李昌官：素养为本的高中数学单元起始课教学 ——兼谈“平面向量及其应用”单元起始课教学
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。
专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题
近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。
欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：wwxwxh@163.com
李昌官，浙江省台州市教育局教研室书记，台州市特级教师协会会长，博士、正高级教师、浙江省有突出贡献中青年专家、教育部“国培计划”专家、苏步青数学教育奖一等奖获得者、人民教育出版社中学数学教材编者，主要从事中学数学课程与教学研究．
核心素养的整体性、深刻性和联系性决定了单元设计比课时设计更利于它的形成与发展．良好的开端是成功的一半，单元起始课教学对本单元后续教学有着重要的影响．万事开头难，如何实施单元起始课教学却令广大教师困惑与迷惘．下面以“平面向量及其应用”单元起始课教学为例探索这个问题．
1.1 素养为本单元起始课的教学定位
单元起始课犹如江河的源头，看似水量不大，实则对后继发展有极其深刻的影响．如果把单元教学比作中长跑，那么处于起跑阶段的起始课不仅在于跑得多快与多远，更在于姿势与节奏．如果把单元教学比作需要安装GPS的汽车驾驶，那么单元起始课就是师生一起探讨并明确应该到达的目的地和最佳驾驶路线．也就是说，单元起始课不仅在于学到多少知识，更在于服务于后续学习，为后续学习做好铺垫．单元起始课教学的功能与价值首先在于为本单元学习提供“先行组织者”，是为本单元后继学习确定目标、设计路线、明确方法、提供动力．或者说，单元起始教学应首先解决好为什么学、学什么、如何学的问题，然后再视教学实际进行相关新知识的教学．
以“平面向量及其应用”单元起始教学为例．“为什么学”是因为力、位移、速度等量不仅都既有大小又有方向，而且它们还具有共同的运算与运算律，需要从数学角度作统一的研究．“学什么”是从数学视角探究力、位移、速度等内在的关系与规律，并利用这些关系与规律解决有关几何问题和物理问题．“如何学”是通过对力、位移、速度等共同特征的分析、归纳，抽象出一般性的数学概念；通过类比数的运算与运算律，建立向量的运算与运算律；强化从数与形两方面思考几何问题和物理问题，并把它们转化为向量问题，然后利用向量便于运算的特点与优势，有效地解决．
1.2 素养为本单元起始课的教学要素分析
1.2.1 单元教学内容分析
从如下四方面入手，从宏观与整体上把握单元教学内容．第一，认识本单元知识所在的“森林”，搞清楚本单元知识与相关单元知识的联系，在更大的时空中把握本单元知识的地位与教学价值．第二，从整体上认识和把握本单元知识，搞清楚本单元的核心知识是什么，核心知识的本质又是什么，做到“既先见森林后见树木，又通过认识树木不断深化对森林的认识”．第三，寻找知识的源头，把握教学的逻辑起点，搞清楚知识的成长过程与成长方法，进而迈好本单元教学的第一步．第四，寻找本单元知识的内在联系，把握前后知识的逻辑联系，搞清楚前后知识的相互影响及其影响的方式与程度，进而使本单元知识成为一个相互联系的、结构化的整体．
1.2.2 从宏观与整体上把握学生的认知状况
为了从宏观与整体上把握学生的认知状况，需做好如下四方面的工作．第一，分析和把握学生的认知基础，即搞清楚学生学习本单元知识的认知准备状况，包括已经具有怎样的相关知识、相关技能和相关数学活动经验．第二，分析和把握学生的认知潜能，即搞清楚哪些事情学生自己能够做，哪些事情他们做不了或做不好；搞清楚哪些知识是他们可以自己独立探究发现的，哪些知识需要在教师的指导和帮助下探究与建构．第三，分析和把握学生的认知障碍，即搞清楚学生在学习与研究的过程中可能会遇到哪些困难，克服这些困难需要教师给予哪些方面和多大程度上的指导和帮助．第四，分析和把握学生的认知风格，即搞清楚学生是习惯于接受式学习还是习惯于探究式学习，习惯于合作学习还是习惯于独立学习；搞清楚他们学习本单元知识的信心、兴趣与态度．
1.2.3 教学环境与条件分析
