九下尖子生培优系列(73) ——反比例函数（6）

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 【例题】如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=k/x交于E，F两点，若AB=2EF，求k的值.

【图文解析】

法一（通法）：作FH⊥x轴于H，EC⊥y轴于C，FH与EC交于D，如下图示，

       由直线y=﹣x+2的解析式，可得A（2，0），B（0，2），且△AOB为等腰直角三角形，则AB=根号2×OA=2×根号2，而AB＝2EF，所以EF=0.5AB=根号2，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF/（根号2）=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），分别代入反比例函数的解析式，得到：k=t(-t+2)=(t+1)•(-t+1)，解得t=0.5，所以E点坐标为（1.5，0.5），因此k=1.5×0.5＝0.75．具体过程如下：

【解】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，A（2，0），B（0，2），OA=OB，

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴AB=根号2×OA=2×根号2，

∴EF=0.5AB=根号2，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴FD=DE=EF/（根号2）=1，

设F（t，﹣t+2），则E（t+1，﹣t+1），

∴k=t(-t+2)=(t+1)•(-t+1)，

解得t=，

∴E点坐标为（3/2，1/2），

∴k=3/2×1/2=3/4．

法二（特殊法）：由于直线y=-x+2和双曲线y=k/x均关于直线y=x对称，根据试题本身的已知条件，可以作直线y=x交AB于M，如下图示，不难得到E的坐标为（1.5，0.5），下同法一，….

【反思】注意反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

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【练习】如图，已知双曲线y＝k/x(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，求k的值．

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【上期答案】

【原题呈现】用上期例题的方法求出不等式³+2x﹣3＜0的解集.

【解析】类似例题的解题思路，由方程x³+2x﹣3＜0（显然x≠0）的两边都除以x，可得到：当x>0时，x²+2＜3/x；当x＜0时，x²+2＞3/x，结合函数y=x²+2和y=3/x图象不难得到该不等式的解集.如下图示：

       显然，由于当x=1时，函数y=x²+2的值为3，y=3/x的值为3，其交点坐标为（1，3）.

       结合函数图象，可得：当0＜x<1时，x²+2＜3/x；当x<0时，x²+2＞3/x，所以所求的不等式的解集为0＜x<1或x<0.

相关链接：

九下尖子生培优系列(70) ——反比例函数（3）

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