彭西东——立体几何中被专家抛弃的“三垂线定理”

不记得是多少年前

教材里再也不见了三垂线

据说为了降低辅助线的难度

并提前推进几何代数化的时间

现在的立几

向量终如专家所愿

曾经优雅的做图思路

终变成了套路化的计算

其实一直怀念

立几最本质的计算

曾经三垂线定理的存在

是公认空间平面化最好的纽带

向量顺应了新的时代

无视了三垂线挣扎的无耐

立几也很难再现辉煌的空间想象

高手更多了许多寂寞的时间

或许多年以后

老师们都早已忘怀

可70后的我仍一如既往

纵使沧海变桑田

三垂线

始终残存在我的心间

三垂线定理

三线概念（如上图）：

①垂线：图中PO（点O为垂足）

②斜线：图中PA（点A为斜足）

③射影：图中OA（OA在面内）

三垂线定理：

①文字表示：平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

②符号表示：PO⊥平面α，PA∩平面α=A，若直线l∈平面α且l⊥OA，则l⊥PA

③图形表示：

④定理证明：

三垂线定理逆定理

①文字表示：平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

②符号表示：PO⊥平面α，PA∩平面α=A，若直线l∈平面α且l⊥PA，则l⊥OA.

③图形表示：

④定理证明：

定‖理‖印‖象

其实，从两个定理的特征观察，我们可以将两个定理概括为一个结论：

平面的斜线与斜线在面内的射影，有一条与面内的直线垂直，则另一条也与该直线垂直。

这样，就再也不要纠结谁是定理，谁是逆定理了。

定理简单应用

其实，从两个定理的推理过程来看，就是线面垂直与线线垂直之间反复的相互导出过程，这种推理的过程也确实还是比较麻烦的。

但如果把它作为一个定理来应用，可以省略中间的复杂环节，我们只需要记住它的图形结构就可以了。

与学生们来说，岂不是一件让人拍手称快之事！

---

记住定理的基本的图形结构吧：

线面垂直、斜线及射影，面内的线。

01

证明线线垂直

02

证明线面垂直

03

做二面角的平面角

温馨提醒

2012年起，高考中三垂线定理就已经不能做为推理的依据了。但小伙伴们依然可以用它快速找到解题思路的。强烈建议有能力的同学一定要掌握。

END

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