级上册“简易方程”中安排了一道相遇问题，但重点是分析数量关系，列方程解决问题。相关的练习中有这么一题：两艘轮船同时从上海到青岛，18小时后，甲落后乙57.6千米，已知甲的速度，求乙的速度。这和追及问题很像。总复习最后一题星号题是较复杂的相遇问题：长跑比赛，跑到离起点3千米处折返，已知最快和最慢的速度，求几分钟后两人相遇，距离折返点多远。
这一看，就明白了，我想和学生研究的阅兵中的数学问题在课本上都有原型，但都是思考题性质的。而思考题不是要所有学生都掌握的。怎么办？如果课上大部分学生都没有思路，那感受到的是什么？怎么办？如果课上总是那一两个“明星学生”说，也不是我的愿景。怎么办？
突然来了灵感：如果把课题改为“阅兵中的数学故事”，感觉就会不一样。学生都是喜欢听故事的。什么是“数学故事”，那就是有关数学问题的故事，我的叙述，可以顺其自然地给学生引领。
做出一系列“数学故事课”，这是张奠宙先生在2008年听完我的《游戏公平》后，指导我应该去做的。
阅兵中真实的数据带来的计算量较大。“每分钟112步”，带来的是除数是三位数除法，用还是不用计算器？还是用计算器好，这方面的基本功本可以适当弱化，学生有计算器在手，可以有更多的尝试，也可以节省一些时间。
和本校六年级数学老师多次研究之后，有了下面的分享——
二
1.分享“阅兵感受”师：9月3日，你看阅兵了吗？（看了！）感觉怎么样？
生（七嘴八舌 ）：雄伟！壮观！震撼！兴奋！酷！
师：上完今天这节课，当你再看阅兵的时候，感觉可能会不一样。你信不信？我们拭目以待。
师：这节课和大家一起分享三个故事。
（ppt出示故事名称）
生（边读边小声地笑了起来）：破解51之谜，为了神圣的那一刻，当坦克踩上俄军的脚跟。
师：看到题目就想笑，感觉很好玩是不是？（学生点头）
师：一起来看第一个故事。（停顿）看完下面这段文字，你有什么问题吗？（ppt出示报纸图片）
生：女兵为什么是51名呢？
师（开玩笑地）：你就像我的托儿！我看报纸的时候，也有这个疑问：咦，怎么会是51名呢？真奇怪！（停顿）想象一下，51名女仪仗兵怎么排？（板书：想象）
生：我想51是可以被3整除的，所以可以分3排，每排有17名。
生：我觉得51名女兵里面有一个可能是将领，其他的50人可以按照一排10人，一共5排排列。
生：我看阅兵的时候发现，有的队伍是两名将领，所以可以按照“七七四十九”排成一个方阵。
师：同学们想象出不同的排法。那么，到底是怎么排的呢？我请教了阅兵指挥官。他给了我两大张纸的数据，当时我很惊讶：哇，没想到阅兵中有这么多数据呢！（ppt出示数据中的：三军仪仗队（17×12+3））
师：从这个式子中，你看出了什么？
生：我觉得应该是一排有17人，一共排了12排，然后前方还有3个旗手。
师：是这样吗？（学生点头）那再想想，刚刚那51名女仪仗兵是怎么排的呢？
生（七嘴八舌）：一排17人，一共3排。
师：在整个阅兵方队中，只有一个仪仗方队，里面有男有女，一共是12排。女兵占了3排，另外的9排……
生（抢着说道）：男兵！
师：对！分别是陆、海、空各3排。一会儿再看视频的时候，好好观察女兵戴的帽子、穿的是裙子，和男兵是不一样的。
师：在三军仪仗方队之后，接着就是10个英模部队方队，看了这个式子，你又能发现什么呢？（ppt出示数据中：英模部队方队（25×14+2+7））
生：看了这个式子，我知道他们是按照一排25人，一共14排这样排列的。后面的“+2”、“+7”是不是指挥官或者什么重要的人？
生：“+2”应该是前面的两个将领，“+7”应该指的是旗手。
（学生们恍然大悟地：“哦！”教师随即出示英模部队方队图片，学生们看了之后更是频频点头。）
师：简简单单的一个算式，我们却从中想到了很多东西!真棒！关键是你要去想象，不想那就什么也没有了。
