九上尖子生培优系列(67) ——第25章《概率初步》（4）
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强化提高训练试题（4）
【例13】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为5局3胜制．如果两人在每局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先连胜了2局，那么最后甲获胜的概率是___________.
【解析】先用树状图或列表法列举出最后3局出现的可能情况，再根据概率公式解答即可．
最后3局出现的所有可能情况为：甲、甲、甲；甲、甲、乙；甲、乙、甲；甲、乙、乙；乙、乙、乙；乙、乙、甲；乙、甲、乙；乙、甲、甲．其中只要甲获胜一局即可，故甲获胜的概率是7/8．
【例14】如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为 ．
【解析】（可用树状图表示）从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有3×4＝12种结果，且每种结果出现的机会相同，关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的条件是：4（m2﹣n2）≥0，在上面得到的数对中共有9个满足． 所以关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为3/4．
【例15】甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少．（如下表）
（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．
（2）法一：∵去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（甲）=4/6＝2/3，去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（乙）=2/6＝1/3，∴我选择去甲超市购物；
法二：∵两红的概率P=1/6，两白的概率P=1/6，一红一白的概率P=4/6＝2/3，∴在甲商场获礼金券的平均收益是：1/6×5+2/3×10+1/6×5＝25/3；在乙商场获礼金券的平均收益是：1/6×1 47 31569 47 14985 0 0 4090 0 0:00:07 0:00:03 0:00:04 40890+2/3×5+1/6×10=20/3．∴我选择到甲商场购物．
说明：第二问的树状图可表示为如下形式．
【反思】树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
【例16】在一个不透明的箱子中装有大小相同、材质相同的三个小球，分别标着数字1、2、3，从中随机地摸出一个小球，并记下该球上所标注的数字x后，放回原箱子；再从箱子中又随机地摸出一个小球，也记下该球上所标注的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标．
（1）求点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；
（2）在平面直角坐标系中，求点M落在以坐标原点为圆心、以根号10为半径的圆的内部的概率．
【解析】（1）以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标有如下9种形式（可能性都相同）：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）.其中，满足x+y=4有3种：（1，3）、（2，2）、（3，1），
由于每一种形式都等可能出现，所以点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率P（x+y=4）＝3/9＝1/3.
（2）因为点M在以坐标原点为圆心，以根号10为半径的圆的内部，所以x2+y2＜10，这样的点M有4种：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），所以点M在以坐标原点为圆心，以根号10为半径的圆的内部的概率P＝4/9.
相关链接：
九上尖子生培优系列(64) ————第25章《概率初步》（1）
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