华应龙：数学阅读是会思想的游戏

无论是风里，还是在雨里，我都在这里守候着你～

战“疫”中的数学阅读（一）

数学阅读是会思想的游戏

华应龙

（北京第二实验小学）

小楼昨夜又东风，我们还是宅家中。

停课不停学的日子，真是憋得慌！

大作家维克多•雨果说：“聪明的人面对生活困难时，从书中获得慰藉。”

同学们，捧起书本来吧！

数学阅读？阅读数学？可能有同学要说了：“那还不如用数学阅读的时间，多做几道数学题呢？”可能有同学要说了：“我本来就怕数学，数学阅读？更没劲。”

同学，你说得没错！怕了，就不好玩了。不过，那是因为不曾有人引导你一起阅读数学。今天我们一起来阅读，好吗？一起学会——让书本来教导我们。

1

一本数学读物上，有这样一道题——

请记住你自己的体重（比如34千克），现在请你把它乘67，再把乘积的末两位数告诉我。34×67=2278，它的末两位数是78。现在我知道你的体重了——34千克。

挺神奇的吧！

如果不信，你可以再用其他数试试！

同学们，你能知道其中的道理吗？

同学们，看完了，你是不是也觉得这太神奇了，怎么知道的啊？

“如果知道整个乘积是多少，用积÷67就好了。”“78÷2=39，78÷3=26，78÷6=13，都得不到34啊”……是不是百思不得其解？这道题，你还没有办法用自己的体重来试，因为你身边没有知道其中诀窍的人来合作。题目中说“如果不信，你可以再用其他数试试”，其实，你一个人是没法再试的。这句话就是告诉你：“不用试啦，千真万确。”你身边又没有人请教，怎么办？

看答案。确实，一般的数学读物都会附有解答——

奥秘是这样的：他把尾数又乘3了。假设体重是A千克，则A×67×3=A×201。对于任何被乘以201的数，由于它的个位数是1，所以乘积的末两位数必定是原来的那个数。比如34×201=6834，末两位数不正好是34吗？

哦，原来是这样！这就像做了个魔术！同学们的体重数一般是两位数，乘67就相当于把这个两位数藏了起来，再乘3，就把藏着的数显示了出来，显示在末两位。题目中说，只告诉“乘积的末两位数”就行，开始觉得太厉害了，都不需要告诉整个乘积是多少，现在才明白：其实，只要知道乘积的末两位数，这就已经足够了。

同学们，看到这里，你是不是大呼过瘾，“数学真好玩！”

世界著名数学家华罗庚爷爷说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的，你觉得数学不美，那是因为你站在数学花园的外面。”

现在，你可以打电话给小伙伴，“隔空”玩玩这个游戏。

还可以把你的体重数加1千克，或减2千克，自己再玩一玩。

2

同学们，是不是屡试不爽？

知道怎么玩之后，我们要想想为什么可以这样玩？A×67×3=A×201背后的根据是什么？

A×67×3=A×（67×3）=A×201，明白了吗？对了，原来这背后是乘法结合律的功劳，是乘法结合律保证了游戏的屡试不爽、永远正确。

同学们，你想过吗？这道题的好玩，还因为什么？

对了，还因为是乘“201”。同学们都有这样的计算经验，乘“X01”，乘积的末两位数就和另一个乘数的末两位数相同。如果是乘199，那就不太好玩了。这么想来，如果是乘1001，是不是也可以呢？如果你再想到7×11×13=1001，那么，这道题就可以改为：用你的体重数乘13，再乘11，然后把乘积的末两位数告诉我。我再把末两位数乘7，就能知道你的体重了。

我们来试一试：34×13=442，442×11=4862，积的末两位数是62。62×7=434，体重是34千克。

哈哈哈，原来好玩的数学题目就是这么来的啊！

现在，你可以再打电话给另外的小伙伴，“隔空”玩几回改进了的游戏。

同学们，是不是很有成就感？很自豪？看来“魔力数”不一定是“201”，“1001”也行。那，你还能再改进吗？

如果把体重数改成身高厘米数，行吗？请问你的身高是多少厘米？比如是148厘米。反应快的同学可能已经说了：“不行啦！”为什么？因为一个数乘201，只能知道乘积的末两位数和这个数相同，现在这个数是三位数，乘积百位上的数就不能确定了。