（ppt出示：三军仪仗队（17×12+3），英模部队方队（25×14+2+7））
师：看到这两个式子，我又发现了一个好玩的问题：17和25都是单数，有道是：好事成双。为什么一排的人数不是双数，而是单数呢？
（学生们陷入了思考，一会儿便忍不住地小声交流了起来。）师：想知道这到底是怎么回事吗？（想！）当时，我还真请教了阅兵指挥官。他说：单数的话，就有一个人在最中间，从正面看，整个队伍就有左中右对称的美。
生（感叹地）：哦！
师：一叶知秋。一个数据，一个算式，也能透露出这么多的信息呢！真是不想不知道，一想很奇妙啊！
师：在整个阅兵过程中，踢正步通过检阅区的那一刻是神圣的、震撼的。那么，那一刻有多长时间呢？（停顿）在这次的阅兵过程中特别强调分秒不误、毫厘不差。昨天，我在看同学们发现问题、提出问题的课前作业时，发现有同学也注意到了这点，时间误差不允许超过0.3秒，距离误差不允许超过0.02米，多么精确啊!所以，我想阅兵指挥官是一定会计算一个方队通过检阅区的时长是多少秒。（学生们赞同地点了点头）那要解决这个问题，需要知道哪些数据呢？
生：要知道速度，还有检阅区的长度。
生：我觉得还需要知道方队的长度。
（板书：检阅区长度、方队长度、速度。指“检阅区长度”，表情询问学生。）
生：96米。
师：对！天安门前，东西两个华表之间的距离就是检阅区的长度，一共96米。
师：（指“方队长度”）为什么还需要方队长度呢？谁能当小老师给大家讲讲？
生：因为方队通过检阅区时，排头过去了，可还有排尾没过去呢。要想完全通过这个区域，得让最后一排的人也过去才行。所以，需要知道方队长度。
生：我觉得这个问题和之前我们学习的火车过桥问题很像，火车头虽然过了桥，可是火车尾还没有过桥，过桥的长度应该是桥长加上火车长。
师（竖起了大拇指）：原来，“火车过桥问题”在这里有了用武之地！用上我们前面所学的知识，就能很清楚地解释这个问题。
（ppt出示教材图片，唤起旧知表象）
师：那方队多长呢？请看阅兵指挥官给我的原始数据。
旗手脚尖到将军脚尖6米，将军脚尖到第一排脚尖6米，后面14排都是前一排脚跟到后一排脚尖0.9米，脚长0.3米。
（学生们认真地、轻轻地读着屏幕中的数据，有的学生不禁感叹道：“哇!”）
师（微笑着）：数据有些多是吗？（是！）如果把这段话画成线段图，可能会帮我们更好地解决“方队长度”的问题。在头脑中想象一下，怎么画？（学生静心思考。）来，我们一边读一边画！
（学生读题，随着学生读，ppt动画展示线段图。）
师：看着图，现在能算整个方队的长度吗？（能！）好，试试看！
（学生独立计算，教师巡视学生情况，2分钟后。）
师：同学们反应很快，都有了自己的想法（竖起大拇指）。不过，想法各不相同。现在你可以拿着练习本去找你的好朋友，不一定是同桌，可以下座位，和你的好朋友商量一下，这个问题到底怎么解决呢？
（学生们纷纷下座位去找自己的好朋友，三五成群地分享着对于这个问题的看法和想法。）
师：现在你知道怎么解决这个问题了吗？（学生们点了点头，高高地举起手来）哈哈，我想请刚开始不明白或者做得不对，现在明白了的同学来说。
生：我开始列的算式是6+6+0.3×14+0.9×14，后来在讨论的过程中，我发现14名士兵有14个脚长，但是其中的间隔是13，所以应该改成13×0.9。（课堂上响起了热烈地掌声。）
师：咦，为什么是13×0.9呢？
生：我觉得可以把这个问题当成植树问题，14个士兵就是14棵树， 14棵树只有13个间隔，应该用13×0.9。
师：心心相印！（ppt出示教材图片，学生们笑着点了点头）
师：一看给了这么多的数据，晕了没有？（没有！）哈哈，分类来看，一下就清楚了！题目中有几个6？
生（众）：2个。
师：几个0.9？几个0.3？
