八上尖子生培优系列(69) ——分式(13) ——分式方程(2)
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【例题】当k为何值时，关于x的方程：
（1）无解；（2）解为非负数．
【分析】（1）原分式方程无解，意味着化为整式方程后所得到的根是原分式方程的增根，即满足最简公分母为0，因此令最简公分母＝0时得到x的值，即为化简后的整式方程的解，由此即可求出k的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x（及含k的式子表示）的值，然后根据解为非负数即可得到关于k的不等式（特别注意：还要满足最简公分母不为0），从而求出k的取值．
【解】（1）去分母（两边都乘以（x﹣1）（x+2）），得：
(x+3)(x﹣1)=k+(x﹣1)(x+2)…(＊)
令（x﹣1）（x+2）＝0，
得x=1或x=﹣2，
因原分式方程无解，
所以将x=1代入(＊),得：k=0；
将x=﹣2代入(＊)得：k=﹣3，
综上，k的值为0或﹣3．
（2）去分母，得：
(x+3)(x﹣1)=k+(x﹣1)(x+2)
去括号，合并得：x=k+1，
因为原分式方程的解为非负数，
所以k+1≥0且k+1≠1且k+1≠﹣2，
解得：k≥﹣1且k≠0，k≠﹣3．
所以k≥﹣1且k≠0.
因此当k≥﹣1且k≠0时，原分式方程的解为非负数．
【反思】理解题意和分式方程的根是解本题的关键．
【练习】当m为何值时，关于x的方程：
（1）无解；（2）解为负数．
【分析】与例题类似.
【解】（1）去分母（两边都乘以（x﹣2）（x+2）），得：
2(x+2)+mx=3(x－2)…(＊)
令（x﹣2）（x+2）＝0，
得x=2或x=﹣2，
因原分式方程无解，
所以将x=2代入(＊),得：
2(2+2)+2m=3(2－2)，
解得：m=－4；
将x=﹣2代入(＊)得：
2(－2+2)－2m=3(－2－2)，
解得：m=6；
综上，m的值为－4或6．
（2）去分母，得：
2(x+2)+mx=3(x－2)
(m－1)x=－10
当m－1≠0即m≠1时，
x=10/(m－1)
因为原分式方程的解为负数，
所以m－1＜0且m≠1，
所以m<1.
解得：k≥﹣1且k≠0，k≠﹣3．
所以k≥﹣1且k≠0.
因此当m<1时，原分式方程的解为负数．
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