【数学故事】数学文化|《九章算术》第2讲 《九章算术》与《几何原本》大PK

前面我们更新了两篇文章：

文中都提到了《九章算术》的少广章，笔算开方术。那么《九章算术》这本书都讲了什么呢？我们将通过几讲，为大家讲述。

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今天，我们更新第2讲  《九章算术》与《几何原本》大PK。

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数学两大经典：欧几里得《几何原本》，刘徽注的《九章算术》。

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说，在西方流传最广的书是《圣经》，而仅次于《圣经》的，就是欧几里得的《几何原本》。《几何原本》被西方人称为“数学中的圣经”。爱因斯坦说：“如果欧几里得的《几何原本》没有激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”

而在东方，同样也有一部书，能与《几何原本》相媲美，这就是被尊称为“算经之首”的《九章算术》。作为我国现存的最早的数学专著，《九章算术》在中国古代数学中的地位举足轻重。《几何原本》和《九章算术》，是世界数学宝库里的两颗璀璨明珠，也是古代数学思想的两大源泉。

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九章算术》是我国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。全书采用问题集的形式，收有246个与生产、 生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，具有很强的使用性。然而《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。

《几何原本》由欧几里得在公元前300年间完成，又称欧几里得几何学，全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。推导出一系列定理，这使得全书的论述更加紧凑和明快，这就是几何原本的特征。《九章算术》和《几何原本》是完全类似的书，是两地的学者在几乎同一历史时期取得的数学成就，本是相同的内容，风格却迥然不同。

公

元前7世纪～公元前4世纪是希腊奴隶制度的发达时期。这个时期，埃及的几何学与巴比伦的算术先后传入希腊。由于社会的进步，物质大大丰富了，人们的生活需求进一步提高，社会分工也进一步明确起来。于是，一些奴隶摆脱了繁重的劳役，开始专门从事脑力劳动。当时，古希腊的知识阶层都是由上层人物组成的，柏拉图、亚里士多德这些科学巨匠都出身于奴隶主贵族家庭。由于他们不为生计所迫，因而可以专心对自己真正喜欢的领域进行研究与探索。正是由于这些贵族身居社会上层，他们与工匠等下层人物始终保持着一定的距离，于是，抽象的数学理论与具体的应用数学被分离开来。在当时的社会，科学由有身份、有地位、有学问的贵族老爷掌握，而技术则由一些无名的工匠传授。

导致数学理论与应用数学分家的另一个原因，是当时古希腊贵族中非常流行辩论。辩论需要概念准确、推理严谨，还需要各种随机应变的方法和技巧。由于辩论中所需的抽象的数学思维与应用数学大不相同，于是，奴隶主们认为数学应该是“贵族”的科学、身份的象征。他们觉得数学研究应该被视为一种高贵的信仰，而不是处理实际问题的方法。与生产生活息息相关的应用数学遭到了古希腊数学家的强烈鄙视。柏拉图就曾说过：“盖若辈徒知何谓规矩方圆，徒求其应实施，而视为平常之物，岂不可笑，不知几何之目的，乃最高深之知识也。”就是在这样的社会环境中，抽象化的理论被强调，公理化的方法被发展，封闭的演绎体系由此形成。公元前300年左右，欧几里得完成了他人生中最伟大的著作――《几何原本》。书中的几何概念都是从客观事物中抽象出来的，无法直接指导实践。如今看来，这似乎也是作者有意为之。可以说，《几何原本》是当时特定学术思潮下的必然产物。

欧几里得首先列出了23个定义，然后列出了5个公理和5个公设（公理在所有学科中都适用，而公设只适用于几何学）。定义、公理和公设是无需证明的，它们将作为依据直接运用在命题的证明中。它们是一切命题和定理的本源，命题都是由这10个公理或公设以及相关的定义推导出来的。值得一提的是，命题的排列顺序是经过认真考虑的，每一个命题的证明只允许采用定义、公理、公设和前面已证明过的定理作为依据，原则上不依赖其他理论。这样编排有两个好处。一是让大家一开始就明确了书中每个概念的意思。例如，什么叫点？书中说：“点是没有部分的。”这样一来，阅读者就不会对这些概念产生其他理解。二是每个命题的证明过程都是一目了然的。