生（众）：13个！14个！
师：对！算式的结果是多少？
生（众）：27.9。
师：关于这个问题，还有不同的算法吗？
生（走上讲台，边说边比划着ppt）：我把0.3和0.9看成一组，每个0.3的后面都有一个0.9，只有最后一个0.3后面少了0.9，所以我的列式是6×2+（0.3+0.9）×14-0.9，算出来的结果也是27.9。
师（竖起大拇指）：一一对应，真棒！现在知道了方队的长度是27.9米，那么方队的速度呢？是我告诉你们，还是你们自己算出来？
生（自信地齐答）：自己算！
师：厉害！自己算出来的数据就带上了自己的温度！那么，根据什么来算呢？（停顿）大家都知道，这次阅兵的节拍由原来的116拍变成了112拍，112拍说明了什么呢？就是1分钟要走112步，一步的长度是75厘米。（板书：112步/分、75厘米）根据这两个数据，你能不能算出速度是一秒钟多少米呢？（板书：？米/秒）（学生们陷入了思考。）有些挑战啊，课本上没有遇过这样的问题！（停顿，学生们继续思考，面露难色）同学们，速度等于——
生：路程除以时间。
师：在这里有没有时间？（有）多少？（1分钟）对，时间就是1分钟，也是60秒。那么1分钟走了多少路呢？1分钟走了112步，一步75厘米，走了多远呢？（学生恍然大悟地：“哦！”动笔计算方队速度。）
生：我算出的速度是140米/秒。
生：我觉得应该是1.4米/秒。
师：应该是哪个？（1.4米/秒）刚才男同学说140米/秒的时候，我想新的世界纪录诞生了！100米跑得最快的中国人叫苏炳添，用了9秒99，也是全亚洲最快的。全世界100米跑得最快的是博尔特，用了9秒58。但是，刚刚经过同学们这么一算，我们踢正步的士兵才是全世界跑得最快的，140米用1秒钟，哈哈哈！
（师生笑作一团。）
师：同学们，其实错误都是在提醒我们！掌声感谢刚刚这位同学提醒我们要去想象数据的意义。
（课堂上响起了热烈的掌声和欢乐的笑声。）
师：那刚刚这位同学错在哪了呢？
生：他错在没有注意单位，140是厘米，不是米。
师：发现了吗？（出错的那名男生点了点头）应该怎么算？
生（七嘴八舌）：112×75÷60÷100
师：为什么除以100？
生：因为112×75算出来的是一共走了多少厘米，除以100才是求多少米。
师：看来单位名称还真得好好注意啊！（师生会心一笑）现在需要的三个数据都有了，能不能算出通过检阅区的时间有多少秒？（能！）
一个英模部队方队长27.9米，他们以1.4米/秒的速度，通过96米的检阅区，需要多少秒？
师：好，男女生比赛，看看男同学算对的多，还是女同学算对的多，开始！
（学生们抓紧时间，开始埋头计算。）
生：我的列式是（96+27.9）÷1.4=88.5（秒）。
师：96+27.9相当于桥长加火车长，总路程除以速度最后结果88.5秒。真好！女生算出这个结果的请举手！
（女生自豪地举起手来，老师一一数过，“18”。）
师：男生算出这个结果的请举手！
（很多男生也是高高地举起了手。）
师：咦，班里男、女生的人数一样多吗？
生（众）：不一样！
师：啊，不一样啊！那还不能这样简单地比较，不比了，不比了！(同学们都笑了。)我们刚刚算的这个答案对不对呢？我非常佩服地告诉你们，同学们算出来的答案和阅兵指挥官的数据一模一样！（学生们有些惊讶又很自豪地：“哇！耶！”）掌声送给自己！
（课堂上响起了热烈的掌声。）
师：刚才这个题目我们圆满解答了。看着这些数据，我又发现了一个问题：咦，为什么旗手到将军、将军到士兵的距离都是6米，而不是7米呢？
生：是不是因为六六大顺啊？
生：我觉得7米也挺好的，正好是70周年的7啊！
生：今年是建国66周年，所以是6和6。
师：哈哈哈，想得好！还有其他角度吗？同学们，我们来算一下，一步是75厘米长，如果间隔是6米，要跨几步?