教学环境与条件分析主要涉及以下三方面．第一，需要哪些相关信息技术（包括相应的数学软件）和教学资源的支持．第二，是否需要小组合作学习，是否具有与小组合作学习相适应的课桌椅排放和相应的课堂氛围．第三，学校、家庭与社会期望的学生学习目标与学习方式怎样，这些期望中，哪些对教学是有利的，哪些对教学是不利的．
1.3 素养为本单元起始课的教学策略
1.3.1 大处着眼，整体入手
单元起始课教学应大处着眼、整体入手，充分发挥单元比课时“大”的优势，通过“揭示大背景、提出大问题，建立大框架、明确大思路，明确大观念、形成大策略”，为本单元后续学习提供“先行组织者”．这里的“大背景”是指蕴藏着本单元核心问题的问题产生背景．它既是本单元核心知识与原理的萌芽与源头，也是学习与研究本单元内容的缘由与必要性．这里的“大问题”是指时间上先于其他问题，内容上涵盖其他问题，其他问题是由它派生出来，或其他问题的解决是为之服务的具有本原性、根本性的本单元核心问题．这里的“大框架”是指为了解决大问题而建立的解决问题的总体框架．它是由大问题分解、转化而成的“问题链”或“问题系”．大框架建立好了，解决大问题的大思路也就明确了．这里的“大观念”是指本单元学习和问题解决中普遍适用、带有根本性的数学观念．其中有的就是学科一般观念与方法，有的是次一级的、对本单元学习非常重要的观念与方法．这里的“大策略”是指具有较强普适性的、能够用于解决一类问题的数学思想方法和常用思维方法．
为了使学生对本单元内容有一个整体的、粗略的认识，单元起始课教学应着眼宏观与整体，突出知识发展的大框架与大线索，抓“大”放“小”，强化前后知识的逻辑联系，避免一开始就陷入细枝末节而不能自拔．因为“如果你深入到细节中去，你就可能在细节中迷失自我．过多过细的枝节对思维是一种负担．它们会阻碍你对要点投入足够的注意力，甚至会使你全然看不到要点．”[1]
1.3.2 抓核心与本质，孕育一般观念
“科学教育的目标不是获得一堆由事实和理论堆砌的知识，而应是实现一个趋向于核心概念的进展过程，这样有助于学生理解与他们生活相关的事件和现象．”[2]数学教育也一样．数学的营养价值往往蕴藏在数学的核心知识中，蕴藏在核心知识的形成过程与形成方法中，蕴藏在核心知识的本质中．数学教学应追问：本单元的核心概念是什么？它的形成过程与形成方法是什么？它与其他相关概念有怎样的联系？应追问：为什么这个知识是核心知识？它背后蕴含的一般观念是什么？这个一般观念又是怎样形成和发展的？这里的“一般观念”是指对本单元学习具有广泛、深刻和持久影响的数学思想方法和基本思维方法．为了更好地孕育一般观念，教学时，应注意“虚”“实”结合，用“虚”指导“实”，又从“实”中提炼“虚”．[3]
对“平面向量及其运算”单元而言，核心知识就是向量及其运算．向量及其运算之所以是核心知识，不仅是因为它蕴含着“距离”与“方向”这两个几何学中最基本、最重要的量，而更因为它同时具有数与形、分析和综合两方面的特点与优势，能在“形”的启示下借助“数”的运算来解决问题．这个核心知识所蕴含的一般观念就是一种典型的“向量思维”，即从“形”与“数”两方面寻找解决问题思路与方法，然后通过运算解决问题．教学时，应以向量概念、向量运算及其运算律为载体，以真实的几何情境和物理情境为依托，强化把几何问题、物理问题转化为向量问题的过程与方法，让学生通过自己的归纳、感悟，孕育这种“向量思维”．
1.3.3 以问题引领、促进学生学习
问题，是数学的心脏，也是数学学习和数学教学设计的心脏．对于素养为本的高中数学教学而言，知识不是传授的对象，而是学生探究的载体与材料．为了使学生能够有效地探究，教师需要把知识问题化、活动问题化、任务问题化．更进一步，应通过问题、借助问题，激发学生的学习动力，明确学习目标，建立学习框架，暗示解决问题的思维策略与方法，搭建学生主动参与、深度参与的载体与平台．因此无论是整个单元教学，还是单元的起始教学，都应该以知识为载体，以问题为中心，以探究为手段，以素养为目标来组织和实施；应强化把现实问题抽象、转化为数学问题的过程和方法，强化数学问题提出、解决与拓展的过程和方法，充分发挥问题对学生学习的引领、指导和促进作用．
1.3.4 夯实基础，迈好第一步
由于教学时间紧、任务重，单元起始课往往需要在“务虚的”为后续学习提供“先行组织者”后，迈出“务实的”数学知识学习的第一步．这时的教学应求稳、求实，而不应求快、求多．这既是单元起始课的特点与功能决定的，也是学生学习的特点决定的．因为只有行稳，才能致远；只有厚积，才能薄发．应以单元的初始知识为载体，强化研究和解决本单元问题的一般思路与方法，积累数学基本活动经验，为后续学习积蓄更强大的能量．
