压轴解析｜三角形与四边形（2）——九上期末质检复习（2019版）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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（注：本系列是之前发布的文章汇总更新，内容均选自近几年福建九地市九上期末质检压轴题）

压轴解析｜三角形与四边形（2）

——九上期末质检复习

（2016·漳州）将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，BE、CF为折痕，折叠后点A和点D都落在点O处，若△EOF是等边三角形，则AB/AD的值为_______.

【图文解析】

（2016·漳州）探究证明：
（1）如图1，矩形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，AM⊥BN，求证：BN/AM＝BC/AB.

（2）如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM，EF分别交AB，CD于点E，F，试猜想EF/AM与BC/AB有什么数量关系？证明你的猜想.

拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题：
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DN/AM的值．

【图文解析】
（1）如下图示：

通过两角相等，不难证明△BCN∽△ABM，从而BN/AM＝BC/AB.
（2）过点B作BG∥EF，交CD于点G，如下图示：

不难证明四边形BEFG是平行四边形（根据两组对边平行），且BG⊥AM，从而得到BG＝EF，由（1）知：BG/AM＝BC/AB.因此EF/AM＝BC/AB.
（3）由（2）得到启发，且由于∠ABC＝90⁰，因此可以将原图补成（2）的图形，即：过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，则不难证明四边形ABSR是矩形，如下图示：

由（2）中的结论可得：DN/AM＝BS/AB.由于AB＝10，只需求出BS或AR即可.
若连接AC，则由AB＝AD、BC＝CD可得到AC垂直平分BD（根据垂直平分线的性质），从而点D关于AC对称，得到∠ADC＝90⁰，如下图示：

此时可添加有关“直角”的常用辅助线，如下图示：

不难得到△ADR∽△DCS，得到DR/CS＝AR/DS＝AD/CD＝10/5＝2，因此可设CS＝x,则可得到图中的相关数据.
由图中显然可得：AB＝RS，即2x+0.5(x+5)=10，解得x=3,　所以BS＝x+5=8，

(2017·莆田)已知等腰△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=m°，∠DAE=0.5∠BAC，∠DAE的两边交直线BC于点D、E，将△ABD绕着点A逆时针旋转m°，得到△ACD'，连接D'E|.
（1）当m=90时，易得△CD'E为直角三角形（如图1），从而得到DE²=BD²+CE²（不要求证明）.

（2）在（1）的条件下，当点D在CB的延长线上（如图2）时，上述结论是否仍然成立？证明你的结论：

（3）当m=60时（如图3），若点D、E在射线CB上，且△CD'E为直角三角形，求BD的长.

【图文解析】
（1）【基本思路】

由图中两组全等，从而得到证明。
（2）第二问类似：

简述如下：
(2) 证明：上述结论仍然成立，理由如下：易证：△ACD'≌△ABD（SAS），CD'=BD，△AD'E≌△ADE（SAS），ED=ED',∠ACD'=∠ABD=135°，又∠ACB=45°，∴∠ECD'=90°，在Rt△CD'E中，CD'²+CE²=D'E²即DE²=BD²+CE²;（3）

同（2）可得：
△ACD'≌△ABD（SAS），△AD'E≌△ADE（SAS），CD'=BD,∠D'CE=∠DBA=120°，∴∠D'CE=60°

【反思】含半角的基本图形是初中数学里经常见到的图形，旋转体现出角度和的不变量是常见的辅助线，这里转化成对称模型，是难点，有兴趣的读者可以思考下，简化的原理是什么。（2017·福州）已知:△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，P是平面上一点，且DP＝1，连接BP，CP。
1）如图，当点P在线段BD上时，求CP的长；2）当△BPC是等腰三角形时，求CP的长；3）将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B'，连接AB'，求AB'的最大值.

【图文解析】
1）如下图示：

再由勾股定理可得：CP=3.
2）由DP=1 可知：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上运动。如下图示:

当△BPC是等腰三角形时,必须分三种情况讨论:

3) 方法1: 旋转相似法

【反思】1. 第2)小题中要求使等腰三角形成立时CP的长,不仅要分类讨论三种不同的情况,同时还要保证使点P能够满足DP=1,所以还要再判断P的存在性.2. 第3)小题,可以看成是”手拉手模型”的一种,所以要解决此类问题,最好要先体会如何构造”手拉手模型”.3. 第3)小题中,还可以将题中的最大值,改换成最小值, 也可以求点P在运动的过程中,AB’的取值范围.【牛刀小试】如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC的取值范围是_______.

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