欧

几里得会在证明过程中标出使用的定义、公理和公设。据说，英国哲学家托马斯・霍布斯偶然翻阅欧几里得的《几何原本》，当看到毕达哥拉斯定理（即勾股定理）时，他对该定理的正确性表示了怀疑：“上帝啊，这是不可能的！” 于是，他开始从尾到头仔细阅读每个命题的证明，当他读到公理和公设时，终于完全信服了。《几何原本》最大的作用，就是解决了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。具体地说，《几何原本》开创性地建立了几何的公理体系，明确地提出所用的定义、公理和公设，并用一小批公理和公设推导出几百个命题，由浅入深地揭示出这一系列定理。《几何原本》把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确定数学命题真实性的一个基本方法。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

《几何原本》自问世以来，一直被公认为初等数学的最佳基础教材。两千多年来，《几何原本》引导了一代又一代的求知者跨入了辉煌的数学殿堂。物理学巨匠爱因斯坦也精通几何学。他在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在12岁时，“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。事实证明，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示作用。在对狭义相对论的研究中，爱因斯坦就把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。

1661年，牛顿考入剑桥大学。一天，他在书店里买了一本《几何原本》，草草一翻，觉得书中的内容简单易懂，并没有超出常识范围，于是便将它束之高阁。1664年4月，牛顿参加了特列台奖学金考试，结果落选了。考官巴罗博士对他说：“你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这句话对牛顿的触动很大，于是，他又重拾不被自己重视的《几何原本》，从头到尾进行了反复与深入的钻研，这为他以后的科学工作打下了坚实的数学基础。《几何原本》总结了人类长期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世对数学的学习和研究提供了方法、课题和资料。在学者们看来，《几何原本》不仅深刻地影响了数学的发展，更重要的是，它所代表的逻辑推理方法与科学实验结合在一起，成为了世界近代科学产生和发展的重要前提。也就是说，《几何原本》的意义不单单是数学方面的，更主要的还是思想方法方面的。

正

如上所述，《九章算术》没有任何数学概念的定义，没有给出任何推导和证明。在《几何原本》有确切的概念，严密的逻辑推理和证明。国内很多学者研究《九章算术》和《几何原本》，得出了同样的结论，《几何原本》是理性的，《九章算术》是实用的，功利的。所谓理性的含义就是《几何原本》中的逻辑性，一个很微妙的问题是，为什么中国古代的数学家们没有阐明其中的逻辑关系呢？

在古希腊产生很多伟大的哲学家，如苏格拉低、亚里士多德、伊壁鸠鲁等等，他们建立了逻辑的思维方法，所以古希腊的数学是在哲学基础上产生的，这就注定了数学体系的逻辑演绎性。这正是中国古文化中所缺少的元素，所以在《九章算术》中没有逻辑的条理。在我们都熟悉的几何学中的简洁明快的推理，确切的定义就是逻辑的思维在几何学中的表现。欧几里得借助哲学家的逻辑思维方法创造了数学的逻辑思维方法，数学的逻辑语言。数学的逻辑语言把数学阐述成了科学，当逻辑的语言表达是确切的科学的定义、科学的变化规律时，科学就露出了真面目站立在我们的面前。

哲学的逻辑智慧把《几何原本》造就成了真正的科学产品。《九章算术》的作者没有把和《几何原本》的同样的内容阐述成确切的定义，没有进行逻辑的推理，相比之下，《九章算术》只能是科学的半成品。在《九章算术》的没有被表达出来的定义就成为了秘诀，成为了解决实际问题的技能，没有成为完美的科学。所以当利玛窦在500年前把《几何原本》带入中国时，《九章算术》就立时暗淡无光，事实上，在这两只杯中盛的是同样的水。

《九章算术》与《几何原本》同是数学史上东西辉映的两大巨著，分别引导着东西方的科学发展，是后来东西方的科学发展的原点。《九章算术》没有带领贡献四大发明的民族在科学路上阔步，《几何原本》孕育希腊出现阿基米德及后来的科学队伍，造就了西欧的科学大发展。《九章算术》与《几何原本》的差别就是后来2000多年两地科学发展的差别，就是我们科学发展缓慢的原因。

■本文依据中国论文网的文章“《几何原本》经典长存”及栗方星的博客文章综合，组稿/溪流。

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