下面借助ADE模型[4]进行“平面向量及其应用”单元教学要素分析．
2.1 学习内容分析
2.1.1 知识产生的背景
背景1：位移、力、速度等物理量都既有大小又有方向，它们在分解与合成等方面有许多共同的规律．
背景2：换一种视角看，各种几何体中的线段也往往既有大小，又有方向．
背景3：运算是数学威力最重要的源泉．只有搞清楚既有大小又有方向的量的运算法则和运算律，才能更好地利用它们解决相关问题．
2.1.2 知识生长的过程与阶段
本单元知识的生长主要有三个阶段：第一阶段是舍弃力、位移、速度等量的物理属性，从数与形两方面抽象出数学研究对象——向量；第二阶段是在数学内部研究向量的运算、运算律及其相关性质；第三阶段是利用向量研究的结果解决几何问题和物理问题．
2.1.3 知识建构的策略与方法
本单元知识的建构主要用到如下策略与方法：（1）归纳、抽象，即通过归纳、抽象、理想化，得到向量概念；（2）类比，即类比数及其运算，明确向量运算的内容、思想与方法；（3）回归现实，即通过对力、位移、速度等运算归纳、抽象，建立向量运算与运算律；（4）数形结合，即从数与形两方面建构向量相关概念、运算与运算律；（5）特殊化、一般化、完备化，即无论是研究向量运算，还是向量间的关系，都考虑零向量、平行向量等特殊情况，最大限度地保持向量知识体系的一致性与完整性．
2.1.4 知识间的联系与结构
从本单元知识的内在联系看，向量及其相关概念是向量运算的基础；向量概念、向量运算是向量应用的基础；向量加法运算是向量线性运算的基础；平面向量基本定理揭示平面的本质、平面向量的内在联系，并为向量之间的相互转化提供了依据；平面向量的坐标表示为向量的数量化和运算提供了更有力的工具．另外，需要注意的是，向量不同运算建构的思路、步骤与方法是类似的，都是按“运算类型——物理量的运算——向量运算法则——向量运算律”的顺序建构的．
从本单元知识与相关单元的联系看，平面向量与共线向量、空间向量的本质是一样的，但平面向量在共线向量与空间向量之间起承上启下的作用；向量运算与运算律、向量的基本定理都是点、线、面等几何元素的关系和性质的向量表示；向量与复数的关系，向量能够进入数学，得益于复数的几何表示；向量与解析几何的关系，解析几何一定要先坐标化，后利用坐标或方程进行运算，而向量本身就具有“数”的属性，可以直接运算，并且一个基向量就是一条坐标轴，两个基向量就构成一个坐标系．
2.1.5 知识的要点与本质
位移向量是将位置差别加以定量化所定义的基本向量，其本质是平移的方向和长度，是平移的另一种表达．向量是刻画线性空间的数学模型，是数与形天然的、和谐的统一体，也是数与形相互转化的桥梁．向量法是更高级、更灵活的解析几何．运算和运算律是向量的灵魂，是连接数与形的纽带；它建立了运算（运算律）与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究图形．
2.1.6 知识的学科意义与教学价值
“向量的加法、倍积和内积简洁自然地把空间的结构全部代数化，而且把定量几何学中的基本定理，如相似三角形定理和勾股定理，分别转化为倍积和内积的分配律．”[5]“向量运算不仅提供了表达计算各种各样基本几何量的有效能算的代数公式，而向量运算律本身其实就是一套完善精简的几何基本定理……向量代数是空间结构的全面而且美妙的代数，而且运算律则是空间本质（即基本定理所表达者）的一种至精至简的表达．”[6]
向量的教学价值主要体现在如下三个方面．第一，向量具有解决问题的工具价值．它使数与形的统一达到了更自然、更和谐、更高级的水平，使人们对图形的研究达到了有效运算的水平，实现了综合几何向向量几何的转变．第二，向量具有发展思维的训练价值．它促进人们从数与形、从运算的视角思考和解决问题，有助于提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等方面素养．第三，向量具有优化品性的育人价值．数与形的和谐与统一是一种事实、一种理念；向量使人们对数与形的关系、数学内部的结构与联系，甚至对数学、对世界的认识发生新的变化——数学和世界在本质上都是简单的、相通的、和谐的．
2.2 学生认知分析
2.2.1 学生认知起点分析
