华应龙 严亚雄 ‖ 数学阅读：进一寸有进一寸的欢喜

无论是风里，还是在雨里，我都在这里守候着你～

战“疫”中的数学阅读辅导（七）

华应龙

（北京第二实验小学）

当我向全国各地的数学特级教师、数学教育专家请教——“如果请您给小学生推荐数学读物，您推荐哪套或哪本？”——近十位老师都推荐刘薰宇先生的《原来数学可以这样学》。

《教育视界》杂志副主编沙国祥老师特别提醒我：“刘薰宇先生的那套书，影响了很多数学家、科学家。”

刘薰宇先生是我国著名的数学教育家，其教育生涯横跨民国和新中国两个时期，曾在多所大学和中学担任数学教师或校长，还担任过人民教育出版社副总编辑，审定过我国中小学数学教材，发表了大量数学教育方面的论文，出版了很多中小学数学教科书和科普读物。

今天，我们请严亚雄老师来推荐的，只是刘先生众多科普读物中的一套。

严亚雄老师，是“华应龙名师工作室”核心成员，江苏省南通开发区实验小学教育集团教师发展中心主任，教育硕士，江苏省特级教师，正高级教师，全国优秀教师，江苏省333高层次人才培养对象，南通市第一梯队名师培养对象， “严亚雄工作室”主持人。出版专著有《情思数学——指向儿童成长》。

数学阅读：进一寸有进一寸的欢喜

严亚雄

（江苏省南通开发区实验小学）

2020年的开局似乎令人沮丧，但是，“人类的一切智慧都包含在‘等待’与‘希望’这四个字中”（大仲马语）。

花开满树，阳光微洒，春光如此美好啊。同学们，让我们手捧一本书读起来吧，可不要辜负这最美的春天哦！

今天，我要给你介绍一套好书——著名数学教育家刘薰宇先生写给中小学生的数学科普经典《给孩子的数学三书》。

这些天，我一直在读它。读着读着，我就想起胡适先生说过的一句话：“怕什么真理无穷，进一寸有进一寸的欢喜。”用后半句来形容我的阅读状态特别合适，读过了，有的读懂了，有的还是没弄明白，但是感觉有了收获，心一点点充盈起来、欢喜起来，这就足够了。我的师父华应龙老师是这样说的，“阅读数学，没读懂也有收获”。

所以，孩子，只管读起来，说不定，你会和我找到相同的感受呢。

好了，此刻，就让我们打开这套经典，然后只管明媚地走进这个春天吧。

先来读“三书”中的这一本吧——《马先生讲算学》。“马先生”是谁呢，其实就是刘薰宇先生本人啦！他在书中借助“马先生”的口吻和我们交流，特别风趣，很有现场感，不是你想象中的乏味无趣哦。

要不，先睹为快，我摘录一小段你看看——

周学敏抢着，而且故意学着我的语调回答。

“对了!”马先生高叫一句，突然愣住。

“5E是5F的3倍吗?”马先生问后，大家摇摇头。

“1G是1H的3倍吗?”仍是一阵摇头，不知为什么今天只有周学敏这般高兴，扯长了音回答:“不——是——”

是不是很有意思？“马先生”就像在给大家上课呢！

顺便说一下，关于“马先生”，还有一件很好玩的事情呢。当时有《中学生》的读者到书店问《马先生谈算学》出版了没有，刘薰宇先生正好在店里，书店的人就指着他说：“这就是马先生。”哈哈，你说，是店里的人入戏太深，还是“马先生”深入人心呢？

好啦，同学们，接下来就让我们跟随“马先生”去数学的世界里走一走吧！

“马先生”的数学世界奇怪又奇妙。有一次，他让大家猜谜，这个谜语和数学毫不相关，他想告诉大家什么呢？他说：“对于学习的人，也正和谜面一样，需要你自己去摸索。”

那么，接下来，就让我们一起走进“年龄的关系”中，记得边读边思考哦！

他举的第一个例子是这样的：当前，父年三十五岁，子年九岁，几年后父年是子年的三倍？

“马先生”让我们不管三七二十一，把表示父和子的岁数用图表示出来。同学，你准备怎样画呢？试着动动手吧！

“马先生”是这样画的，你看得明白吗？

从图上可以看出，O点对应的岁数为13岁，P点对应的岁数为39岁，正好存在3倍的关系。而O、P两点对应的年数是4年。也就是说，4年后，父亲的年龄是儿子的3倍。

真是奇妙！“据图探究”还真是好办法。

可是，为什么这样画呢？不明白？我一开始也不明白，听了“马先生”的介绍我就明白啦。要不，你打开书第58—66页，“马先生”会慢慢解释给你听哦！

读完了第一本，我猜你是不是迫不及待打开第二本《数学趣味》啦！我就是这样的。

读书要先读“序”。没想到这篇“序”竟然是丰子恺先生写的。为什么我会说“没想到”呢？读书多的同学一定明白，丰子恺先生是中国漫画的一代大师，是著名的文学家。他竟然给一本数学读物作序，这跨界跨得不是一点点哦！

丰子恺先生说：“我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！……他每次发表，我都读，诱我读的，是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。”

是什么力量“诱”着一代大师？我们一起去体会体会吧！

目录就很诱人，你看：恨点不到头，堆罗汉，八仙过海，韩信点兵，王老头子的汤圆……

要不，来玩玩“堆罗汉”？你是不是想到一种游戏或者表演活动？人上架着人，叠成各种样子，每排次第少一人，直到最顶上只有一个人为止，真是惊险又刺激啊！

数学中也有“堆罗汉”吗？是的，是的，就是“像这类依序相差同样的数的一群数，在数学上我们叫它们等差级数。”

