高中数学：如何妙解椭圆的切线方程？

文/陈万寿，选自：乐学数韵（许兴华数学/选编）

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今天在和数学竞赛辅导班学生讲课时，主讲了椭圆切线方程的求法及其应用这个推导的过程比较繁琐，涉及的字母多达7个！但是不可否认，这恰好是培养学生优秀数学品质（按流行的说法就是培养学科素养）的绝佳载体，同时也能够体现出解析几何的精髓，即用代数（坐标）去“解析”几何，亦即数形结合（可视化的观点），在运算的过程中。因为确实运算量比较大，在学生独立运算了5,6分钟后，由我引导学生们一起去推导整个过程。大部分学生可以化简出联立方程组后判别式等于0。如下所示：

普遍存在的问题一是第一个红色虚线处△1的化简，学生没有整体的意识，盲目全部展开，导致运算过于复杂。

第二问题是第二处红色虚线部分处学生不懂得原因，不会从一个新方程（即蓝色实线处的方程）来求根。

不过虽然这个化简得过程非常痛苦，可是学生们还是有所感悟和收获，在这个过程也培养了学生坚韧不拔的数学品质和设而不求、整体代换等技巧。

讲完这个解法后，我提出了另外一个思路给学生，那就是用导数的概念：

这个方法巧妙地应用导数的概念，多么精彩！简洁、简练地将切线的斜率求了出来，学生听完后恍然大悟，频频点头，对导数的概念理解也深了一层，我想这也会促进学生自觉去使用数学工具处理新问题的信心和力量。下面再看一个例析及几个变式。

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