学生头脑中已有力、位移、速度及其它们的合成与分解的相关经验，但这些概念和经验是具体的、割裂的，没有上升到统一的、抽象的数学概念和数学运算的高度．学生也有线段在直线上的投影、物理上的“功”等相关概念，以及用坐标表示点的位置等相关经验．
2.2.2 学生认知潜能分析
学生具有一定的分析与归纳、类比与迁移能力，他们能借助教师的讲解，接受、理解本单元知识，运用这些知识解决教材上的例题与习题，但他们还没有能力独立探究、深度理解这些知识；他们有能力理解作为结果的本单元知识，但没有能力理解一些过程性、策略性知识；他们还没有养成自觉地、主动地从数与形两方面思考问题习惯．
2.2.3 学生认知障碍分析
学生在本单元学习中会面临如下认知障碍．一是共线向量．对此，应在建构向量概念时就分析、说明为什么不把起点作为向量概念的一部分，明确向量是一个与起点无关的、可以自由平行移动的量；应说明规定“零向量与任一向量平行”的合理性与必要性．二是向量的线性运算．对此，应强化在真实的物理情境中抽象出向量运算的过程与方法，并由物理量的运算法则说明向量的运算法则与运算律．三是平面向量的基本定理．对此，应基于力的分解与合成，类比力的分解与合成，探究这个定理，并揭示它背后蕴含的要素与基本量思想、分解与综合思想、联系与转化思想．四是向量的数量积运算．对此，应以物理上的“功”为原型进行抽象与建构，突出向量投影的几何意义，并说明向量数量积运算的实质是通过向量投影，把不共线的向量间的运算转化为共线的向量间的运算．五是向量运算的坐标表示．对此，应基于平面向量的基本定理探讨如何进一步把向量数量化，使其更便捷地运算，并揭示向量的坐标表示与点的坐标表示的一致性．六是向量的应用．对此，应强化在真实的几何情境和物理情境中，探讨怎样把几何要素、物理要素向量化，向量化的目的又是什么；怎样把几何问题、物理问题转化为向量问题．七是“向量思维”的形成．对此，应以真实问题为载体，让学生真切地感受到从数与形两方面思考、解决问题的必要性与优越性，感受向量运算在解决几何问题中的威力．
2.2.4 学生认知风格分析
绝大多数学生还习惯于接受学习而不会探究学习，习惯于独立思考而不会小组合作学习．对此，应有意识地引导学生强化探究学习与小组合作学习、学会探究学习与小组合作学习，但不可操之过急，否则，会欲速则不达．
2.2.5 学生认知差异分析
学生在认知基础、认知潜能、认知障碍等方面存在较大的差异．对此，不仅应强化因材施教、分类指导、分类推进的意识，还应强化分类要求、因材施评的意识，力求为不同的学生提供适合他们的不同的教学．
2.3 教学指导思想与设计思路
以“三会”和数学学科核心素养为总的目标和方向，以“三用”即“用向量眼光看待几何问题和物理问题，用向量思维分析几何问题和物理问题，用向量语言表达几何问题、物理问题及其解决过程”为实现目标的基本途径与方式，以向量知识发展的内在逻辑——“向量的现实背景—向量的概念—向量的运算与运算律—向量基本定理及其坐标表示—向量的应用”为思维主线，采用研究型单元教学，强化教师指导下的学生自主探究、合作探究，促进学生知识、技能、思维和个性品质协调发展．
未完待续……
[1] G·波利亚．怎样解题[M]．涂泓，冯承天，译．上海：上海科技教育出版社，2002：77.[2] 温·哈伦．科学教育的原则和大原则[M]．韦钰，译．北京：科学普及出版社，2011：2.[3] 李昌官．为发展学科一般观念而教[J]．数学通报，2019（9）：11-15．[4] 李昌官．高中数学研究型教学[M]．上海：华东师范大学出版社，2019：62-78.[5] 项武义．基础代数学[M]．北京：人民教育出版社，2004：20.[6] 项武义．基础几何学[M]．北京：人民教育出版社，2004：154.[7] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）教师教学用书[M]．人民教育出版社，2004：4.[8]]李昌官．数学证伪教学与数学教学的优化[J]．课程·教材·教法，2019（6）：93-99.
扫描二维码，关注公众号“文卫星数学生态课堂”
往期推荐
王怀学、翟洪亮：基于数学核心素养下科学预设与精准教学实践的思考
“写作学习”视角下的“好记性不如烂笔头”史嘉：吕增锋：集体备课的核心：理解教材 ——以“平面向量的实际背景及基本概念”为例唐恒钧：人教A版数学教科书“统计与概率”中的情境设置及启示*
做一题，归一类，得一法（十）——等和不等一字差、依据条件可转化
更多内容请查看公众号菜单栏！