是啊，一般的，同学们的身高是1米多，如果用厘米数来玩，就是三位数乘一个数了，那么我们设计的“魔力数”可以是多少呢？1001，当然可以；2001，也是可以的。2001÷3=667，因此，可以把身高厘米数乘667，把乘积的末三位数告诉我。我把这个三位数再乘3，就能知道身高数了。

我们也来试一试——身高148厘米，148×667=98716，积的末三位数是716，716×3=2148，身高是148厘米。 

真的行！

只是数大了，计算比较麻烦。计算一错，就不好玩了。不过，那是我们自己愿意探究的，数大了，也不怕。难度大了，更有挑战！同学们，数大了，我们也可以用计算器来帮助探究的。

3

华罗庚爷爷还说，读书“有两个必经的过程，即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程。‘由薄到厚’是学习、接受的过程，‘由厚到薄’是消化、提炼的过程。”

同学们，我们回头看看，刚才的读书是不是经历“由薄到厚”的过程了？

上图是我在读《数学在哪里》（唐彩斌、彭翕成主编，电子工业出版社2016年出版），做的批注。从我的批注中，你看到了什么？

我把题目改了？是的，原题是用你口袋里的“钱数”来玩的。我为什么修改呢？因为，现在大多数人都用“支付宝”了，口袋里都没钱。

当时，我还想，学生一个人在家怎么玩？我想到了“举杯邀明月，对影成三人”。我还想到，如果不是“把乘积的末两位数告诉我”，而是“把整个乘积告诉我”，这样是否更具有迷惑性，从而让对方的感觉更神奇呢？是否可以把乘3的任务，也交给对方完成？……这些问题，都很值得思考。

同学们，我回头看自己的批注，看到了华罗庚爷爷的话：“加上自己的注解，就愈读愈厚，我们所知道的东西也就‘由薄到厚’了。”

同学们，“要真正学会、学懂还必须经过‘由厚到薄’的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。”（华罗庚语）让我们回头看看，可以提出哪几个关键性的问题？

第一，到底是怎么做的？能变换其他的数再来试试吗？第二，为什么可以这么做？这背后的根据是什么？第三，这个问题还可以改变吗？可以变得更好玩吗？

总之，不管是“由薄到厚”，还是“由厚到薄”，这两个过程中都离不开思考。

同学们，我教数学快40年了，发现了一个规律：数学学得不好的同学，大部分是由于懒得思考，最后“积懒成笨”。

“万世师表”陶行知先生说：“人生两个宝，双手与大脑。用脑不用手，快要被打倒。用手不用脑，饭也吃不饱。手脑都会用，才算是开天辟地的大好佬”。有的同学以为学数学就是用手计算。其实，不是那样的，更重要的是用脑思考。我曾经和数学老师们说过：“数学，不是老师动嘴讲明白的，而是学生们自己动脑想明白的。”数学，主要是在头脑中做的游戏。所以，我常常说：“数学是玩具，是和自己想象力玩耍的玩具。”

同学们，数学阅读并不“只是眼睛在书页上跑过”（叶圣陶语），而是要边读边想，边注边算。这样，数学阅读，也就包含了做数学题，并且是在做自己感兴趣的题。这样的数学阅读，就是在做思维的体操。这样的数学阅读，就能享受到游戏的乐趣。

同学们，现在，我说：“数学阅读是会思想的游戏”，你能同意吗？

可能有同学要问了：“华老师，如果这道题，书上没有答案呢？我怎么才能想到67×3=201？”

问得好，这是一个非常有价值的问题！我想想啊——

哦，这是因为以前的你，只会动手去做数学课本上的题目，没有动脑去看数学课外读物……很多数学读物上，都会讲到“101”“201”“1001”等等具有魔力的数。

同学们，打开数学读物，到数学的大花园里面去读读、玩玩吧！

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