压轴解析｜三角形与四边形（1）——九上期末质检复习（2019版）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

收录于合集

（注：本系列是之前发布的文章汇总更新，内容均选自近几年福建九地市九上期末质检压轴题）

压轴解析｜三角形与四边形（1）

——九上期末质检复习

（2016·福州）如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形△HAC与等边△DCB，连接DH．（1）如图1，当∠DHC＝90⁰时，求BC/AC的值；（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE，求证：CE平分∠AEB；（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0⁰＜α＜90⁰）如图2．点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．

【图文解析】
（1）如下图示：

当∠DHC＝90⁰时，在△DCH中，不难得到：∠CDH＝30⁰，从而得到CH＝0.5CD，所以DC/CH＝2，进一步得到BC/AC＝2.详细过程如下：
∵△HAC和△DCB是等边三角形，∴∠ACH＝∠DCB＝60⁰，AC＝HC，BC＝CD.∴∠HCD＝180⁰－∠ACH－∠DCB＝180⁰－60⁰－60⁰＝60⁰.∵∠DHC＝90⁰∴∠HDC＝30⁰.∴CH＝0.5CD，∴BC＝2AC.∴BC/AC＝2.（2）根据题意，作出如下图所示的图形.

由对称性知：∠EHD＝90⁰，EH＝HC，又由于AH＝HC，所以EH＝AH，同时∠CHE＝180⁰，即E、H、C三点共线，如下图示：

可得到：∠AEC＝30⁰.
另一方面，不难得∠BEC＝30⁰.如图示：

可得到∠AEC＝∠BEC.
因此CE平分∠AEB.详细过程如下：

（3）（本题有多种解法，仅提供“辅助圆”法）如下图示：

不难得到A、C、E三点均在以H为圆心，以HC为半径的圆上，得到∠AEC＝0.5∠AHC＝30⁰.
　　同理∠BEC＝30⁰.如下图示：

∴∠AEC＝∠BEC.
∴EC平分∠AEB．详细过程如下：　　　如下图示：

结论仍正确，理由如下：

（2016·宁德）如图，已知点E在正方形ABCD内，△EBC为等边三角形，AB=2．P是边CD上一个动点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，分别连接AQ，QE．（1）如图1，当点Q落在边AD上时，以下结论：①AQ=CP，②∠BEQ=90°，正确的有；（填序号）（2）如图2，当点P是边CD上任意一点（点C除外），分别判断（1）中所给的两个结论是否正确，若有正确的结论，请加以证明；（3）直接写出在点P的运动过程中线段AQ的最小值．【图文解析】（1）如下图示，不难证明△BCP≌△BAQ（HL），得到AQ＝CP.

如下图示，也不难证得△BCP≌△BQE，得到∠BEQ＝∠BCP＝90⁰.

综上，①，②均正确.
（2）①AQ=CP不成立， ②∠BEQ=90°成立．图解分析如下： 如下图示，此时显然∠BAQ≠90⁰，无法证明△BCP≌△BAQ，因此AQ≠CP.

如下图示，与（1）相同可证△BCP≌△BQE，得到∠BEQ＝∠BCP＝90⁰.

（3）由（2）证得：∠BEQ＝90⁰（定角且BE为定线段），说明点Q永远在与BE垂直的线段EM（实际上∠EBQ＝∠DBC＝45⁰）运动，如下图示。

因此在点P的运动过程中线段AQ的最小值就是求点A到EM的距离（即垂线段AN的长度），如下图示．

求AN的长，方法多种，下面仅解析最常用的一种，如下图示：

因此所求的AQ的最小值为2－√3.