彭西东——比点差法更高级的“定比点差法”

双节出行难，宅家做好题。我们知道，前面说的垂径定理，主要解决的，是有心二次曲线的中点弦问题。
而且，中点弦这个东西，在解析几何中也确实还是比较常见的。
所以，对于中点弦这个条件，真心还是希望初学的孩子能有一个更好的理解和感悟。
只是，说到感悟，就真的会是那么容易的么？
因为，平时最常见弦的条件中，类似于下面这种分点才是最正常不过的吧！

而且，这种条件都还是小菜了，更麻烦的是，常常还会出现长度之比什么的。
比如曾经的这个高考题，又是伤了多少孩子的心呢。
所以，作为一名善良的数学老师，真的要郑重提醒某些初学的孩子，不要知道个点差法，就觉得解析几何是自家的、而沾沾自喜了。
毕竟，解析几何的处理，对于绝大部分人来说，一定是任重而道远的……

素人素言高中数学教书匠
其实，也许对于非中点弦来说，也是不难处理的，只是在理解上要有更好的感觉而已。

说说定比点差法所以，今天就想说说非中点弦的问题。
用的，依然是点差法，只是相较于中点弦的点差法来说，可能更加的具有一般性而已。
而原理，其实是一样的。
只是在具体讲解之前，还是要交待一个不知道为什么，被教材丢弃了的一个概念——定比分点。



以上就是我所认为的定比分点的相关内容了。至于分点的坐标公式，其实利用向量相等就可以很好的证明了，算是极其简单的。

但这个公式，对于点共线的处理，其实还是非常有用的。
所以在向量中，一直强调的最重要的几个点，其中就有平面向量基本定理，以及它的推论——共线定理。
说了那么多，还是先来个开胃小菜吧。
这就是个典型的定比问题了，对于这种问题的处理，其实思路还是比较多的。
几何法，总是会让人的内心，感觉到非常爽利的！因为计算量，实在是少的惊人的。
只是，这种方法，其实违背了解析几何的基本思想。因此，往往要达到这样的效果，很多时候就需要有丰富的解题经验了。
所以，这种解法，于很多同学来说，往往算是偶得的灵感，算不得数的。

这种提笔写的模式化的过程，其实才是处理解析几何题最基本的形态。
虽然计算或化简的过程，可能会复杂了些，但确实是每个学解几的孩子的必修课了。
所以，我们对于自己的计算和化简能力的要求，还是要尽量的高一点。
直线的参数方程，其实是很多同学不愿提及的，但有时却偏偏会是一种非常好的思路。
尤其是涉及到直线上，到同一定点的不同距离之间的关系时，用它总是很方便的。
只是，这个题用它，计算量实在是有些大了。所以中间的过程，我采取了“打马过桥”的方式，只是写了个大概，至于化简后的结果，其实并不是非常肯定的。
不过，在后面的题中，还是想就参数方程的解法，给大家一个示范。也希望在阅读的过程中，让大家能体会到它的优越性。

有网友后台留言要写个定比点差法，终是如愿了。
其实，细看这个点差法，只是充分利用了定比分点和椭圆方程中横、纵坐标表达式形式的一致性，以及x,y结构的相似性而采用的一种小手段。
仅此而已！
细想了一下，中点弦当中的点差法，其实不就是这个点差法的特殊情况么？
只是λ=1了而已！
但确实，这种变形，也是值得称道的。
所以说，得数学者得高考，得代数者得数学。
代数变形的能力，真的是太重要了。

为便于进一步理清这种题型的解题思路，我依然用以上的四种方法进行了处理。
不过参数方程法这次真的是认真的做了个示范。
建议初学的同学，还是先自行模仿解题，在模仿中理解方法的本质，以及与前面例题的区别与联系。

两个例题，都用了四种解法，其实关于定比点差法的优越性，也并没有体现出多少。
只是，作为一种特殊条件下的特殊思路，还是值得研究下的。
所以，后面的题，我只用了定比点差。

这个高考题，曾经就让很多安徽的孩子痛不欲生。
主要是，那个条件是个什么鬼？
可是，细细观察下，因为有了两组的三点共线，便可以尝试用定比点差法处理了。
当然，也可以用以前说过的极点极线的思路做下处理。

为防万一，解之前我还特地验证了下。
那个分点，确实是在定直线上了，才放心地进行了下面的处理。

这个高考题，除了让我们找到了一个点在线上的另类证明，其实也是想告诉我们一个一般化的结论，这个结论可以总结为下面这个问题：

从过程上看，这个点在线上的证明过程，倒确实是非常简洁的。
所以，定比点差法，对于类似“三点共线”、“线段成比例”或“过定点”等条件的处理，确实能起到优化计算过程的作用，有着它自己独特的优势。
但是不可否认的是，作为一种特殊方法，它也有它自己的局限性，并不能完全解决相关条件。因此，在解题时只能作为一种备选方案，切忌对它产生依赖性哦。

【来源】素人素言。

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