生（众）：8步。
师：间隔7米呢？
生：9.333……除不开啊！
师：你有想法了吗？（“哦！”学生们有了些想法和感受。）同学们，想想阅兵的画面，一会儿再看视频的时候，你注意，将军是用4拍喊出的“向右看”，再过4拍，士兵就正好踩到线。如果将军和士兵之间不是整步数，那将军踩到线，士兵就会踩不到线了。我们来一起看看！（ppt播放阅兵视频片段。）
生（恍然大悟，兴奋地）：哦！哇！
师（微笑着）：没想到原来还有这样的道理藏在其中啊！这让我想到，一位大数学家说过的话：“哪里有数，哪里就有美！”
师：我们都知道，这次阅兵是第一次有外军参加。当我知道这个消息的时候，立马想到，我在俄罗斯红场看过俄军踢正步，和我们的正步大不一样，请看——
（学生惊讶地“哇！”瞪大眼睛，笑了起来。）
师：他们两腿之间的夹角是90°-100°，我们两腿之间的夹角是45°-60°，我们的步长是75厘米，他们的步长是80厘米。问题来了——
中国士兵每步75cm，俄罗斯士兵每步80cm。假设两个方阵相距20m，俄罗斯方阵多少秒钟追上中国方阵？
师：有没有这问题？
生：有！这是追及问题！
师：这个问题怎么计算呢？（停顿，留给学生思考的空间）时间关系，我们就不再计算了。但是在阅兵指挥官那里是怎么解决这个问题的呢？我一看报纸，知道了，哦，原来——（ppt出示报纸图片）
生（七嘴八舌）：哦，外国军队按中国步伐受阅！
师：外国军队也是按照我们的步伐标准来走的，这样一来，还有追及问题吗？
生：没有了！
师：想想也是啊，如果不这样规定，方队之间的间隔就会有大、有小，时大、时小，那就不美了。那这次阅兵中就不存在追及问题了吗？
生：有，坦克！
师：对！俄罗斯方队之后就是坦克方队，坦克方队的速度是2.78米/秒，想象一下，会有什么事情发生？
生（七嘴八舌，开心地笑着）：压过去了，把俄罗斯方队压扁了！
师：坦克的速度是俄罗斯方队速度的两倍呢，肯定要压过去了！哈哈哈，那这个问题怎么解决呢？
（笑声过后，是学生静静地思考，此时无声胜有声。）
师：欲知后事如何，请听下回分解！
生（遗憾地）：啊……
师：今天这节课，我们一共分享了3个故事，从这3个故事中，你知道了什么？学会了什么？感受到了什么？
生：我学会了植树问题、火车过桥问题和追及问题。
师：是今天学的吗？（不是！）对，是之前学的，今天用上了。这节课我们为什么学得很快乐？很轻松？正因为刚刚这位同学所说，原来在课本上就学过了，今天又回顾了一下，实际应用了一下，从而解决了生活中的问题。孔子说过一句话，“学而时习之，不亦悦乎”。（随即板书：学而时习之。）这个“习”，有“练习”的意思，也有“实习”的意思，实际地练习，解决实际的问题，会让人觉得更快乐！
生：以前学习火车过桥问题，我想不清楚。今天明白了，阅兵就是3D版的火车过桥。
生：我觉得生活中真是处处有数学，没想到阅兵里也有！
生：上了这节课，我才知道原来阅兵中那么整齐地步伐，其实都是经过精密计算的。
师：没错！我们本来以为阅兵那么整齐，就是拼命训练出来的，没想到这里面其实是有很多数据在帮忙！
生：我觉得不论是阅兵还是其他什么事情，只要经过了数学的精密计算，都会变得更美！
师：马克思说过一句话和你的意思差不多。（ppt出示，学生齐读）
任何一门科学只有成功地运用数学的时候，才能达到真正完美的地步。
——马克思
生：上完这节课，我明白了：数字影响秩序。