可能有同学想起高斯小时候的故事了：高斯小时候非常淘气，一次老师去开会，他和同学们闹腾。老师回来后大发雷霆，命全班人都来计算“1+2+3+4+5+6+……+100”的得数。高斯很快说出结果是5050。他是怎么想的呢？（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）……＋（50＋51），一共有50个101，所以50×101就是1加到100的得数。后来人们把这种简便算法就叫做高斯算法。

像“1+2+3+4+5+6+ 7+……”这样的算式，其实就是数学中的“堆罗汉”。高斯的算法为什么可以呢？刘薰宇先生还用一幅图生动地进行了说明。请看——

从这幅图上看，A部分左往右依次减少一个正方形，最后只剩下一个红色的正方形，像不像正方形在堆罗汉啊？我们还可以看到，最大的长方形由A和B两部分组成，想象一下，或动手画一画、摆一摆，你会发现B恰好是A上下倒过来、再左右翻过去的样子，所以A和B的面积相等。

把图中每个小正方形的面积记为1，则A的面积为1+2+3+4+5+6+7，B的面积为7+6+5+4+3+2+1，它们都等于整个大长方形面积的一半。而我们知道，大长方形的面积是它的长和宽相乘的结果，长是7+1，宽是7，因此面积就是：

7×（7+1）=7×8=56

所以A的面积就是56的一半，于是我们就可以得到这样一个式子：

对了，忘记告诉你啦！的意思就是7×（7+1）÷2哦。

现在，我们要进行推理，推到一般的情形，就变成了：

那么，老师出给高斯的那道题，我们也用这种方法算一算：

结果果然是5050。现在你明白了吧！高斯算得快，是因为他是玩“堆罗汉”的高手呢！

看来，计算1+2+3+4+…+100，不一定就要像高斯小时候那样算呢。想一想，你还有什么别的算法吗？千万别以为高斯是数学王子，他的算法就是唯一的哦。

以上介绍的玩法，只是通过了“堆罗汉”的最低关卡，还有更高级的玩法等着我们哦！

给你书中两幅“堆罗汉”图，看看能从里面得出什么结果来！

怎么样？是不是心痒痒，很不过瘾？那就打开书，好好去玩一玩呗！

看第三本之前，先和你分享作者刘薰宇先生的一段经历。

中学三年级的时候，刘薰宇问物理老师一个公式的来源，但是老师只要他记住公式，因为“说来你这时也不会懂。”什么意思呢？就是那公式背后的道理对于当时的刘薰宇来说的确太过复杂。这件事给了刘薰宇极大的“余痛”，所幸的是这种痛没有让他远离物理，反而是追根究底地想弄明白。当他三年后第一次弄清楚的时候，“心里感到无限的喜悦！”

同学们，你知道吗，读第三本书《数学的园地》的感觉可能就是这样，你会承认“真有说来不会懂”这么一回事的。因为，在这本书里，有我们从没听说过的“函数和变数、诱导函数、无限小的量、积分学……”。

我先把我读来的说给你听听——

现在，我们要解决这样一个问题：“用来表示倾斜率的比，能不能由曲线函数的帮助来计算呢？”刘薰宇先生让我们看着图来说话。

你看，图上水平线段PB的长等于x'和x的差，而“高度”P'B等于y'和y的差。将这相等的值代入倾斜率的式子，我们就得出这样的结论：

割线PP'的倾斜率=(y^'-y)/(x'-x)

接下来，计算P点的切线的倾斜率，只要在曲线上使P'和P挨近以至无限接近就成了。

……

看到这里，是不是有种“你到底在讲什么”的感觉？很正常呢，因为你没有从头读起，还因为真的不容易一下子弄明白哦。

如果此时的你还是选择继续读下去，恭喜你，更多的惊喜即将出现在你的面前。因为，刘薰宇先生的幽默风趣在这本书里表现得更为突出。

摘几段文字，我们一起来读一读吧——

“‘无限小’的计算法，真可以算是一件法宝，你在数学的园地中，走来走去，差不多都可以看见它。”

“在几何的院落里，更可以看出它有多么玲珑。老实说，几何的院落现在如此繁荣、美丽，受了它不少的恩赐。牛顿发现了它，莱布尼茨也发现了它。但是他们俩并没有打过招呼，所以他们走的路也不同。……”

“朋友，不要慌！你去问造房子的工匠去！你去问他，怎样可以算出一座楼梯对于地面的倾斜率？你一时找不着工匠去问吧！那么，我告诉你一个法子，你自己去做！”

“你看！诱导函数这么一点儿小家伙，它的花招有多少！”

看出来了吧？一点儿也不枯燥、抽象，读来很轻松、很有趣。那些高深的原理好像离我们很近很近了呢！

不过，同学，如果你真的只是冲着轻松有趣的文字来读，那你只能收获一点点的欢喜；如果你能真正走进“数学的园地”，你会“进一寸有进一寸的欢喜”。

最后，和你分享丰子恺先生的一段话：“藏书如山积，读书如水流。山形有限度，水流无时休。” 什么意思呢？我的理解就是：藏书再多，不去读，它仅仅是摆设，不管放多少书，总是有限度的。但是，读书就像流水一样没有限度、永无休止。要是你能把读书作为生活的常态，那么你的生命一定就是美好的、欢腾的。喜欢它就去读它，读懂它、读透它。暂时不明白也没有关系，你会感觉“精神上愈加舒畅。” 

那么，手捧《给孩子的数学三书》的你，先打开的会是哪一本呢？我很想知道，或许，你已经有了答案。

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