与方程的根相关问题（2）——尖子生之路[中考复习系列]

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与方程的根相关问题（2）

——中考复习系列

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【例1】若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b

【分析】充分利用一元二次方程与抛物线的关系，可快速解决问题．可设y=（x﹣a）（x﹣b），方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根是抛物线与直线x=1的交点的横坐标．

【解】设y=（x﹣a）（x﹣b），如下图，方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根是抛物线与直线y=1的交点的横坐标．观察图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．

【拓展1】已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）

A．m＜a＜b＜n

B．m＜a＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．a＜m＜n＜b

【分析】类似例题，结合函数图象可判断出m、n、a、b的大小关系．

【解】函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，如下图示．令y=0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a，b，而当x=m或n时，y=3＞0．∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．故选D．

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【拓展2】当m取任意正实数时,方程x³+mx-1=0的实根x₀一定在（　　）范围内．

A.﹣1＜x₀＜0  B.0＜x₀＜1

C.1＜x₀＜2     D.2＜x₀＜3

【解析】根据题意方程x³+mx﹣1=0的根可视为函数y=x²+m的图象与函数y=1/x的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x²+m的图象过第一、二象限，函数y=1/x的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，如下图示．      

观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数y=1/x的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x²与y=1/x的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x³+mx﹣1=0的实根x₀一定在0＜x₀＜1的范围内．故选：B．

【反思】转换为函数图象相交问题，充分数形结合思想解决问题．

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