师（两眼放光，一脸惊喜）：厉害，厉害，哲学家的水平！你的感悟力真强，掌声表达我们的敬意！（板书：数学使人精细。）
生（众）：数学使人精细。
师：英雄所见略同，她和大哲学家培根想的一样，厉害！
生：从这节课中，我感受到了哪里有数，哪里就有美！
生：我有个遗憾，华老师最后也没告诉我们，坦克到底怎么没有撞上俄军？（学生们赞同地、用力地点了点头。）
师：哈哈哈，相信你们自己会找到答案！这节课，我还想和同学们分享的是，怎么才能享受到那份思考的快乐呢？想象！数学是抽象的，学习数学需要想象。想象了，就能发现问题。例如51人怎么排？想象了，才能很好地分析问题。例如方队长度。想象了，才能保证解决问题的准确性。例如140米/秒。想象了，才好玩。数学，其实就是玩具，就是和自己想象力玩耍的玩具。
（学生们频频点头。）
师：总而言之，“阅兵中的数学故事”告诉我们：“心中有数，无限美好！”（停顿）再看阅兵的时候，你是不是有这样的感受呢？试试看——
（再次播放阅兵视频片段，片尾飘出“下课啦”三字。）
三
享受了60分钟，学生们还欲罢不能，如果是35分钟的课，可能就没有这么尽兴了。由此也可以看出：北京市教委推出长短课的课程改革，很有必要。
感谢六年级组数学同仁的帮助！施银燕、刘铮、吕小盈、王红、王静平等老师给予的宝贵的意见，使这节课不再青涩，使这节课熠熠生辉。
其实，这节课不是“阅兵中的数学故事1”，而应该叫做“阅兵中的数学故事2”（感谢黄利华校长的提醒）。因为前面学生已经做了课前参与，收集阅兵资料，发现提出并分析解决问题，交流分享。今天，是老师作为其中一员，以身示范，从而引领学生更好地发现问题。“善教者使人继其志，善歌者使人继其声”，后面还可以上出“阅兵中的数学故事3”……
衷心感谢李烈校长的赏识、肯定！更感谢李烈校长高位引领！怎样拓宽时空，让综合实践活动真正活动起来？我继续思考。
关于这节课，我确实考虑了很多，有些叠床架屋了，以致于开始的研究，课尾总结时我要说出一二三。综合实践的问题，比课本问题复杂多了，因此可以很好突出解题思路的重要。现在的课上，我舍去了，舍得对吗？一课一得足矣，综合实践的课是否可以，或者说应该“一课多得”？进而，我再思考，哪怕是新授课的课堂总结时，老师是否也不该和学生一样的一句话总结？学生“画龙”，教师“点睛”，才是艺术，才是科学，才是故事，才凸显出学生主体和教师主导。课尾的失语，是老师的缺位！教师怎样的总结，才不是“独角秀”，才能够说到学生心里去？教师怎样的总结，才是要言不烦？我说不出一二三了，值得研究。
“阅兵中的数学故事3”怎么上？追求什么目标？研究什么问题？设计什么活动？学生还会欲罢不能吗？
数学教学的目标是什么？我以为简要地说，就是让学生心中有“数”。心中有数，才能用数学眼睛（抽象和直观）观察世界；心中有数，才能用数学思维（推理和运算）思考世界；心中有数，才能用数学语言（数据和模型）表达世界。心中有数,还表达了对数学有良好的情感。不一定是情有独钟，但一定不是心中无数，更不是心中厌数。
《阅兵中的数学故事》告诉我：
心中有数，无限美好！
课堂实录由北京市史家小学刘伟男老师整理
本文首发于2016年第4期《小学数学教师》
2016年第10期人大复印报刊资料《小学数学教与学》全文转载
2019年10月1日晨修改于北京圆方斋
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