2016-2017年度福建宁德九上期末质检部分试题（压轴）选解

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2016·宁德九上期末质检

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10．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y=6/x(x>0)图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（    ）

A.越来越小  B.越来越大

C.不变      　D.先变大后变小

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【图文解析】

法一：（通法）

      过B点作BC⊥PA于点C，设P(t，6/t），则有PA＝6/t，BC＝t，根据三角形面积公式，可得：S_△PAB＝0.5PA×BC＝0.5×6/t×t＝3（定值），因此答案应选C.

法二：（直接法）

      过P点作PD⊥y轴于D点，则四边形OAPD是矩形，显然S_矩形OAPD＝6（反比例函数的比例系数），而S_△PAB＝05·S_矩形OAPD＝3.

【图文解析】

本题并不难，表面看上去挺可怕，似乎类似于找规律的试题，实际上，图中△PB_n-1Bn∽△AB₁Bn，因此可得到：PB_n-1：AB₁＝B_n-1B_n：B₁B_n，如下图示.

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24.如图1，在矩形ABCD中，BC=4cm．点P与点Q同时从点C出发，点P沿CB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q沿CD向点D以1 cm/s的速度运动，当点P与点Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，顺次连接A，B，P，Q，A得到的封闭图形面积为S cm² 45 32878 45 14985 0 0 3523 0 0:00:09 0:00:04 0:00:05 3523

（1）当AB=m cm时，S与t的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求S与t的函数关系式及m的值，并直接写出t的取值范围；

（2）当AB=6 cm时，探究：此时S与t的函数图象可以由（1）中函数图象怎样变换得到？

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【图文解析】

（1）抛物线解析的解析式的求法常用的有以下两种：

法一：因顶点G(1,5)，可设S=a(t－1)²+5，再将E（2，4）代入，即可求出a的值，从而得到抛物线的解析式为：S=(t－1)²+5(0≤t≤2).

法二：因抛物线的对称轴为直线x=1,点E (2，4),由抛物线的对称性知：抛物线必过点F（0，4），再用“三点式”求出抛物线的解析式.

      求m的值时，可借助△ABC的面积解决：由于当t=0时，S＝4（利用抛物线的解析式）,此时S＝S_△ABC＝0.5AB×BC＝0.5×4×m，所以4＝0.5×4×m，解得m=2.

（2）当AB=6时，如下图示：

由图可知：

S＝S_矩形ABCD－S_△ADQ－S_△CPQ

＝4×6－0.5×4(6－t)－0.5×2t×t

=－t²+2t+12

=-(t－1)²+13(0≤t≤2)

∴S与t的函数图象可以由(1) 中函数(S=(t－1)²+5)图象向上平移8个单位得到．

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25.如图，已知点E在正方形ABCD内，△EBC为等边三角形，AB=2．P是边CD上一个动点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，分别连接AQ，QE．

（1）如图1，当点Q落在边AD上时，以下结论：①AQ=CP，②∠BEQ=90°，正确的有        ；（填序号）

（2）如图2，当点P是边CD上任意一点（点C除外），分别判断（1）中所给的两个结论是否正确，若有正确的结论，请加以证明；

（3）直接写出在点P的运动过程中线段AQ的最小值．

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【图文解析】

（1）如下图示：

      不难证明△BCP≌△BAQ（HL），得到AQ＝CP.

（2）①AQ=CP不成立，

 ②∠BEQ=90°成立．

图解分析如下：

      如下图示，此时显然∠BAQ≠90⁰，无法证明△BCP≌△BAQ，因此AQ≠CP.

（3）由（2）证得：∠BEQ＝90⁰（定角且BE为定线段），说明点Q永远在与BE垂直的线段EM（实际上∠EBQ＝∠DBC＝45⁰）运动，如下图示。

      因此在点P的运动过程中线段AQ的最小值就是求点A到EM的距离（即垂线段AN的长度），如下图示．

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