八上尖子生培优系列(70) ——分式(14) ——分式方程(3)

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【例题】阅读下列材料，关于x的方程：x+1/x=c+1/c的解是x₁=c，x₂=1/c；

       x﹣1/x=c﹣1/c（即x+(－1)/x=c+(－1)/c）的解是x₁=c，x₂=－1/c；

       x+2/c=c+2/c的解是：x₁=c，x₂=2/c，….

（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程x+m/x=c+m/c（m≠0）的解，并利用“方程的解”的概念进行验证；

（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：x+2/(x－1) =a+2/(a－1)的解吗？若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由．

【分析】（1）根据给出的方程的解的概念范例的结构特征，求出所求的方程的解．

（2）本题的方程与范例中的方程形式不一致，因此先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．

【解】（1）x₁=c，x₂=m/c；

把x₁=c代入方程，得

       左边=c+m/c，右边=c+ m/c，

       ∴左边=右边．

把x₂=m/c代入方程，得

       左边=m/c+c，右边=c+m/c

       ∴左m/c=右m/c．

      ∴x₁=c，x₂=m/c是关于x的方程x+m/x=c+m/c的解．

（2）两边同时减1变形为:

       x﹣1+2/(x－1) =a﹣1+2/(a－1)

       ∴x﹣1=a﹣1，x﹣1=2/(a－1)

       ∴x₁=a，x₂=1+2/(a－1)，

         即x₂=(a+1)/(a－1)．

【反思】要注意结合范例中的方程与解的结构特征，运用其结论时，要确保所求方程与例子中的方程的结构形式一致才可．

【解析】先根据解分式方程的步骤求出方程：

然后观察并找出规律：方程的解正好=7+3+6+2之和的1/4，又因为7+2=6+3，所以方程的解x=（7+2）/2＝（6+3）/2，因此方程：

的解为x=（a+d）/2=(b+c)/2．

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寻找规律，然后写出第n个方程并求该方程的解．

【解】（1）经观察，第n个方程为：

       将方程两边同乘以x（x+n+1），得

       x+n+1=（n+1）x，即nx=n+1．

       由题意知n≠0，∴x=（n+1）/n．

       经检验，（n+1）/n是原方程的解．

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